Naloge za logaritme z rešitvijo. Kaj je logaritem? Rešitev logaritmov. Primeri. Lastnosti logaritmov

Kot veste, se pri množenju izrazov s potenci njihovi eksponenti vedno seštejejo (a b * a c = a b + c). Ta matematični zakon je izpeljal Arhimed, kasneje, v 8. stoletju, pa je matematik Virasen ustvaril tabelo celih kazalnikov. Prav oni so služili za nadaljnje odkrivanje logaritmov. Primere uporabe te funkcije je mogoče najti skoraj povsod, kjer je potrebno poenostaviti okorno množenje na preprosto seštevanje. Če porabite 10 minut za branje tega članka, vam bomo razložili, kaj so logaritmi in kako z njimi delati. Preprost in dostopen jezik.

Definicija v matematiki

Logaritem je izraz v naslednji obliki: log ab=c, to je logaritem katerega koli nenegativnega števila (to je katerega koli pozitivnega) "b" z njegovo osnovo "a" se šteje za potenco "c" , na katero je treba dvigniti osnovo "a", tako da na koncu dobimo vrednost "b". Analizirajmo logaritem na primerih, recimo, da obstaja izraz log 2 8. Kako najti odgovor? Zelo preprosto je, najti morate takšno stopnjo, da od 2 do zahtevane stopnje dobite 8. Ko v mislih naredite nekaj izračunov, dobimo številko 3! In prav je tako, saj 2 na potenco 3 daje v odgovoru številko 8.

Sorte logaritmov

Za mnoge učence in študente se ta tema zdi zapletena in nerazumljiva, v resnici pa logaritmi niso tako strašljivi, glavna stvar je razumeti njihov splošni pomen in si zapomniti njihove lastnosti in nekatera pravila. Obstajajo tri različne vrste logaritmičnih izrazov:

Naravni logaritem ln a, kjer je osnova Eulerjevo število (e = 2,7).
Decimala a, kjer je osnova 10.
Logaritem poljubnega števila b na osnovo a>1.

Vsak od njih je rešen na standarden način, vključno s poenostavitvijo, redukcijo in naknadno redukcijo na en logaritem z uporabo logaritemskih izrekov. Da bi dobili pravilne vrednosti logaritmov, si je treba zapomniti njihove lastnosti in vrstni red dejanj pri svojih odločitvah.

Pravila in nekatere omejitve

V matematiki obstaja več pravil-omejitev, ki so sprejete kot aksiom, torej niso predmet razprave in so resnične. Na primer, nemogoče je deliti števila z nič, prav tako pa ni mogoče vzeti sode korenine iz negativnih števil. Logaritmi imajo tudi svoja pravila, po katerih se lahko zlahka naučite delati tudi z dolgimi in obsežnimi logaritemskimi izrazi:

osnova "a" mora biti vedno večja od nič, hkrati pa ne sme biti enaka 1, sicer bo izraz izgubil svoj pomen, ker sta "1" in "0" do katere koli stopnje vedno enaki svojim vrednostim;
če je a > 0, potem a b > 0, se izkaže, da mora biti "c" večji od nič.

Kako rešiti logaritme?

Na primer, glede na nalogo, da poiščemo odgovor na enačbo 10 x \u003d 100. To je zelo enostavno, takšno moč morate izbrati tako, da dvignete številko deset, na katero dobimo 100. To je seveda 10 2 \u003d 100.

Zdaj pa ta izraz predstavimo kot logaritem. Dobimo log 10 100 = 2. Pri reševanju logaritmov se vsa dejanja praktično konvergirajo k iskanju stopnje, do katere je treba vnesti osnovo logaritma, da dobimo dano število.

Če želite natančno določiti vrednost neznane stopnje, se morate naučiti delati s tabelo stopinj. Izgleda takole:

Kot lahko vidite, lahko nekatere eksponente uganete intuitivno, če imate tehnično miselnost in poznavanje tabele množenja. Vendar pa bodo večje vrednosti zahtevale tabelo moči. Uporabljajo ga lahko tudi tisti, ki v zapletenih matematičnih temah sploh ne razumejo ničesar. Levi stolpec vsebuje številke (osnova a), zgornja vrstica števil je vrednost moči c, na katero se dvigne število a. Na presečišču v celicah se določijo vrednosti številk, ki so odgovor (a c = b). Vzemimo na primer čisto prvo celico s številko 10 in jo kvadriramo, dobimo vrednost 100, ki je navedena na presečišču naših dveh celic. Vse je tako preprosto in enostavno, da bo razumel tudi najbolj pravi humanist!

