Hanapin ang matinding anggulo sa pagitan ng mga linya. Paghahanap ng anggulo sa pagitan ng mga linya

Kahulugan. Kung ang dalawang linya ay binibigyan ng y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , kung gayon ang matinding anggulo sa pagitan ng mga linyang ito ay tutukuyin bilang

Dalawang linya ay parallel kung k 1 = k 2 . Dalawang linya ay patayo kung k 1 = -1/ k 2 .

Teorama. Ang mga tuwid na linya Ax + Vy + C \u003d 0 at A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 ay magkatulad kapag ang mga coefficient A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB ay proporsyonal. Kung din С 1 = λС, kung gayon ang mga linya ay nag-tutugma. Ang mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linya ay matatagpuan bilang isang solusyon sa sistema ng mga equation ng mga linyang ito.

Equation ng isang linya na dumadaan sa isang naibigay na punto

Patayo sa linyang ito

Kahulugan. Ang linya na dumadaan sa puntong M 1 (x 1, y 1) at patayo sa linya y \u003d kx + b ay kinakatawan ng equation:

Distansya mula sa punto hanggang linya

Teorama. Kung ang isang punto M(x 0, y 0) ay ibinigay, kung gayon ang distansya sa linya Ax + Vy + C \u003d 0 ay tinukoy bilang

.

Patunay. Hayaang ang puntong M 1 (x 1, y 1) ang maging base ng patayo na bumaba mula sa puntong M hanggang sa ibinigay na linya. Pagkatapos ang distansya sa pagitan ng mga punto M at M 1:

(1)

Ang x 1 at y 1 na mga coordinate ay matatagpuan bilang isang solusyon sa sistema ng mga equation:

Ang pangalawang equation ng system ay ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto M 0 patayo sa isang ibinigay na tuwid na linya. Kung ibahin natin ang unang equation ng system sa anyo:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

pagkatapos, paglutas, nakukuha natin:

Ang pagpapalit ng mga expression na ito sa equation (1), makikita natin:

Napatunayan na ang theorem.

Halimbawa. Tukuyin ang anggulo sa pagitan ng mga linya: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= p /4.

Halimbawa. Ipakita na ang mga linyang 3x - 5y + 7 = 0 at 10x + 6y - 3 = 0 ay patayo.

Solusyon. Nahanap namin: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, samakatuwid, ang mga linya ay patayo.

Halimbawa. Ang mga vertices ng tatsulok na A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) ay ibinibigay. Hanapin ang equation para sa taas na nakuha mula sa vertex C.

Solusyon. Nahanap namin ang equation ng side AB: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Ang nais na equation ng taas ay: Ax + By + C = 0 o y = kx + b. k = . Pagkatapos y = . kasi ang taas ay dumadaan sa punto C, pagkatapos ang mga coordinate nito ay natutugunan ang equation na ito: saan b = 17. Kabuuan: .

Sagot: 3x + 2y - 34 = 0.

Equation ng isang linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto sa isang tiyak na direksyon. Equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na puntos. Anggulo sa pagitan ng dalawang linya. Kondisyon ng parallelism at perpendicularity ng dalawang linya. Pagtukoy sa punto ng intersection ng dalawang linya

1. Equation ng isang linya na dumadaan sa isang naibigay na punto A(x 1 , y 1) sa isang ibinigay na direksyon, na tinutukoy ng slope k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Ang equation na ito ay tumutukoy sa isang lapis ng mga linyang dumadaan sa isang punto A(x 1 , y 1), na tinatawag na sentro ng sinag.

2. Equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang puntos: A(x 1 , y 1) at B(x 2 , y 2) ay nakasulat tulad nito:

Ang slope ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na mga punto ay tinutukoy ng formula

3. Anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya A at B ay ang anggulo kung saan dapat paikutin ang unang tuwid na linya A sa paligid ng punto ng intersection ng mga linyang ito nang pakaliwa hanggang sa ito ay tumutugma sa pangalawang linya B. Kung ang dalawang linya ay ibinigay ng mga equation ng slope

y = k 1 x + B 1 ,

y = k 2 x + B 2 , (4)

pagkatapos ay ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay tinutukoy ng formula

Dapat pansinin na sa numerator ng fraction, ang slope ng unang tuwid na linya ay ibinabawas mula sa slope ng pangalawang tuwid na linya.

