Чому дорівнює площа бічної поверхні усіченої піраміди. Усічена піраміда

– це багатогранник, який утворюється основою піраміди та паралельним йому перетином. Можна сказати, що усічена піраміда – це піраміду зі зрізаною верхівкою. Ця фігура має безліч унікальних властивостей:

• Бічні грані піраміди є трапеціями;
• Бічні ребра правильної усіченої піраміди однакової довжини та нахилені до основи під однаковим кутом;
• Підстави є схожими багатокутниками;
• У правильній усіченій піраміді, грані є однаковими рівнобедреними трапеціями, площа яких дорівнює. Також вони нахилені до основи під одним кутом.

Формула площі бічної поверхні усіченої піраміди є сумою площ її сторін:

Оскільки сторони усіченої піраміди є трапецією, то для розрахунку параметрів доведеться скористатися формулою площі трапеції. Для правильної зрізаної піраміди можна застосувати іншу формулу розрахунку площі. Оскільки всі її сторони, грані і кути при підставі рівні, то можна застосувати периметри основи та апофему, а також вивести площу через кут при підставі.

Якщо за умовами в правильній усіченій піраміді дано апофему (висота бічної сторони) і довжину сторін основи, то можна розрахувати площу через напівтвор суми периметрів основ і апофеми:

Давайте розглянемо приклад розрахунку площі бічної поверхні усіченої піраміди.
Дано правильну п'ятикутну піраміду. Апофема l= 5 см, довжина грані у великій підставі дорівнює a= 6 см, а грань у меншій підставі b= 4 см. Розрахуйте площу усіченої піраміди.

Для початку знайдемо периметри основ. Оскільки нам дана п'ятикутна піраміда, ми розуміємо, що підстави є п'ятикутниками. Значить, в основі лежить фігура з п'ятьма однаковими сторонами. Знайдемо периметр більшої основи:

Таким же чином знаходимо периметр меншої основи:

Тепер можемо розраховувати площу правильної усіченої піраміди. Підставляємо дані у формулу:

Таким чином, ми розрахували площу правильної усіченої піраміди через периметри та апофему.

Ще один спосіб розрахунку площі бічної поверхні правильної піраміди, це формула через кути біля основи та площу цих самих підстав.

Розгляньмо приклад розрахунку. Пам'ятаємо, що ця формула застосовується лише для правильної усіченої піраміди.

Нехай дана правильна чотирикутна піраміда. Грань нижньої основи a = 6 см, а грань верхньої b = 4 см. Двогранний кут на підставі β = 60°. Знайдіть площу бічної поверхні правильної усіченої піраміди.

Для початку розрахуємо площу основ. Оскільки піраміда правильна, всі межі підстав рівні між собою. Враховуючи, що в основі лежить чотирикутник, розуміємо, що потрібно буде розрахувати площа квадрата. Вона є твір ширини на довжину, але у квадраті ці значення збігаються. Знайдемо площу більшої основи:


Тепер використовуємо знайдені значення розрахунку площі бічної поверхні.

Знаючи кілька нескладних формул, ми легко розрахували площу бічної трапеції усіченої піраміди через різні значення.

На даному уроці ми розглянемо усічену піраміду, познайомимося з правильною усіченою пірамідою, вивчимо їх властивості.

Згадаймо поняття n-вугільної піраміди на прикладі трикутної піраміди. Заданий трикутник АВС. Поза площиною трикутника взято точку Р, з'єднану з вершинами трикутника. Отримана багатогранна поверхня називається пірамідою (рис. 1).

Рис. 1. Трикутна піраміда

Розсічемо піраміду площиною, паралельною площині основи піраміди. Отримана між цими площинами постать і називається усіченою пірамідою (рис. 2).

Рис. 2. Усічена піраміда

Основні елементи:

Верхня основа;

Нижня основа АВС;

Бічна грань;

Якщо РН – висота вихідної піраміди, то – висота усіченої піраміди.

Властивості усіченої піраміди випливають із способу її побудови, а саме з паралельності площин основ:

Усі бічні грані усіченої піраміди є трапеціями. Розглянемо, наприклад, грань. У неї за властивістю паралельних площин (оскільки площини паралельні, то бічну грань вихідної піраміди АВР вони розтинають по паралельних прямих), водночас і не паралельні. Очевидно, що чотирикутник є трапецією, як і всі бічні грані усіченої піраміди.

