Тема урока функция у корень из х. Функция y = корень квадратный из x, ее свойства и график. Построение графика функции квадратного корня

Разделы: Математика

Цели: закрепить знание свойств функции при выполнении упражнений, проверить навыки и умение учащихся и степень усвоения ими изученного материала в ходе самостоятельной работы, повторить ранее изученный материал.

Задачи: побуждать учащихся к самоконтролю, взаимоконтролю, самоанализу своей учебной деятельности. Развить творческое и умственное мышление.

Метод работы на уроке:

Учащиеся работают в паре. Каждая парта это отдельный вариант. Желательно рассадить детей к слабому учащемуся – сильного.

На каждую парту раздается конверт с 1) оценочный лист, 2) лист для устной работы, 3) задание “Лото” + ребус.

На предыдущем уроке можно задать домашнюю самостоятельную работу по вариантам:

Задание 1. Постройте фигуру, ограниченную графиками функций.

Вариант 1.
Вариант 2.

Этап 1. Орг.момент (3 мин) Приветствие. Сообщить тему. Сказать план работы на уроке. Работа состоит из трех этапов. Результаты каждого этапа учащиеся заносят в индивидуальные оценочные листы. (раздать оценочный лист из приложения 2)

Этап 2. Проверка домашнего задания (5 мин)

Учащиеся меняются своими тетрадями с соседней партой.

1 ученик у доски показывает решение № 350 Слайд 3

Проверка домашнего задания №1. Cлайд 4

Подсчитываем количество баллов: за верно выполненный номер 350 - 1 балл, за верно выполненную самостоятельную работу баллы ставим так: за каждый верно построенный график по 1 баллу, 1 балл за верно обозначенную фигуру. Итог – 5 баллов за выполненные верно 2 задания. Выставляем баллы в оценочный лист. Слайд 6

Этап 3. Устная работа (Повторение теории) (5 мин) Cлайд 6

Раздать учащимся лист с заданием для устной работы (см в приложении 2)

2 мин. на проверку. Проверка с взаимоконтролем (опять меняемся ответами) . Слайд 7

Этап 4. Практическая часть (20 мин) Слайд 10-13

Цель: уметь без построения графика определять принадлежность точки, с помощью применения свойств графика функции сравнить числа, способствовать работе в команде и с помощью ребусов развивать познавательный процесс.

У учащихся на парте имеется карточка с заданием, конверт с вариантами ответов (9 карточек с разными ответами, но на 3-х есть правильные) и пустая карточка с номера задания для составления ребуса.

Задания составлены так, что первые две буквы решает один ученик, а вторые две буквы – второй ученик, и только №3 – решают сообща.

“Лото” – дифференцированная самостоятельная работа (выполняется по вариантам и в парах)

Задание 1. Решите 3 задания из варианта, записанные на карте, найдите карточки с правильными ответами и закройте ими соответствующие задания, тогда на верхней их стороне получится ребус.

Задание 2. Разгадайте ребус, ответив на вопрос.

В1. Какое еще название имеет арифметический квадратный корень?

В2. Какой математик однажды заметил что: “Математическую теорию можно считать совершенной только тогда, когда ты сделал ее настолько ясной, что берешься изложить ее содержание первому встречному?

“Лото” Вариант 1
№1. В какой точке пересекается график функции и прямая
а) у = 2; б) 2у = 3	в) у = -2; г) у = 4.
С (1600;40), N (900;-30)	E (0,81; 0,9); P (0,5; 0,25)
№3. Сравните числа А) ; б) ; в) ; г) ; д).
“Лото” Вариант 2
№1. В какой точке пересекается график функции и прямая
а) у = 3; б) 2у = 5	в) у = -3; г) у = 6.
№2. Какие из точек принадлежат графику функции
А (2500;50), С (400;-20)	В (0,64; 0,8); P (0,3; 0,09)
№3. Сравните числа А) ; б) ; в) ; г) ; д).

Карточка для ответов:

2. Записать дифференцированную домашнюю работу

“3” – 357
“4” – 357 + 351 (б, г)
“5” – 357 + 351 (б, г) + 456

Индивидуальная домашняя работа для сильных учащихся:

Построить в одной системе координат графики функций и сделать выводы, что происходит с графиком функции . (преобразование графиков еще не изучено) .

