Găsiți un unghi ascuțit între liniile drepte. Găsirea unghiului dintre liniile drepte

Definiție. Dacă sunt date două drepte y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, atunci unghiul ascuțit dintre aceste drepte va fi definit ca

Două drepte sunt paralele dacă k 1 = k 2. Două drepte sunt perpendiculare dacă k 1 = -1 / k 2.

Teorema. Dreptele Ax + By + C = 0 și A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 sunt paralele când coeficienții proporționali A 1 = λA, B 1 = λB. Dacă și С 1 = λС, atunci liniile coincid. Coordonatele punctului de intersecție a două drepte se găsesc ca soluție a sistemului de ecuații ale acestor drepte.

Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat

Perpendicular pe această linie

Definiție. Linia dreaptă care trece prin punctul M 1 (x 1, y 1) și perpendiculară pe dreapta y = kx + b este reprezentată de ecuația:

Distanța de la punct la linie

Teorema. Dacă este dat un punct M (x 0, y 0), atunci distanța până la dreapta Ax + Vy + C = 0 este determinată ca

.

Dovada. Fie punctul M 1 (x 1, y 1) să fie baza perpendicularei căzute din punctul M pe o dreaptă dată. Atunci distanța dintre punctele M și M 1:

(1)

Coordonatele x 1 și y 1 pot fi găsite ca soluție a sistemului de ecuații:

A doua ecuație a sistemului este ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat M 0 perpendicular pe o dreaptă dată. Dacă transformăm prima ecuație a sistemului în forma:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + Prin 0 + C = 0,

apoi, rezolvand, obtinem:

Înlocuind aceste expresii în ecuația (1), găsim:

Teorema este demonstrată.

Exemplu... Să se determine unghiul dintre drepte: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k1 = -3; k2 = 2; tgφ = ; φ = p / 4.

Exemplu... Arătați că dreptele 3x - 5y + 7 = 0 și 10x + 6y - 3 = 0 sunt perpendiculare.

Soluţie... Găsim: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 * k 2 = -1, prin urmare, dreptele sunt perpendiculare.

Exemplu... Sunt date vârfurile triunghiului A (0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Găsiți ecuația pentru înălțimea desenată din vârful C.

Soluţie... Găsim ecuația laturii AB: ; 4 x = 6 y - 6;

2 x - 3 y + 3 = 0;

Ecuația de înălțime necesară este: Ax + By + C = 0 sau y = kx + b. k =. Atunci y =. pentru că înălțimea trece prin punctul C, atunci coordonatele sale satisfac această ecuație: de unde b = 17. Total:.

Răspuns: 3 x + 2 y - 34 = 0.

Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat într-o direcție dată. Ecuația unei drepte care trece prin două puncte date. Unghiul dintre două linii drepte. Condiția de paralelism și perpendicularitate a două drepte. Determinarea punctului de intersecție a două drepte

1. Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat A(X 1 , y 1) într-o direcție dată determinată de pantă k,

y - y 1 = k(X - X 1). (1)

Această ecuație definește un mănunchi de linii drepte care trec prin punct A(X 1 , y 1), care se numește centrul fasciculului.

2. Ecuația unei drepte care trece prin două puncte: A(X 1 , y 1) și B(X 2 , y 2) se scrie după cum urmează:

Panta unei drepte care trece prin două puncte date este determinată de formula

3. Unghiul dintre liniile drepte Ași B numit unghiul cu care trebuie să virați prima dreaptă Aîn jurul punctului de intersecție al acestor linii în sens invers acelor de ceasornic până când acesta coincide cu a doua linie B... Dacă două drepte sunt date de ecuaţii cu pantă

y = k 1 X + B 1 ,

y = k 2 X + B 2 , (4)

atunci unghiul dintre ele este determinat de formula

Rețineți că la numărătorul fracției, panta primei drepte este scăzută din panta celei de-a doua drepte.