Ставлення підстав однакове всім трапецій:

Маємо кілька пар таких трикутників з однаковим коефіцієнтом подібності. Наприклад, трикутники і РАВ подібні в силу паралельності площин і коефіцієнт подібності:

У той же час подібні трикутники та РВС з коефіцієнтом подібності:

Очевидно, що коефіцієнти подібності для всіх трьох пар подібних трикутників рівні, тому відношення підстав однакове для всіх трапецій.

Правильною усіченою пірамідою називається усічена піраміда, отримана перетином правильної піраміди площиною, паралельною до основи (рис. 3).

Рис. 3. Правильна усічена піраміда

Визначення.

Правильною називається піраміда, в основі якої лежить правильний n-кутник, а вершина проектується в центр цього n-кутника (центр вписаного та описаного кола).

В даному випадку на основі піраміди лежить квадрат, і вершина проектується в точку перетину його діагоналей. У отриманої правильної чотирикутної усіченої піраміди ABCD - нижня основа - верхня основа. Висота вихідної піраміди - РВ, усіченої піраміди - (рис. 4).

Рис. 4. Правильна чотирикутна усічена піраміда

Визначення.

Висота усіченої піраміди - це перпендикуляр, проведений з будь-якої точки однієї основи до площини другої основи.

Апофема вихідної піраміди – РМ (М – середина АВ), апофема усіченої піраміди – (рис. 4).

Визначення.

Апофема усіченої піраміди – висота будь-якої бічної грані.

Ясно, що всі бічні ребра усіченої піраміди рівні між собою, тобто бічні грані – рівні рівнобедрені трапеції.

Площа бічної поверхні правильної усіченої піраміди дорівнює добутку напівсуми периметрів підстав на апофему.

Доказ (для правильної чотирикутної усіченої піраміди – рис. 4):

Отже, необхідно довести:

Площа бічної поверхні тут складатиметься із суми площ бічних граней – трапецій. Оскільки трапеції однакові, маємо:

Площа рівнобедреної трапеції – це твір напівсуми основ та висоти, апофема є висотою трапеції. Маємо:

Що і потрібно було довести.

Для n-вугільної піраміди:

Де n – кількість бічних граней піраміди, a та b – основи трапеції, – апофема.

Сторони основи правильної усіченої чотирикутної піраміди рівні 3 см і 9 см, висота - 4 см. Знайти площу бічної поверхні.

Рис. 5. Ілюстрація до задачі 1

Рішення. Проілюструємо умову:

Задано: , ,

Через точку Проведемо пряму MN паралельно двом сторонам нижньої основи, аналогічно через точку проведемо пряму (рис. 6). Оскільки в підставах усіченої піраміди квадрати та побудови паралельні, отримаємо трапецію, рівну бічним граням. Причому її бічна сторона проходитиме через середини верхнього і нижнього ребра бічних граней і є апофемою усіченої піраміди.

Рис. 6. Додаткові побудови

Розглянемо отриману трапецію (рис. 6). У цій трапеції відома верхня основа, нижня основа та висота. Потрібно знайти бічну сторону, яка є апофемою заданої усіченої піраміди. Проведемо перпендикулярно до MN. З точки опустимо перпендикуляр NQ. Отримаємо, що більша основа розбивається на відрізки по три сантиметри (). Розглянемо прямокутний трикутник, катети у ньому відомі, це єгипетський трикутник, за теоремою Піфагора визначаємо довжину гіпотенузи: 5 див.

Тепер є всі елементи для визначення площі бічної поверхні піраміди:

Піраміда перетнута площиною, паралельною основі. Доведіть на прикладі трикутної піраміди, що бічні ребра та висота піраміди діляться цією площиною на пропорційні частини.