Kung ang mga equation ng isang tuwid na linya ay ibinigay sa pangkalahatang pananaw

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)

ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay tinutukoy ng formula

4. Mga kondisyon para sa parallelism ng dalawang linya:

a) Kung ang mga linya ay ibinigay ng mga equation (4) na may slope, kung gayon ang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa kanilang paralelismo ay ang pagkakapantay-pantay ng kanilang mga slope:

k 1 = k 2 . (8)

b) Para sa kaso kung ang mga linya ay ibinigay ng mga equation sa pangkalahatang anyo (6), ang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa kanilang parallelism ay ang mga coefficient sa kaukulang kasalukuyang mga coordinate sa kanilang mga equation ay proporsyonal, i.e.

5. Mga kondisyon para sa perpendicularity ng dalawang linya:

a) Sa kaso kapag ang mga linya ay binigay ng mga equation (4) na may slope, ang kailangan at sapat na kondisyon para sa kanilang perpendicularity ay ang kanilang mga slope ay reciprocal sa magnitude at kabaligtaran sa sign, i.e.

Ang kundisyong ito ay maaari ding isulat sa anyo

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Kung ang mga equation ng mga tuwid na linya ay ibinigay sa pangkalahatang anyo (6), kung gayon ang kondisyon para sa kanilang perpendicularity (kinakailangan at sapat) ay upang matupad ang pagkakapantay-pantay.

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Ang mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linya ay matatagpuan sa pamamagitan ng paglutas ng sistema ng mga equation (6). Ang mga linya (6) ay nagsalubong kung at kung lamang

1. Isulat ang mga equation ng mga linyang dumadaan sa puntong M, ang isa ay parallel at ang isa ay patayo sa ibinigay na linya l.

Ang materyal na ito ay nakatuon sa isang konsepto tulad ng anggulo sa pagitan ng dalawang intersecting na tuwid na linya. Sa unang talata, ipapaliwanag natin kung ano ito at ipapakita ito sa mga ilustrasyon. Pagkatapos ay susuriin namin kung paano mo mahahanap ang sine, cosine ng anggulo na ito at ang anggulo mismo (isaalang-alang namin ang mga kaso na may isang eroplano at tatlong-dimensional na espasyo), ibibigay namin ang mga kinakailangang formula at ipapakita sa mga halimbawa kung paano eksaktong inilalapat ang mga ito sa pagsasanay.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Upang maunawaan kung ano ang nabuong anggulo sa intersection ng dalawang linya, kailangan nating alalahanin ang mismong kahulugan ng isang anggulo, perpendicularity, at isang intersection point.

Kahulugan 1

Tinatawag namin ang dalawang linya na intersecting kung mayroon silang isang karaniwang punto. Ang puntong ito ay tinatawag na punto ng intersection ng dalawang linya.

Ang bawat linya ay nahahati sa mga sinag ng punto ng intersection. Sa kasong ito, ang parehong mga linya ay bumubuo ng 4 na anggulo, kung saan ang dalawa ay patayo at dalawa ang magkatabi. Kung alam natin ang sukat ng isa sa kanila, matutukoy natin ang iba pang natitira.

Sabihin nating alam natin na ang isa sa mga anggulo ay katumbas ng α. Sa ganoong kaso, ang anggulo na patayo dito ay magiging katumbas din ng α. Upang mahanap ang natitirang mga anggulo, kailangan nating kalkulahin ang pagkakaiba 180 ° - α . Kung ang α ay katumbas ng 90 degrees, ang lahat ng mga anggulo ay magiging tama. Ang mga linyang nagsasalubong sa tamang mga anggulo ay tinatawag na patayo (isang hiwalay na artikulo ay nakatuon sa konsepto ng perpendicularity).