Dacă ecuațiile dreptei sunt date în vedere generala

A 1 X + B 1 y + C 1 = 0,

A 2 X + B 2 y + C 2 = 0, (6)

unghiul dintre ele este determinat de formula

4. Condiții pentru paralelismul a două linii:

a) Dacă dreptele sunt date de ecuațiile (4) cu panta, atunci condiția necesară și suficientă pentru paralelismul lor constă în egalitatea pantelor lor:

k 1 = k 2 . (8)

b) Pentru cazul în care dreptele sunt date de ecuații în forma generală (6), condiția necesară și suficientă pentru paralelismul lor este ca coeficienții la coordonatele curente corespunzătoare din ecuațiile lor să fie proporționali, i.e.

5. Condiții pentru perpendicularitatea a două drepte:

a) În cazul în care dreptele sunt date de ecuațiile (4) cu panta, condiția necesară și suficientă pentru perpendicularitatea lor este ca pantele lor să fie reciproce ca mărime și opuse ca semn, i.e.

Această condiție poate fi scrisă și în formă

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Dacă ecuațiile dreptelor sunt date în forma generală (6), atunci condiția perpendicularității lor (necesară și suficientă) constă în îndeplinirea egalității.

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Coordonatele punctului de intersecție a două drepte se găsesc prin rezolvarea sistemului de ecuații (6). Liniile drepte (6) se intersectează dacă și numai dacă

1. Scrieți ecuațiile dreptelor care trec prin punctul M, dintre care una este paralelă, iar cealaltă perpendiculară pe o dreaptă dată l.

Acest material este dedicat unui astfel de concept precum unghiul dintre două linii drepte care se intersectează. În primul paragraf, vom explica ce este și o vom arăta în ilustrații. Apoi vom analiza în ce moduri puteți găsi sinusul, cosinusul acestui unghi și unghiul în sine (vom lua în considerare separat cazurile cu un plan și spațiu tridimensional), vom da formulele necesare și vom arăta cu exemple cum sunt aplicate. in practica.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pentru a înțelege ce unghi s-a format atunci când două drepte se intersectează, trebuie să ne amintim însăși definiția unghiului, a perpendicularității și a punctului de intersecție.

Definiția 1

Numim două drepte care se intersectează dacă au un punct comun. Acest punct se numește punctul de intersecție a celor două drepte.

Fiecare linie este împărțită de un punct de intersecție în raze. În acest caz, ambele linii drepte formează 4 unghiuri, dintre care două sunt verticale, iar două sunt adiacente. Dacă cunoaștem măsura unuia dintre ele, atunci le putem determina pe celelalte rămase.

Să presupunem că știm că unul dintre unghiuri este egal cu α. În acest caz, unghiul care este vertical în raport cu acesta va fi, de asemenea, egal cu α. Pentru a găsi unghiurile rămase, trebuie să calculăm diferența de 180 ° - α. Dacă α este egal cu 90 de grade, atunci toate unghiurile vor fi drepte. Liniile care se intersectează în unghi drept sunt numite perpendiculare (un articol separat este dedicat conceptului de perpendicularitate).

Aruncă o privire la poză:

Să trecem la formularea definiției principale.

Definiția 2

Unghiul format din două drepte care se intersectează este o măsură a celui mai mic dintre cele 4 unghiuri pe care le formează cele două linii.

O concluzie importantă trebuie trasă din definiție: mărimea unghiului în acest caz va fi exprimată prin orice număr real din intervalul (0, 90). Dacă liniile drepte sunt perpendiculare, atunci unghiul dintre ele va fi în orice caz. să fie egal cu 90 de grade.

Capacitatea de a găsi măsura unghiului dintre două drepte care se intersectează este utilă pentru rezolvarea multor probleme practice. Metoda de rezolvare poate fi selectată din mai multe opțiuni.

Pentru început, putem lua metode geometrice. Dacă știm ceva despre unghiuri suplimentare, atunci le putem asocia cu unghiul de care avem nevoie folosind proprietățile formelor egale sau similare. De exemplu, dacă cunoaștem laturile unui triunghi și trebuie să calculăm unghiul dintre liniile drepte pe care sunt situate aceste laturi, atunci teorema cosinusului ne este potrivită. Dacă avem un triunghi dreptunghic în condiție, atunci cunoașterea sinusului, cosinusului și tangentei unui unghi va fi de asemenea utilă pentru calcule.

Metoda coordonatelor este, de asemenea, foarte convenabilă pentru rezolvarea problemelor de acest tip. Să explicăm cum să-l folosim corect.