Доказ. Проілюструємо:

Рис. 7. Ілюстрація до завдання 2

Задано піраміду РАВС. РО – висота піраміди. Піраміда розсічена площиною, отримана усічена піраміда, причому. Точка-точка перетину висоти РВ з площиною основи усіченої піраміди. Необхідно довести:

Ключем до вирішення є властивість паралельних площин. Дві паралельні площини розтинають будь-яку третю площину так, що лінії перетину паралельні. Звідси: . З паралельності відповідних прямих випливає наявність чотирьох пар подібних трикутників:

З подоби трикутників випливає пропорційність відповідних сторін. Важлива особливість у тому, що коефіцієнти подібності цих трикутників однакові:

Що і потрібно було довести.

Правильна трикутна піраміда РАВС з висотою та стороною основи розсічена площиною, що проходить через середину висоти РН паралельно основи АВС. Знайти площу бічної поверхні отриманої усіченої піраміди.

Рішення. Проілюструємо:

Рис. 8. Ілюстрація до задачі 3

АСВ - правильний трикутник, Н - центр даного трикутника (центр вписаного та описаного кіл). РМ – апофема заданої піраміди. - Апофема усіченої піраміди. Відповідно до властивості паралельних площин (дві паралельні площини розтинають будь-яку третю площину так, що лінії перетину паралельні), маємо кілька пар подібних трикутників з рівним коефіцієнтом подібності. Зокрема, нас цікавить ставлення:

Знайдемо НМ. Це радіус кола, вписаного в основу, відповідна формула нам відома:

Тепер із прямокутного трикутника РНМ за теоремою Піфагора знайдемо РМ - апофему вихідної піраміди:

З початкового співвідношення:

Тепер нам відомі всі елементи для знаходження площі бічної поверхні усіченої піраміди:

Отже, ми ознайомилися з поняттями усіченої піраміди та правильної усіченої піраміди, дали основні визначення, розглянули властивості, довели теорему про площу бічної поверхні. Наступний урок буде присвячено вирішенню завдань.

Список літератури

1. І. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрія. 10-11 клас: підручник для учнів загальноосвітніх установ (базовий та профільний рівні) / І. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-те вид., Випр. та дод. – М.: Мнемозіна, 2008. – 288 с.: іл.
2. Шаригін І. Ф. Геометрія. 10-11 клас: Підручник для загальноосвітніх навчальних закладів / Шаригін І. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: іл.
3. Є. В. Потоскуєв, Л. І. Звалич. Геометрія. 10 клас: Підручник для загальноосвітніх закладів з поглибленим та профільним вивченням математики /Є. В. Потоскуєв, Л. І. Звалич. - 6-те вид., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: іл.

1. Uztest.ru ().
2. Fmclass.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru().

Домашнє завдання

• 29.05.2016

  Коливальний контур - електричний ланцюг, що містить котушку індуктивності, конденсатор та джерело електричної енергії. При послідовному з'єднанні елементів ланцюга коливальний контур називається послідовним, при паралельному – паралельним. Коливальний контур – найпростіша система, в якій можуть відбуватися вільні електромагнітні коливання. Резонансна частота контуру визначається так званою формулою Томсона: ƒ = 1/(2π√(LC)) Для …

• 20.09.2014

  Приймач призначений прийому сигналів у діапазоні ДВ(150кГц…300кГц). Головна особливість приймача в антені, яка має більшу індуктивність, ніж звичайна магнітна антена. Що дозволяє застосувати ємність підстроювального конденсатора в межах 4...20пФ, а також такий приймач має прийнятну чутливість і невелике посилення тракту РЧ. Працює приймач на головні телефони (навушники).

• 24.09.2014

  Це уст-во призначено контролю рівня рідини в резервуарах, як тільки рідина підніметься до встановленого рівняуст-во почне подавати безперервний звуковий сигналколи рівень рідини досягне критичного рівня уст-во почне подавати переривчастий сигнал. Індикатор складається з 2-х генераторів, ними управляє сенсорний елемент E. Його розміщують у резервуарі на рівні до …

• 22.09.2014

  КР1016ВІ1 - цифровий багатопрограмний таймер, призначений для роботи з індикатором ІЛЦ3-5\7. Вона забезпечує відлік та відображення на індикаторі поточного часу в годинах та хвилинах, день тижня та номер каналу керування (9 будильників). Схема будильника показано малюнку. Тактується мікросхема кв. резонатором Q1 на 32768Гц. харчування - негативне, загальний плюс надходить на …