Tingnan ang larawan:

Magpatuloy tayo sa pagbabalangkas ng pangunahing kahulugan.

Kahulugan 2

Ang anggulo na nabuo sa pamamagitan ng dalawang intersecting na linya ay ang sukat ng mas maliit sa 4 na anggulo na bumubuo sa dalawang linyang ito.

Ang isang mahalagang konklusyon ay dapat makuha mula sa kahulugan: ang laki ng anggulo sa kasong ito ay ipapahayag ng anumang tunay na numero sa pagitan (0, 90] . Kung ang mga linya ay patayo, kung gayon ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay sa anumang kaso ay magiging katumbas ng 90 degrees.

Ang kakayahang mahanap ang sukat ng anggulo sa pagitan ng dalawang magkasalubong na linya ay kapaki-pakinabang para sa paglutas ng maraming praktikal na problema. Ang paraan ng solusyon ay maaaring mapili mula sa ilang mga opsyon.

Para sa mga panimula, maaari tayong kumuha ng mga geometric na pamamaraan. Kung may alam tayo tungkol sa mga karagdagang anggulo, maaari nating ikonekta ang mga ito sa anggulo na kailangan natin gamit ang mga katangian ng pantay o katulad na mga hugis. Halimbawa, kung alam natin ang mga gilid ng isang tatsulok at kailangan nating kalkulahin ang anggulo sa pagitan ng mga linya kung saan matatagpuan ang mga panig na ito, kung gayon ang cosine theorem ay angkop para sa paglutas. Kung mayroon tayong tamang tatsulok sa kondisyon, kung gayon para sa mga kalkulasyon ay kailangan din nating malaman ang sine, cosine at tangent ng anggulo.

Ang pamamaraan ng coordinate ay napaka-maginhawa para sa paglutas ng mga problema ng ganitong uri. Ipaliwanag natin kung paano ito gamitin nang tama.

Mayroon tayong rectangular (cartesian) coordinate system O x y na may dalawang tuwid na linya. Tukuyin natin ang mga ito sa pamamagitan ng mga titik a at b. Sa kasong ito, maaaring ilarawan ang mga tuwid na linya gamit ang anumang mga equation. Ang orihinal na mga linya ay may intersection point M . Paano matukoy ang nais na anggulo (ipahiwatig natin ito α) sa pagitan ng mga linyang ito?

Magsimula tayo sa pagbabalangkas ng pangunahing prinsipyo ng paghahanap ng isang anggulo sa ilalim ng mga ibinigay na kondisyon.

Alam namin na ang mga konsepto tulad ng pagdidirekta at normal na vector ay malapit na nauugnay sa konsepto ng isang tuwid na linya. Kung mayroon tayong equation ng ilang tuwid na linya, maaari nating kunin ang mga coordinate ng mga vector na ito mula dito. Magagawa natin ito para sa dalawang magkasalubong na linya nang sabay-sabay.

Ang anggulo na nabuo sa pamamagitan ng dalawang intersecting na linya ay matatagpuan gamit ang:

• anggulo sa pagitan ng mga vector ng direksyon;
• anggulo sa pagitan ng mga normal na vector;
• ang anggulo sa pagitan ng normal na vector ng isang linya at ng direksyon ng vector ng isa pa.

Ngayon tingnan natin ang bawat pamamaraan nang hiwalay.