Avem un sistem de coordonate dreptunghiular (cartezian) O x y, în care sunt date două drepte. Să le notăm cu literele a și b. În acest caz, liniile drepte pot fi descrise folosind orice ecuație. Liniile originale au un punct de intersecție M. Cum se determină unghiul necesar (notă-l cu α) între aceste drepte?

Să începem prin a formula principiul de bază al găsirii unui unghi în condiții date.

Știm că conceptul de linie dreaptă este strâns legat de concepte precum direcția și vectorul normal. Dacă avem o ecuație a unei linii drepte, putem lua coordonatele acestor vectori din ea. Putem face acest lucru pentru două linii care se intersectează simultan.

Unghiul format din două drepte care se intersectează poate fi găsit folosind:

• unghiul dintre vectorii de direcție;
• unghiul dintre vectorii normali;
• unghiul dintre vectorul normal al unei drepte și vectorul direcție al celeilalte.

Acum vom lua în considerare fiecare metodă separat.

1. Să presupunem că avem o dreaptă a cu un vector de direcție a → = (a x, a y) și o dreaptă b cu un vector de direcție b → (b x, b y). Acum vom amâna doi vectori a → și b → din punctul de intersecție. După aceea, vom vedea că fiecare va fi amplasat pe propria linie. Apoi avem patru opțiuni pentru poziția lor relativă. Vezi ilustrația:

Dacă unghiul dintre cei doi vectori nu este obtuz, atunci va fi unghiul de care avem nevoie între liniile drepte care se intersectează a și b. Dacă este obtuz, atunci unghiul căutat va fi egal cu unghiul adiacent unghiului a →, b → ^. Astfel, α = a →, b → ^ dacă a →, b → ^ ≤ 90 ° și α = 180 ° - a →, b → ^ dacă a →, b → ^> 90 °.

Pe baza faptului că cosinusurile unghiurilor egale sunt egale, putem rescrie egalitățile rezultate astfel: cos α = cos a →, b → ^, dacă a →, b → ^ ≤ 90 °; cos α = cos 180 ° - a →, b → ^ = - cos a →, b → ^, dacă a →, b → ^> 90 °.

În al doilea caz s-au folosit formule de reducere. În acest fel,

cos α cos a →, b → ^, cos a →, b → ^ ≥ 0 - cos a →, b → ^, cos a →, b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Să scriem ultima formulă în cuvinte:

Definiția 3

Cosinusul unghiului format din două drepte care se intersectează va fi egal cu modulul cosinusului unghiului dintre vectorii săi de direcție.

Vederea generală a formulei pentru cosinusul unghiului dintre doi vectori a → = (a x, a y) și b → = (b x, b y) arată astfel:

cos a →, b → ^ = a →, b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Din aceasta putem deriva formula pentru cosinusul unghiului dintre două drepte date:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Apoi unghiul în sine poate fi găsit folosind următoarea formulă:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Aici a → = (a x, a y) și b → = (b x, b y) sunt vectori de direcție ai dreptelor date.

Să dăm un exemplu de rezolvare a problemei.

Exemplul 1

Într-un sistem de coordonate dreptunghiular pe plan, sunt date două drepte care se intersectează a și b. Ele pot fi descrise prin ecuațiile parametrice x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R și x 5 = y - 6 - 3. Calculați unghiul dintre aceste drepte.

Soluţie

Avem o ecuație parametrică în condiție, ceea ce înseamnă că pentru această linie dreaptă putem nota imediat coordonatele vectorului său de direcție. Pentru a face acest lucru, trebuie să luăm valorile coeficienților la parametru, adică. dreapta x = 1 + 4 λ y = 2 + λ λ ∈ R va avea un vector de direcție a → = (4, 1).

A doua linie dreaptă este descrisă folosind ecuația canonică x 5 = y - 6 - 3. Aici putem lua coordonatele de la numitori. Astfel, această dreaptă are un vector de direcție b → = (5, - 3).

În continuare, trecem direct la găsirea unghiului. Pentru a face acest lucru, pur și simplu înlocuim coordonatele disponibile ale celor doi vectori în formula de mai sus α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2. Obținem următoarele:

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45 °

Răspuns: Aceste linii drepte formează un unghi de 45 de grade.