Урок и презентация на тему: "График функции квадратного корня. Область определения и построение графика"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 8 класса
Электронное учебное пособие к учебнику Мордковича А.Г.
Электронная рабочая тетрадь по алгебре для 8 класса

График функции квадратного корня

Ребята, с построением графиков функций мы с вами уже встречались, и не раз. Мы строили множества линейных функций и парабол . В общем виде любую функцию удобно записать, как $y=f(x)$. Это уравнение с двумя переменными - для каждого значения x мы получаем y. Выполнив некоторую заданную операцию f, мы отображаем множество всех возможных x на множество y. В качестве функции f мы можем записывать практически любую математическую операцию.

Обычно при построении графиков функций мы пользуемся таблицей, в которой записываем значения х и у. Например, для функции $y=5x^2$ удобно использовать следующую таблицу: Отметим полученные точки на декартовой системе координат и аккуратно соединим их гладкой кривой. Наша функция не ограничена. Только этими точками мы можем подставить совершенно любое значение х из заданной области определения, то есть тех х, при которых выражение имеет смысл.

На одном из прошлых уроков мы изучили новую операцию извлечения корня квадратного . Возникает вопрос, а можем ли мы, используя эту операцию, задать какую-нибудь функцию и построить ее график? Воспользуемся общим видом функции $y=f(x)$. y и х оставим на своем месте, а вместо f введем операцию корня квадратного: $y=\sqrt{x}$.
Зная математическую операцию, мы смогли задать функцию.

Построение графика функции квадратного корня

Давайте построим график этой функции. Исходя из определения корня квадратного, мы можем вычислять его только из неотрицательных чисел, то есть $x≥0$.
Составим таблицу:
Отметим наши точки на координатной плоскости.

Нам осталось аккуратно соединить полученные точки.

Ребята, обратите внимание: если график нашей функции повернуть на бок, то получится левая ветка параболы. На самом деле, если строчки в таблице значений поменять местами (верхнюю строчку с нижней), то у нас получаться значения, как раз для параболы.

Область определения функции $y=\sqrt{x}$

Используя график функции, свойства описать довольно таки просто.
1. Область определения: $$.
б) $$.

Решение.
Мы можем решить наш пример двумя способами. В каждой букве опишем разные способы.

А) Вернемся к графику функции, построенному выше, и отметим требуемые точки отрезка. Хорошо видно, что при $х=9$ функция больше всех остальных значений. Значит и наибольшее значение она достигает в этой точке. При $х=4$ значение функции ниже всех остальных точек, а значит, тут и есть наименьшее значение.

$y_{наиб}=\sqrt{9}=3$, $y_{наим}=\sqrt{4}=2$.

Б) Мы знаем, что наша функция возрастающая. Значит, каждому большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Наибольшее и наименьшее значение достигаются на концах отрезка:

$y_{наиб}=\sqrt{11}$, $y_{наим}=\sqrt{2}$.

Пример 2.
Решить уравнение:

$\sqrt{x}=12-x$.

Решение.
Проще всего построить два графика функции и найти их точку пересечения.
На графике хорошо видна точка пересечения с координатами $(9;3)$. А значит, $х=9$ - решение нашего уравнения.
Ответ: $х=9$.

Ребята, а можем ли мы быть уверены, что больше решений у этого примера нет? Одна из функций возрастает, другая - убывает. В общем случае, они либо не имеют общих точек, либо пересекаются только в одной.

Пример 3.

Построить и прочитать график функции:

$\begin {cases} -x, x 9. \end {cases}$

Нам нужно построить три частных графика функции, каждый на своем промежутке.

Опишем свойства нашей функции:
1. Область определения: $(-∞;+∞)$.
2. $y=0$ при $х=0$ и $х=12$; $у>0$ при $хϵ(-∞;12)$; $y 3. Функция убывает на отрезках $(-∞;0)U(9;+∞)$. Функция возрастает на отрезке $(0;9)$.
4. Функция непрерывна на всей области определения.
5. Наибольшего и наименьшего значения нет.
6. Область значений: $(-∞;+∞)$.

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции корня квадратного на отрезке:
а) $$;
б) $$.
2. Решить уравнение: $\sqrt{x}=30-x$.
3. Построить и прочитать график функции: $\begin {cases} 2-x, x 4. \end {cases}$
4. Построить и прочитать график функции: $y=\sqrt{-x}$.

Здравствуйте!

Сегодня у нас необычное занятие. Мы проведем математический урок здоровья.