1. Ipagpalagay na mayroon tayong linya a na may vector ng direksyon a → = (a x , a y) at isang linya b na may vector ng direksyon b → (b x , b y) . Ngayon ay magtabi tayo ng dalawang vectors a → at b → mula sa intersection point. Pagkatapos nito, makikita natin na ang bawat isa ay matatagpuan sa kanilang sariling linya. Pagkatapos ay mayroon kaming apat na pagpipilian para sa kanilang kamag-anak na posisyon. Tingnan ang paglalarawan:

Kung ang anggulo sa pagitan ng dalawang vector ay hindi malabo, ito ang magiging anggulo na kailangan natin sa pagitan ng mga intersecting na linya a at b. Kung ito ay mahina, ang nais na anggulo ay magiging katumbas ng anggulo na katabi ng anggulo a → , b → ^ . Kaya, α = a → , b → ^ kung a → , b → ^ ≤ 90 ° , at α = 180 ° - a → , b → ^ kung a → , b → ^ > 90 ° .

Batay sa katotohanan na ang mga cosine ng pantay na anggulo ay pantay, maaari nating muling isulat ang mga resultang pagkakapantay-pantay tulad ng sumusunod: cos α = cos a → , b → ^ kung a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180 ° - a → , b → ^ = - cos a → , b → ^ kung a → , b → ^ > 90 ° .

Sa pangalawang kaso, ginamit ang mga formula ng pagbabawas. Sa ganitong paraan,

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Isulat natin ang huling formula sa mga salita:

Kahulugan 3

Ang cosine ng anggulo na nabuo ng dalawang intersecting na linya ay magiging katumbas ng modulus ng cosine ng anggulo sa pagitan ng mga vector ng direksyon nito.

Ang pangkalahatang anyo ng formula para sa cosine ng anggulo sa pagitan ng dalawang vectors a → = (a x, a y) at b → = (b x, b y) ay ganito ang hitsura:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Mula dito maaari nating makuha ang formula para sa cosine ng anggulo sa pagitan ng dalawang ibinigay na linya:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Pagkatapos ang anggulo mismo ay matatagpuan gamit ang sumusunod na formula:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Narito ang a → = (a x , a y) at b → = (b x , b y) ay ang mga vector ng direksyon ng mga ibinigay na linya.

Magbigay tayo ng isang halimbawa ng paglutas ng problema.

Halimbawa 1

Sa isang rectangular coordinate system, dalawang magkasalubong na linya a at b ang ibinibigay sa eroplano. Maaari silang ilarawan ng mga parametric equation x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R at x 5 = y - 6-3 . Kalkulahin ang anggulo sa pagitan ng mga linyang ito.

Solusyon

Mayroon kaming parametric equation sa kundisyon, na nangangahulugan na para sa tuwid na linyang ito maaari naming agad na isulat ang mga coordinate ng vector ng direksyon nito. Upang gawin ito, kailangan nating kunin ang mga halaga ng mga coefficient sa parameter, i.e. ang linyang x = 1 + 4 λ y = 2 + λ λ ∈ R ay magkakaroon ng direction vector a → = (4 , 1) .

Ang ikalawang tuwid na linya ay inilalarawan gamit ang canonical equation x 5 = y - 6 - 3 . Dito maaari nating kunin ang mga coordinate mula sa mga denominator. Kaya, ang linyang ito ay may direksyong vector b → = (5 , - 3) .

Susunod, magpatuloy kami nang direkta sa paghahanap ng anggulo. Upang gawin ito, palitan lamang ang magagamit na mga coordinate ng dalawang vector sa formula sa itaas na α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 . Nakukuha namin ang sumusunod:

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45°

Sagot: Ang mga linyang ito ay bumubuo ng isang anggulo na 45 degrees.

Malutas natin ang isang katulad na problema sa pamamagitan ng paghahanap ng anggulo sa pagitan ng mga normal na vector. Kung mayroon tayong linyang a na may normal na vector na → = (nax , nay) at isang linyang b na may normal na vector nb → = (nbx , nby) , kung gayon ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay magiging katumbas ng anggulo sa pagitan ng na → at nb → o ang anggulo na katabi ng na → , nb → ^ . Ang pamamaraang ito ay ipinapakita sa larawan:

Ang mga formula para sa pagkalkula ng cosine ng anggulo sa pagitan ng mga intersecting na linya at ang anggulong ito mismo gamit ang mga coordinate ng mga normal na vector ay ganito ang hitsura:

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2

Dito ang n a → at n b → ay tumutukoy sa mga normal na vector ng dalawang ibinigay na linya.