Putem rezolva o problemă similară găsind unghiul dintre vectorii normali. Dacă avem o dreaptă a cu un vector normal na → = (nax, nay) și o dreaptă b cu un vector normal nb → = (nbx, nby), atunci unghiul dintre ele va fi egal cu unghiul dintre na → și nb → sau unghiul, care va fi adiacent cu na →, nb → ^. Această metodă este prezentată în imagine:

Formulele pentru calcularea cosinusului unghiului dintre liniile drepte care se intersectează și acest unghi în sine folosind coordonatele vectorilor normali arată astfel:

cos α = cos n a →, n b → ^ = n a x n b x + n a y + n by y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n by y 2 α = a r c cos n a x n b x + n a y + n by y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2

Aici n a → și n b → denotă vectorii normali ai două drepte date.

Exemplul 2

Într-un sistem de coordonate dreptunghiular, două drepte sunt date folosind ecuațiile 3 x + 5 y - 30 = 0 și x + 4 y - 17 = 0. Aflați sinusul, cosinusul unghiului dintre ele și valoarea acestui unghi în sine.

Soluţie

Liniile drepte originale sunt date folosind ecuații normale de drepte de forma A x + B y + C = 0. Vectorul normal este notat cu n → = (A, B). Să găsim coordonatele primului vector normal pentru o dreaptă și să le scriem: n a → = (3, 5). Pentru a doua dreaptă x + 4 y - 17 = 0, vectorul normal va avea coordonatele n b → = (1, 4). Acum să adăugăm valorile obținute la formulă și să calculăm totalul:

cos α = cos n a →, n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Dacă cunoaștem cosinusul unui unghi, atunci putem calcula sinusul acestuia folosind identitatea trigonometrică de bază. Deoarece unghiul α format din drepte nu este obtuz, atunci sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34.

În acest caz, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34.

Răspuns: cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

Să examinăm ultimul caz - găsirea unghiului dintre drepte, dacă știm coordonatele vectorului de direcție al unei drepte și vectorul normal al celeilalte.

Să presupunem că linia a are un vector de direcție a → = (a x, a y), iar linia b este un vector normal n b → = (n b x, n b y). Trebuie să amânăm acești vectori din punctul de intersecție și să luăm în considerare toate opțiunile pentru poziția lor relativă. Vezi in poza:

Dacă valoarea unghiului dintre vectorii dați nu este mai mare de 90 de grade, se dovedește că va completa unghiul dintre a și b la un unghi drept.

a →, n b → ^ = 90 ° - α dacă a →, n b → ^ ≤ 90 °.

Dacă este mai puțin de 90 de grade, atunci obținem următoarele:

a →, n b → ^> 90 °, apoi a →, n b → ^ = 90 ° + α

Folosind regula egalității cosinusurilor de unghiuri egale, scriem:

cos a →, n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α ca a →, n b → ^ ≤ 90 °.

cos a →, n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α ca a →, n b → ^> 90 °.

În acest fel,

sin α = cos a →, nb → ^, a →, nb → ^ ≤ 90 ° - cos a →, nb → ^, a →, nb → ^> 90 ° ⇔ sin α = cos a →, nb → ^, a →, nb → ^> 0 - cos a →, nb → ^, a →, nb → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Să formulăm o concluzie.

Definiția 4

Pentru a găsi sinusul unghiului dintre două drepte care se intersectează pe plan, trebuie să calculați modulul cosinusului unghiului dintre vectorul de direcție al primei linii și vectorul normal al celei de-a doua.

Să notăm formulele necesare. Aflarea sinusului unui unghi:

sin α = cos a →, n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Găsirea colțului în sine:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Aici a → este vectorul de direcție al primei linii, iar n b → este vectorul normal al celei de-a doua.

Exemplul 3

Două drepte care se intersectează sunt date de ecuațiile x - 5 = y - 6 3 și x + 4 y - 17 = 0. Găsiți unghiul de intersecție.

Soluţie

Luăm coordonatele direcției și ale vectorilor normali din ecuațiile date. Rezultă a → = (- 5, 3) și n → b = (1, 4). Luăm formula α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 și luăm în considerare:

α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

Vă rugăm să rețineți că am luat ecuațiile din problema anterioară și am obținut exact același rezultat, dar într-un mod diferit.