Enačbe in neenakosti

Izkazalo se je, da je pod določenimi pogoji eksponent logaritem. Zato lahko vse matematične številčne izraze zapišemo kot logaritemsko enačbo. Na primer, 3 4 = 81 lahko zapišemo kot logaritem od 81 do osnove 3, kar je štiri (log 3 81 = 4). Za negativne potence so pravila enaka: 2 -5 = 1/32 zapišemo kot logaritem, dobimo log 2 (1/32) = -5. Eden najbolj fascinantnih odsekov matematike je tema "logaritmov". Primere in rešitve enačb bomo obravnavali nekoliko nižje, takoj po preučevanju njihovih lastnosti. Zdaj pa poglejmo, kako izgledajo neenakosti in kako jih ločiti od enačb.

Podan je izraz v obliki: log 2 (x-1) > 3 - gre za logaritemsko neenakost, saj je neznana vrednost "x" pod predznakom logaritma. In tudi v izrazu se primerjata dve količini: logaritem želenega števila v osnovi dva je večji od števila tri.

Najpomembnejša razlika med logaritemskimi enačbami in neenakostmi je v tem, da enačbe z logaritmi (na primer logaritem 2 x = √9) v odgovoru pomenijo eno ali več določenih številskih vrednosti, medtem ko pri reševanju neenakosti oba obsega sprejemljive vrednosti in točke, ki kršijo to funkcijo. Posledično odgovor ni preprost niz posameznih številk, kot v odgovoru enačbe, temveč neprekinjena serija ali niz številk.

Osnovni izreki o logaritmih

Pri reševanju primitivnih nalog pri iskanju vrednosti logaritma njegove lastnosti morda niso znane. Ko pa gre za logaritemske enačbe ali neenakosti, je treba najprej jasno razumeti in v praksi uporabiti vse osnovne lastnosti logaritmov. S primeri enačb se bomo seznanili kasneje, najprej podrobneje analizirajmo vsako lastnost.

Osnovna identiteta izgleda takole: a logaB =B. Velja le, če je a večji od 0, ni enak eni in je B večji od nič.
Logaritem produkta lahko predstavimo z naslednjo formulo: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. V tem primeru je predpogoj: d, s 1 in s 2 > 0; a≠1. Za to formulo logaritmov lahko podate dokaz s primeri in rešitvijo. Naj log kot 1 = f 1 in log kot 2 = f 2 , nato a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Dobimo, da je s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (lastnosti stopinj ), in nadalje po definiciji: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log kot 2, kar je bilo treba dokazati.
Logaritem količnika izgleda takole: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
Izrek v obliki formule ima naslednjo obliko: log a q b n = n/q log a b.

Ta formula se imenuje "lastnost stopnje logaritma". Podobno je lastnostim navadnih stopinj in to ni presenetljivo, saj vsa matematika temelji na pravilnih postulatih. Poglejmo si dokaz.

Naj log a b = t, izkaže se, da je a t \u003d b. Če dvignete oba dela na potenco m: a tn = b n ;

ker pa a tn = (a q) nt/q = b n , torej log a q b n = (n*t)/t, potem log a q b n = n/q log a b. Izrek je dokazan.

Primeri problemov in neenakosti

Najpogostejše vrste logaritmskih problemov so primeri enačb in neenakosti. Najdemo jih skoraj v vseh problemskih knjigah, vključeni pa so tudi v obvezni del izpitov iz matematike. Če želite vstopiti na univerzo ali opraviti sprejemne izpite iz matematike, morate vedeti, kako pravilno rešiti takšne naloge.

Na žalost ni enotnega načrta ali sheme za reševanje in določanje neznane vrednosti logaritma, vendar je za vsako matematično neenakost ali logaritemsko enačbo mogoče uporabiti določena pravila. Najprej morate ugotoviti, ali je izraz mogoče poenostaviti ali zmanjšati na splošno obliko. Dolge logaritemske izraze lahko poenostavite, če pravilno uporabite njihove lastnosti. Spoznajmo jih kmalu.