Halimbawa 2

Dalawang tuwid na linya ang ibinibigay sa isang rectangular coordinate system gamit ang mga equation na 3 x + 5 y - 30 = 0 at x + 4 y - 17 = 0 . Hanapin ang sine, cosine ng anggulo sa pagitan nila, at ang magnitude ng mismong anggulong iyon.

Solusyon

Ang orihinal na mga tuwid na linya ay ibinibigay gamit ang normal na mga equation ng tuwid na linya ng anyong A x + B y + C = 0 . Tukuyin ang normal na vector n → = (A , B) . Hanapin natin ang mga coordinate ng unang normal na vector para sa isang tuwid na linya at isulat ang mga ito: n a → = (3 , 5) . Para sa pangalawang linya x + 4 y - 17 = 0 ang normal na vector ay magkakaroon ng mga coordinate n b → = (1 , 4) . Ngayon idagdag ang nakuha na mga halaga sa formula at kalkulahin ang kabuuan:

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Kung alam natin ang cosine ng isang anggulo, maaari nating kalkulahin ang sine nito gamit ang pangunahing trigonometric identity. Dahil ang anggulong α na nabuo ng mga tuwid na linya ay hindi malabo, kung gayon sin α \u003d 1 - cos 2 α \u003d 1 - 23 2 34 2 \u003d 7 2 34.

Sa kasong ito, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34 .

Sagot: cos α = 23 2 34 , sin α = 7 2 34 , α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

Suriin natin ang huling kaso - paghahanap ng anggulo sa pagitan ng mga linya, kung alam natin ang mga coordinate ng vector ng direksyon ng isang linya at ang normal na vector ng isa pa.

Ipagpalagay na ang linya a ay may vector ng direksyon a → = (a x , a y) , at ang linya b ay may normal na vector n b → = (n b x , n b y) . Kailangan nating ipagpaliban ang mga vector na ito mula sa intersection point at isaalang-alang ang lahat ng opsyon para sa kanilang relatibong posisyon. Tingnan ang larawan:

Kung ang anggulo sa pagitan ng ibinigay na mga vector ay hindi hihigit sa 90 degrees, lumalabas na ito ay makadagdag sa anggulo sa pagitan ng a at b sa isang tamang anggulo.

a → , n b → ^ = 90 ° - α kung a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

Kung ito ay mas mababa sa 90 degrees, makukuha natin ang sumusunod:

a → , n b → ^ > 90 ° , pagkatapos ay a → , n b → ^ = 90 ° + α

Gamit ang panuntunan ng pagkakapantay-pantay ng mga cosine ng pantay na mga anggulo, isinulat namin:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α para sa isang → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α at a → , n b → ^ > 90 ° .

Sa ganitong paraan,

sin α = cos a → , nb → ^ , a → , nb → ^ ≤ 90 ° - cos a → , nb → ^ , a → , nb → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , nb → ^ , a → , nb → ^ > 0 - cos a → , nb → ^ , a → , nb → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Bumuo tayo ng konklusyon.

Kahulugan 4

Upang mahanap ang sine ng anggulo sa pagitan ng dalawang linya na nagsasalubong sa isang eroplano, kailangan mong kalkulahin ang modulus ng cosine ng anggulo sa pagitan ng vector ng direksyon ng unang linya at ng normal na vector ng pangalawa.

Isulat natin ang mga kinakailangang formula. Paghahanap ng sine ng isang anggulo:

sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Ang paghahanap ng sulok mismo:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Narito ang a → ay ang vector ng direksyon ng unang linya, at ang n b → ay ang normal na vector ng pangalawa.

Halimbawa 3

Dalawang linyang intersecting ang ibinibigay ng mga equation na x - 5 = y - 6 3 at x + 4 y - 17 = 0 . Hanapin ang anggulo ng intersection.