Răspuns:α = a r c sin 7 2 34

Iată o altă modalitate de a găsi unghiul dorit folosind pantele liniilor drepte date.

Avem o linie a, care este dată într-un sistem de coordonate dreptunghiular folosind ecuația y = k 1 x + b 1, și o linie b, care este definită ca y = k 2 x + b 2. Acestea sunt ecuații de drepte cu pantă. Pentru a găsi unghiul de intersecție, utilizați formula:

α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1, unde k 1 și k 2 sunt pantele dreptelor date. Pentru a obține această înregistrare s-au folosit formulele de determinare a unghiului în funcție de coordonatele vectorilor normali.

Exemplul 4

Există două drepte care se intersectează pe plan, date de ecuațiile y = - 3 5 x + 6 și y = - 1 4 x + 17 4. Calculați unghiul de intersecție.

Soluţie

Pantele dreptelor noastre sunt k 1 = - 3 5 și k 2 = - 1 4. Adăugați-le la formula α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 și calculați:

α = a r c cos - 3 5 - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 17 16 = a r c cos 23 2 34

Răspuns:α = a r c cos 23 2 34

În concluziile acestui paragraf, trebuie menționat că formulele de găsire a unghiului prezentate aici nu trebuie învățate pe de rost. Pentru a face acest lucru, este suficient să cunoașteți coordonatele ghidajelor și/sau ale vectorilor normali ai liniilor drepte date și să le puteți determina prin tipuri diferite ecuații. Dar este mai bine să vă amintiți sau să scrieți formulele pentru calcularea cosinusului unui unghi.

Cum se calculează unghiul dintre liniile care se intersectează în spațiu

Calculul unui astfel de unghi poate fi redus la calcularea coordonatelor vectorilor de direcție și determinarea valorii unghiului format de acești vectori. Pentru astfel de exemple se folosește același raționament pe care l-am dat mai înainte.

Să presupunem că avem un sistem de coordonate dreptunghiular situat în spațiul 3D. Conține două drepte a și b cu un punct de intersecție M. Pentru a calcula coordonatele vectorilor de direcție, trebuie să cunoaștem ecuațiile acestor drepte. Notăm vectorii de direcție a → = (a x, a y, a z) și b → = (b x, b y, b z). Pentru a calcula cosinusul unghiului dintre ele, folosim formula:

cos α = cos a →, b → ^ = a →, b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Pentru a găsi unghiul în sine, avem nevoie de această formulă:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Exemplul 5

Avem o linie dreaptă definită în spațiul tridimensional folosind ecuația x 1 = y - 3 = z + 3 - 2. Se știe că se intersectează cu axa O z. Calculați unghiul de intersecție și cosinusul acelui unghi.

Soluţie

Să notăm unghiul care trebuie calculat cu litera α. Să notăm coordonatele vectorului direcție pentru prima dreaptă - a → = (1, - 3, - 2). Pentru axa aplicată, putem lua ca direcție vectorul de coordonate k → = (0, 0, 1). Am primit datele necesare și le putem adăuga la formula necesară:

cos α = cos a →, k → ^ = a →, k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

Ca rezultat, am obținut că unghiul de care avem nevoie va fi egal cu a r c cos 1 2 = 45 °.

Răspuns: cos α = 1 2, α = 45 °.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o selectați și să apăsați Ctrl + Enter

Să fie date linii drepte în spațiu lși m... Prin un punct A al spațiului tragem linii l 1 || lși m 1 || m(fig. 138).

Rețineți că punctul A poate fi ales în mod arbitrar, în special, poate fi situat pe una dintre liniile date. Dacă drept lși m intersectează, atunci pentru A putem lua punctul de intersecție al acestor drepte ( l 1 = lși m 1 = m).

Unghiul dintre liniile neparalele lși m este valoarea celui mai mic dintre unghiurile adiacente formate prin intersectarea liniilor drepte l 1 și m 1 (l 1 || l, m 1 || m). Unghiul dintre liniile paralele este considerat a fi zero.