Вместе с «закреплением» математических знаний мы вспомним основные секреты здоровья.

А эпиграфом урока будут слова «Великая книга здоровья написана математическими символами»

Как вы понимаете эти слова?

Без математических знаний невозможна ни одна наука и даже такая, как наука о здоровье. И в этом мы сегодня убедимся.

Итак, на прошлом уроке мы познакомились с функцией

, её свойствами и графиком.

Подпишите число и тему урока.

Предлагаю вам в процессе опроса определить, какие знания вам сегодня необходимо вспомнить и применить?

2. Актуализация теоретических знаний (фронтальный опрос) (5 мин.)

Задание: Дополнить фразы.

А) Арифметическим квадратным корнем из числа а называется…

В) Выражение не имеет смысла при …

С) Графиком функции является…

D ) Функция имеет отличительные…

E ) По графику функцииможно определить…

Какие мы для себя поставим задачи?

Задачи: совершенствовать умение строить график функции вида y=
, повторить свойства этой функции, проверить усвоение материала по нахождению квадратных корней, через решение выражений и уравнений.

Как вы заметили буквы, обозначающие последовательность фраз - заглавные латинские. В медицине так обозначаются витамины. В данном перечне представлена группа витаминов, которые присутствуют во многих продуктах питания и помогают вам хорошо видеть, быть стойкими перед простудными заболеваниями и стрессовыми ситуациями.

Поэтому, первое правило здоровья - это здоровое и правильное питание.

- Чтобы открыть второй секрет здоровья, сядем правильно и вместе поиграем в математическое лото.

Вычислительная разминка. (8 мин.)

Игра «Математическое лото»

Вычислить

Вычислите, укажите правильный ответ

Какое целое число заключено между
и

Что больше ,
; 3,2 ?

Найти наибольшее значение функции y= на отрезке от 1 до 25

Решить уравнение
=4

Найти наибольший корень уравнения x2 = 4

Вычислить

Вычислить
+

Вычислить

Найти сторону квадрата, если его площадь равна 64 см2

Найти периметр квадрата, если его площадь равна 9 см2

-Второй секрет здоровья - режим дня . Это правильное сочетание и чередование труда, занятий и отдыха. В рубрике «Это интересно!» мы узнаем о режиме дня известного математика.

4. Это интересно! (3 мин.)

Пифагор едва ли не самый популярный ученый за всю историю человечества. Математик, механик, музыкант, олимпийски чемпион древности, имя ни одного ученого не повторяется так часто. Он учредил свою школу, учеников школы называли пифагорейцами. Попасть в пифагорейскую школу было очень трудно. Пифагор выработал для себя и своих учеников особый распорядок дня. Встав до восхода солнца, пифагорейцы шли на морской берег встречать рассвет, делали гимнастические упражнения, завтракали. В конце дня совершали совместные прогулки, морское купание и ужинали, а после ужина - молились богам и читали.

И мы с вами не будем нарушать режим и немного отдохнём. Сядем удобно и следим глазами за шайбой.

5.Физминутка для глаз (2 мин.)

Эта физминутка даёт подсказку о третьем секрете здоровья. О каком?

- Занятие спортом, постоянное движение.

И сейчас мы устроим своеобразное математическое соревнование между парами по проверке ваших знаний по теме урока.

6. Отработка знаний, умений, навыков (10 мин.)

1. Работа в парах (формирование 3 пар).

Задание: найти неточность в предложенных свойствах функции
, отметить выбранный вариант флажком вашей пары, по возможности первыми, и обязательно дать правильную формулировку свойства, иначе ответ переходит следующей паре:

Область определения функции - множество неотрицательных чисел (х≥0).

Область значений функции - множество Z.

3. Функция возрастает.

4. y=0 при x=0; y<0 при x<0; y>0 при x>0

5.Нет наибольшего и наименьшего значения функции.

6. График функции симметричен графику функции у = х², где х≥0 относительно прямой у = х.

7. Практическое применение знаний (10 мин.)

Задание в учебнике № 357 с.84:

Решить графически уравнение один обучающийся у доски с устным объяснением этапов решения.

8. Рефлексия (3 мин.)

Заканчивается наш урок, подведем итоги.

Вам было интересно?

Какие знания и умения должны были применить на уроке?

Что нового открыли для себя на уроке.

А как настроение? Влияет ли настроение на здоровье? Вот и последний секрет - «хорошее настроение».