Pri reševanju logaritemskih enačb je treba ugotoviti, kakšen logaritem imamo pred seboj: primer izraza lahko vsebuje naravni logaritem ali decimalni.

Tukaj so primeri ln100, ln1026. Njihova rešitev se spušča v dejstvo, da morate določiti stopnjo, do katere bo osnova 10 enaka 100 oziroma 1026. Za rešitve naravnih logaritmov je treba uporabiti logaritemske identitete ali njihove lastnosti. Oglejmo si primere reševanja logaritemskih problemov različnih vrst.

Kako uporabljati logaritemske formule: s primeri in rešitvami

Torej, poglejmo primere uporabe glavnih izrekov o logaritmih.

Lastnost logaritma produkta lahko uporabimo pri nalogah, kjer je treba veliko vrednost števila b razstaviti na enostavnejše faktorje. Na primer, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Odgovor je 9.
log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - kot vidite, smo z uporabo četrte lastnosti stopnje logaritma uspeli rešiti na prvi pogled kompleksen in nerešljiv izraz. Potrebno je le faktorizirati osnovo in nato vrednosti eksponenta vzeti iz predznaka logaritma.

Naloge iz izpita

Pri sprejemnih izpitih se pogosto pojavljajo logaritemi, še posebej veliko logaritemskih težav na enotnem državnem izpitu (državni izpit za vse maturante). Običajno so te naloge prisotne ne le v delu A (najlažji testni del izpita), temveč tudi v delu C (najtežje in najobsežnejše naloge). Izpit pomeni natančno in popolno poznavanje teme "Naravni logaritmi".

Primeri in reševanje problemov so vzeti iz uradnih različic izpita. Poglejmo, kako se takšne naloge rešujejo.

Podan log 2 (2x-1) = 4. Rešitev:
prepišimo izraz in ga malo poenostavimo log 2 (2x-1) = 2 2, po definiciji logaritma dobimo, da je 2x-1 = 2 4, torej 2x = 17; x = 8,5.

Vse logaritme je najbolje reducirati na isto bazo, da rešitev ni okorna in zmedena.
Vsi izrazi pod znakom logaritma so označeni kot pozitivni, zato mora biti, ko odvzamemo eksponent eksponenta izraza, ki je pod znakom logaritma in kot njegova osnova, izraz, ki ostane pod logaritmom, pozitiven.

Logaritemski izrazi, rešitev primerov. V tem članku bomo obravnavali probleme, povezane z reševanjem logaritmov. Naloge postavljajo vprašanje iskanja vrednosti izraza. Treba je opozoriti, da se koncept logaritma uporablja v številnih nalogah in je izjemno pomembno razumeti njegov pomen. Kar zadeva USE, se logaritem uporablja pri reševanju enačb, pri uporabnih problemih in tudi pri nalogah, povezanih s preučevanjem funkcij.

Tukaj so primeri za razumevanje samega pomena logaritma:

Osnovna logaritemska identiteta:

Lastnosti logaritmov, ki si jih morate vedno zapomniti:

*Logaritem produkta je enak vsoti logaritmov faktorjev.

* * *

* Logaritem količnika (ulomka) je enak razliki logaritmov faktorjev.

* * *

* Logaritem stopnje je enak zmnožku eksponenta in logaritma njegove osnove.

* * *

*Prehod na novo bazo

* * *

Več lastnosti:

* * *

Računanje logaritmov je tesno povezano z uporabo lastnosti eksponentov.

Naštejemo jih nekaj:

Bistvo te lastnosti je, da se pri prenosu števca v imenovalec in obratno predznak eksponenta spremeni v nasprotno. Na primer:

Posledica te lastnosti:

* * *

Ko potenco dvignemo na potenco, osnova ostane enaka, eksponenti pa se pomnožijo.

* * *

Kot lahko vidite, je sam koncept logaritma preprost. Glavna stvar je, da je potrebna dobra praksa, ki daje določeno spretnost. Vsekakor je poznavanje formul obvezno. Če se spretnost pretvorbe osnovnih logaritmov ne oblikuje, potem lahko pri reševanju preprostih nalog zlahka naredimo napako.