Unghiul dintre liniile drepte lși m notat cu \ (\ widehat ((l; m)) \). Din definiție rezultă că dacă se măsoară în grade, atunci 0 ° < \ (\ pălărie largă ((l; m)) \) < 90 °, iar dacă este în radiani, atunci 0 < \ (\ pălărie largă ((l; m)) \) < π / 2 .

Sarcină. Dat un cub ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (Fig. 139).

Aflați unghiul dintre liniile drepte AB și DC 1.

Liniile drepte AB și DC 1 se încrucișează. Deoarece linia dreaptă DC este paralelă cu dreapta AB, unghiul dintre dreptele AB și DC 1, conform definiției, este \ (\ widehat (C_ (1) DC) \).

Prin urmare, \ (\ widehat ((AB; DC_1)) \) = 45 °.

Direct lși m sunt numite perpendicular dacă \ (\ pălărie largă ((l; m)) \) = π / 2. De exemplu, într-un cub

Calculul unghiului dintre drepte.

Problema calculării unghiului dintre două drepte în spațiu se rezolvă în același mod ca și pe un plan. Fie φ valoarea unghiului dintre liniile drepte l 1 și l 2, iar prin ψ - valoarea unghiului dintre vectorii de direcție A și b aceste linii drepte.

Atunci dacă

ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90 ° (Fig. 206.6), apoi φ = 180 ° - ψ. Evident, în ambele cazuri, egalitatea cos φ = | cos ψ | este adevărată. Prin formula (cosinusul unghiului dintre vectorii nenuli a și b este egal cu produsul scalar al acestor vectori împărțit la produsul lungimilor lor) avem

$$ cos \ psi = cos \ widehat ((a; b)) = \ frac (a \ cdot b) (| a | \ cdot | b |) $$

prin urmare,

$$ cos \ phi = \ frac (| a \ cdot b |) (| a | \ cdot | b |) $$

Fie dreptele date de ecuațiile lor canonice

$$ \ frac (x-x_1) (a_1) = \ frac (y-y_1) (a_2) = \ frac (z-z_1) (a_3) \; \; și \;\; \ frac (x-x_2) (b_1) = \ frac (y-y_2) (b_2) = \ frac (z-z_2) (b_3) $$

Apoi unghiul φ dintre linii este determinat folosind formula

$$ cos \ phi = \ frac (| a_ (1) b_1 + a_ (2) b_2 + a_ (3) b_3 |) (\ sqrt ((a_1) ^ 2 + (a_2) ^ 2 + (a_3) ^ 2 ) \ sqrt ((b_1) ^ 2 + (b_2) ^ 2 + (b_3) ^ 2)) (1) $$

Dacă una dintre liniile drepte (sau ambele) este dată de ecuații non-canonice, atunci pentru a calcula unghiul, trebuie să găsiți coordonatele vectorilor de direcție ai acestor drepte și apoi să utilizați formula (1).

Obiectivul 1. Calculați unghiul dintre liniile drepte

$$ \ frac (x + 3) (- \ sqrt2) = \ frac (y) (\ sqrt2) = \ frac (z-7) (- 2) \; \; și \; \; \ frac (x) (\ sqrt3) = \ frac (y + 1) (\ sqrt3) = \ frac (z-1) (\ sqrt6) $$

Vectorii de direcție ai liniilor drepte au coordonate:

a = (-√2; √2; -2), b = (√3 ; √3 ; √6 ).

Prin formula (1), găsim

$$ cos \ phi = \ frac (| - \ sqrt6 + \ sqrt6-2 \ sqrt6 |) (\ sqrt (2 + 2 + 4) \ sqrt (3 + 3 + 6)) = \ frac (2 \ sqrt6) ( 2 \ sqrt2 \ cdot 2 \ sqrt3) = \ frac (1) (2) $$

Prin urmare, unghiul dintre aceste linii este de 60 °.