Положительные эмоции тоже необходимы для здорового образа жизни. Сегодня на занятии вы испытали радость познания, удовлетворенность своими успехами, доброжелательность в общении. Здоровье - это бесценное достояние не только каждого отдельно взятого человека, но и всего общества.

Давайте посмотрим друг на друга, улыбнёмся и этот положительный заряд эмоции возьмём с собой на следующий урок.

Берегите себя, свое здоровье и тогда математические задачи будут решаться быстрей и легче.

9. Домашнее задание (1 мин.)

п.15 № 365; № 367;
№ 344(а).

Спасибо за урок!

Тема урока: Функция у = , ее свойства и график.

Тип урока : изучение нового материала.

Цели урока:

Задачи, решаемые на уроке:

научить учащихся самостоятельно работать;

высказывать предположения и догадки;

уметь делать обобщение изучаемых факторов.

Оборудование : доска, мел, мультимедийный проектор, раздаточный материал.

Хронометраж урока.

Создание проблемной ситуации (работа по слайдам) -2мин

Определение темы урока совместно с учащимися – 1мин.

Актуализация знаний (фронтальный опрос) (работа по слайдам) -2мин

Постановка целей и задач урока совместно с учащимися – 1мин.

Работа в группах, построенная на создании проблемных ситуаций (работа текстом) -10мин

Защита выполненных заданий- 9мин.

Динамическая пауза– 2мин.

Устная работа по графику на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции- 2мин.

Самостоятельная работа в группах по построению графика и перечислению свойств функции у= - . (Закрепление полученных знаний и отработка навыков преобразований графиков) – 10мин .

Момент занимательности. Математика и пословицы - 3мин

Подведение итогов урока, задание на дом– 2мин.

Рефлексия– 1мин.

Итого 45 минут.

Ход урока.

Создание проблемной ситуации (работа по слайдам)

Учащимся на слайде показывается график «розы ветров», кардиограмма.

Вопрос классу: Что изображено на слайдах? О чем пойдет речь на уроке? – о графиках.

Актуализация знаний (фронтальный опрос)

Работа по слайдам.

Вопрос: Какие графики изображены на слайде?

Перечислите название функций их определяющих.

Есть ли среди них не знакомые вам? – у=

Знаете ли свойства и его график? - нет

3 . Определение темы урока совместно с учащимися.

4. Постановка целей и задач урока совместно с учащимися.

Учащиеся формулирует и проговаривает цели и задачи урока.

5. Проблемная ситуация.

Самостоятельное изучение нового материала. Групповая работа.

Каждая группа получает специальные бланки с заданиями.

Задание 1 группе. Задача. Найти площадь s и сторону квадрата a. Определить зависимость между переменными, записать соответствующую формулу.

Задание 2 группе . Изучить построение нового графика функции у= и его свойства.

Задание 3 группе . Рассмотреть особенности расположения графиков функции у=х 2 и у= .

6. Ответы учащихся .

Учащиеся выходят к доске командами и объясняют разобранный материал. Учитель корректирует ответы учащихся.

Вывод: вместе с учащимися сделать еще раз вывод о свойствах функции и прочитать их по учебнику:

7. Динамическая пауза.

Группам раздаются конверты с заданиями. Найти соответствие между формулой, графиком и названием функции. Учащиеся должны быстро построится в соответствии с ответами задания:

У=3х+2, у= , у=2х 2 +4, у=5/х; линейная, квадратичная, степенная, обратная пропорциональность, парабола, гипербола, прямая, корень из х.

8. Устная работа с классом. На слайде показывается график функции У= .

Вопрос: найти наибольшее и наименьшее значение функции у= на интервале .

9. Самостоятельная работа. Взаимопроверка.

Построить график функции у=- ,перечислить его свойства. Каждый индивидуально строит график в тетрадях. Далее учащиеся обмениваются тетрадями и осуществляют взаимопроверку. В конце урока учитель собирает тетради и проверяет сам насколько точно и аккуратно были построены графики.

10. Момент занимательности .

Вопрос.Как вы думаете есть ли связь между математикой и пословицами? Предлагаю посмотреть следующие слайды,на которых изображены графики и соответствующие им пословицы. Например, « Любишь кататься,люби и саночки возить», « Кашу маслом не испортишь», « Чем дальше в лес,тем больше дров» и другие.

11.Подведение итогов урока. Дом задание. № 98,99,100.

12. Рефлексия « Окно».