Vadite, najprej rešite najpreprostejše primere iz tečaja matematike, nato pa preidite na bolj zapletene. V prihodnosti bom zagotovo pokazal, kako se rešujejo “grdi” logaritmi, takih na izpitu ne bo, so pa zanimivi, ne zamudite!

To je vse! Srečno!

S spoštovanjem, Alexander Krutitskikh

P.S: Hvaležen bi bil, če bi o spletnem mestu povedali na družbenih omrežjih.

Vaša zasebnost nam je pomembna. Zaradi tega smo razvili pravilnik o zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in shranjujemo vaše podatke. Preberite našo politiko zasebnosti in nam sporočite, če imate kakršna koli vprašanja.

Zbiranje in uporaba osebnih podatkov

Osebni podatki se nanašajo na podatke, ki jih je mogoče uporabiti za identifikacijo določene osebe ali stik z njo.

Od vas se lahko zahteva, da navedete svoje osebne podatke kadar koli, ko nas kontaktirate.

V nadaljevanju je nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako jih lahko uporabimo.

Katere osebne podatke zbiramo:

Ko oddate prijavo na spletnem mestu, lahko zbiramo različne podatke, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, e-poštnim naslovom itd.

Kako uporabljamo vaše osebne podatke:

Osebni podatki, ki jih zbiramo, nam omogočajo, da stopimo v stik z vami in vas obvestimo o edinstvenih ponudbah, promocijah in drugih dogodkih ter prihajajočih dogodkih.
Občasno lahko vaše osebne podatke uporabimo za pošiljanje pomembnih obvestil in sporočil.
Osebne podatke lahko uporabljamo tudi za interne namene, kot so izvajanje revizij, analize podatkov in različnih raziskav, da bi izboljšali storitve, ki jih ponujamo, in vam zagotovili priporočila glede naših storitev.
Če sodelujete v nagradni igri, tekmovanju ali podobni spodbudi, lahko podatke, ki jih posredujete, uporabimo za upravljanje takšnih programov.

Razkritje tretjim osebam

Podatkov, ki jih prejmete od vas, ne razkrivamo tretjim osebam.

Izjeme:

V primeru, da je treba - v skladu z zakonom, sodnim redom, v sodnih postopkih in/ali na podlagi javnih zahtev ali zahtev državnih organov na ozemlju Ruske federacije - razkriti svoje osebne podatke. Podatke o vas lahko razkrijemo tudi, če ugotovimo, da je takšno razkritje potrebno ali primerno zaradi varnosti, kazenskega pregona ali drugih razlogov javnega interesa.
V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zberemo, prenesemo na ustreznega naslednika tretje osebe.

Zaščita osebnih podatkov

Sprejmemo previdnostne ukrepe – vključno z upravnimi, tehničnimi in fizičnimi – za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo, pa tudi pred nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.

Ohranjanje vaše zasebnosti na ravni podjetja

Da zagotovimo, da so vaši osebni podatki varni, našim zaposlenim sporočamo prakse zasebnosti in varnosti ter strogo uveljavljamo prakse zasebnosti.

Kaj je logaritem?

Pozor!
Obstajajo dodatni
gradivo v posebnem oddelku 555.
Za tiste, ki močno "ni zelo ..."
In za tiste, ki "zelo ...")

Kaj je logaritem? Kako rešiti logaritme? Ta vprašanja zmedejo številne diplomante. Tradicionalno se tema logaritmov šteje za zapleteno, nerazumljivo in strašljivo. Še posebej - enačbe z logaritmi.

To absolutno ne drži. Vsekakor! Ne verjameš? V redu. Zdaj, za kakšnih 10-20 minut:

1. Razumeti kaj je logaritem.

2. Naučite se reševati cel razred eksponentnih enačb. Tudi če zanje še niste slišali.

3. Naučite se izračunati preproste logaritme.

Poleg tega boste za to morali poznati samo tabelo množenja in kako se število dvigne na potenco ...

Čutim, da dvomiš ... No, drži čas! Pojdi!

Najprej v mislih rešite naslednjo enačbo:

Če vam je to spletno mesto všeč...

Mimogrede, imam za vas še nekaj zanimivih spletnih mest.)

Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učenje - z zanimanjem!)

lahko se seznanite s funkcijami in izpeljankami.