Obiectivul 2. Calculați unghiul dintre liniile drepte

$$ \ begin (cazuri) 3x-12z + 7 = 0 \\ x + y-3z-1 = 0 \ end (cazuri) și \ begin (cazuri) 4x-y + z = 0 \\ y + z + 1 = 0 \ end (cazuri) $$

În spatele vectorului de direcție A pe prima linie, luăm produsul vectorial al vectorilor normali n 1 = (3; 0; -12) și n 2 = (1; 1; -3) planuri care definesc această dreaptă. Prin formula \ (= \ begin (vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \ end (vmatrix) \) obținem

$$ a == \ begin (vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \ end (vmatrix) = 12i-3i + 3k $$

În mod similar, găsim vectorul direcție al celei de-a doua drepte:

$$ b = \ begin (vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \ end (vmatrix) = - 2i-4i + 4k $$

Dar folosind formula (1), calculăm cosinusul unghiului dorit:

$$ cos \ phi = \ frac (| 12 \ cdot (-2) -3 (-4) +3 \ cdot 4 |) (\ sqrt (12 ^ 2 + 3 ^ 2 + 3 ^ 2) \ sqrt (2) ^ 2 + 4 ^ 2 + 4 ^ 2)) = 0 $$

Prin urmare, unghiul dintre aceste linii este de 90 °.

Obiectivul 3.În piramida triunghiulară MAVS, muchiile MA, MB și MC sunt reciproc perpendiculare (Fig. 207);

lungimile lor sunt, respectiv, egale cu 4, 3, 6. Punctul D este mijlocul [МА]. Aflați unghiul φ dintre dreptele CA și DB.

Fie CA și DB vectori de direcție ai liniilor CA și DB.

Să luăm punctul M ca origine. După condiția problemei, avem A (4; 0; 0), B (0; 0; 3), C (0; 6; 0), D (2; 0; 0). Prin urmare \ (\ overrightarrow (CA) \) = (4; - 6; 0), \ (\ overrightarrow (DB) \) = (-2; 0; 3). Să folosim formula (1):

$$ cos \ phi = \ frac (| 4 \ cdot (-2) + (- 6) \ cdot 0 + 0 \ cdot 3 |) (\ sqrt (16 + 36 + 0) \ sqrt (4 + 0 + 9) )) $$

Din tabelul cosinus, aflăm că unghiul dintre liniile CA și DB este de aproximativ 72 °.

A. Să fie date două drepte Aceste drepte, așa cum este indicat în capitolul 1, formează diverse unghiuri pozitive și negative, care în acest caz pot fi atât acute, cât și obtuze. Cunoscând unul dintre aceste unghiuri, putem găsi cu ușurință oricare altul.

Apropo, pentru toate aceste unghiuri valoarea numerică a tangentei este aceeași, diferența poate fi doar în semn

Ecuații de linii. Numerele sunt proiecțiile vectorilor de direcție ai primei și celei de-a doua drepte.Unghiul dintre acești vectori este egal cu unul dintre unghiurile formate din drepte. Prin urmare, sarcina se reduce la determinarea unghiului dintre vectori, obținem

Pentru simplitate, putem conveni ca unghiul dintre două drepte să însemne un unghi pozitiv acut (ca, de exemplu, în Fig. 53).

Atunci tangenta acestui unghi va fi întotdeauna pozitivă. Astfel, dacă se obține un semn minus în partea dreaptă a formulei (1), atunci trebuie să-l renunțăm, adică să păstrăm doar valoarea absolută.

Exemplu. Determinați unghiul dintre liniile drepte

Prin formula (1), avem

Cu. Dacă se indică care dintre laturile unghiului este începutul și care este sfârșitul, atunci, numărând întotdeauna direcția unghiului în sens invers acelor de ceasornic, putem extrage ceva mai mult din formula (1). După cum se vede ușor din fig. Al 53-lea semn obținut în partea dreaptă a formulei (1) va indica care unghi - acut sau obtuz - formează a doua linie dreaptă cu prima.

(Într-adevăr, din Fig. 53, vedem că unghiul dintre primul și al doilea vector de direcție este fie egal cu unghiul dorit dintre liniile drepte, fie diferă de acesta cu ± 180 °.)

d. Dacă liniile drepte sunt paralele, atunci vectorii lor de direcție sunt și paraleli.Aplicând condiția de paralelism a doi vectori, obținem!

Aceasta este o condiție necesară și suficientă pentru paralelismul a două drepte.

Exemplu. Direct

sunt paralele deoarece

e. Dacă liniile drepte sunt perpendiculare, atunci vectorii lor de direcție sunt și perpendiculari. Aplicând condiția de perpendicularitate a doi vectori, obținem condiția de perpendicularitate a două drepte și anume

Exemplu. Direct

sunt perpendiculare datorită faptului că

În legătură cu condițiile de paralelism și perpendicularitate, vom rezolva următoarele două probleme.

f. Desenați o linie dreaptă printr-un punct paralel cu această dreaptă

Soluția se realizează după cum urmează. Deoarece linia dreaptă dorită este paralelă cu cea dată, atunci pentru vectorul ei de direcție putem lua același cu cel al dreptei date, adică un vector cu proiecțiile A și B. Și apoi ecuația dreptei dorite va fi scris sub forma (§ 1)

Exemplu. Ecuația unei drepte care trece printr-un punct (1; 3) paralel cu o dreaptă

va fi urmatorul!

g. Desenați o dreaptă printr-un punct perpendicular pe această dreaptă

Aici, nu mai este potrivit să luăm un vector cu proiecțiile A și ca vector de direcție, dar un vector care este perpendicular pe acesta trebuie suflat. Proiecțiile acestui vector ar trebui alese, așadar, în funcție de condiția de perpendicularitate a ambilor vectori, adică în funcție de condiția

Această condiție poate fi îndeplinită în nenumărate moduri, deoarece aici este o ecuație cu două necunoscute Dar cea mai ușoară cale este să luați drumul Apoi ecuația dreptei dorite va fi scrisă sub forma

Exemplu. Ecuația unei drepte care trece prin punctul (-7; 2) într-o dreaptă perpendiculară

va fi urmatoarea (conform celei de-a doua formule)!

h. În cazul în care liniile drepte sunt date de ecuaţii de forma

Instrucțiuni

Notă

Perioada funcției trigonometrice a tangentei este de 180 de grade, ceea ce înseamnă că pantele dreptelor nu pot, în valoare absolută, să depășească această valoare.

Sfat util

Dacă pantele sunt egale între ele, atunci unghiul dintre aceste drepte este 0, deoarece astfel de linii fie coincid, fie sunt paralele.

Pentru a determina valoarea unghiului dintre liniile drepte încrucișate, este necesar să mutați ambele linii drepte (sau una dintre ele) într-o nouă poziție folosind metoda transferului paralel înainte de a trece. După aceea, ar trebui să găsiți valoarea unghiului dintre liniile drepte care se intersectează rezultate.

Vei avea nevoie

• Riglă, triunghi dreptunghic, creion, raportor.

Instrucțiuni

Deci, să fie dat vectorul V = (a, b, c) și planul A x + B y + C z = 0, unde A, B și C sunt coordonatele normalei N. Atunci cosinusul unghiului α între vectorii V și N este egal cu: сos α = (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).

Pentru a calcula valoarea unghiului în grade sau radiani, trebuie să calculați funcția inversă cosinusului din expresia rezultată, i.e. cosinus invers: α = arssos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).

Exemplu: găsiți injecţieîntre vector(5, -3, 8) și avion dată de ecuaţia generală 2 x - 5 y + 3 z = 0 Rezolvare: notează coordonatele vectorului normal al planului N = (2, -5, 3). Înlocuiți toate valorile cunoscute în formula de mai sus: cos α = (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0,8 → α = 36,87 °.

Videoclipuri similare

O dreaptă care are un punct în comun cu un cerc este tangentă la cerc. O altă caracteristică a tangentei este că este întotdeauna perpendiculară pe raza trasată la punctul tangentei, adică tangenta și raza formează o linie dreaptă. injecţie... Dacă dintr-un punct A sunt trase două tangente la cercul AB și AC, atunci ele sunt întotdeauna egale între ele. Determinarea unghiului dintre tangente ( injecţie ABC) este produsă folosind teorema lui Pitagora.

Instrucțiuni

Pentru a determina unghiul, trebuie să cunoașteți raza cercului OB și OS și distanța punctului de origine al tangentei de centrul cercului - O. Deci, unghiurile lui ABO și ASO sunt egale, raza de OB, de exemplu, 10 cm, iar distanța până la centrul cercului AO este de 15 cm. Determinați lungimea tangentei de-a lungul formulei în conformitate cu teorema lui Pitagora: AB = rădăcina pătrată a AO2 - OB2 sau 152 - 102 = 225 - 100 = 125;