Solusyon

Kinukuha namin ang mga coordinate ng pagdidirekta at normal na vector mula sa ibinigay na mga equation. Lumalabas ang isang → = (- 5 , 3) ​​​​at n → b = (1 , 4) . Kinukuha namin ang formula α \u003d a r c sin \u003d a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 at isaalang-alang:

α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

Tandaan na kinuha namin ang mga equation mula sa nakaraang problema at nakakuha ng eksaktong parehong resulta, ngunit sa ibang paraan.

Sagot:α = a r c sin 7 2 34

Narito ang isa pang paraan upang mahanap ang nais na anggulo gamit ang mga slope coefficient ng mga ibinigay na linya.

Mayroon kaming linyang a , na tinukoy sa isang parihabang sistema ng coordinate gamit ang equation na y = k 1 · x + b 1 , at isang linya b , na tinukoy bilang y = k 2 · x + b 2 . Ito ang mga equation ng mga linyang may slope. Upang mahanap ang anggulo ng intersection, gamitin ang formula:

α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 , kung saan ang k 1 at k 2 ay ang mga slope ng mga ibinigay na linya. Upang makuha ang rekord na ito, ginamit ang mga formula para sa pagtukoy ng anggulo sa pamamagitan ng mga coordinate ng mga normal na vector.

Halimbawa 4

Mayroong dalawang tuwid na linya na nagsasalubong sa eroplano, na ibinigay ng mga equation na y = - 3 5 x + 6 at y = - 1 4 x + 17 4 . Kalkulahin ang anggulo ng intersection.

Solusyon

Ang mga slope ng aming mga linya ay katumbas ng k 1 = - 3 5 at k 2 = - 1 4 . Idagdag natin sila sa formula α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 at kalkulahin:

α = a r c cos - 3 5 - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 17 16 = a r c cos 23 2 34

Sagot:α = a r c cos 23 2 34

Sa mga konklusyon ng talatang ito, dapat tandaan na ang mga pormula para sa paghahanap ng anggulo na ibinigay dito ay hindi kailangang matutunan ng puso. Upang gawin ito, sapat na malaman ang mga coordinate ng mga gabay at/o mga normal na vector ng mga ibinigay na linya at matukoy ang mga ito mula sa iba't ibang uri mga equation. Ngunit ang mga formula para sa pagkalkula ng cosine ng isang anggulo ay mas mahusay na tandaan o isulat.

Paano kalkulahin ang anggulo sa pagitan ng mga intersecting na linya sa espasyo

Ang pagkalkula ng naturang anggulo ay maaaring bawasan sa pagkalkula ng mga coordinate ng mga vector ng direksyon at ang pagpapasiya ng magnitude ng anggulo na nabuo ng mga vectors na ito. Para sa mga ganitong halimbawa, ginagamit namin ang parehong pangangatwiran na ibinigay namin noon.

Sabihin nating mayroon tayong rectangular coordinate system na matatagpuan sa 3D space. Naglalaman ito ng dalawang linya a at b na may intersection point na M . Upang makalkula ang mga coordinate ng mga vector ng direksyon, kailangan nating malaman ang mga equation ng mga linyang ito. Tukuyin ang mga vector ng direksyon a → = (a x , a y , a z) at b → = (b x , b y , b z) . Upang kalkulahin ang cosine ng anggulo sa pagitan nila, ginagamit namin ang formula:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Upang mahanap ang mismong anggulo, kailangan namin ang formula na ito:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Halimbawa 5

Mayroon kaming isang tuwid na linya na tinukoy sa 3D space gamit ang equation x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 . Ito ay kilala na ito ay sumasalubong sa O z axis. Kalkulahin ang anggulo ng intersection at ang cosine ng anggulong iyon.

Solusyon

Tukuyin natin ang anggulo na kalkulahin ng titik α. Isulat natin ang mga coordinate ng vector ng direksyon para sa unang tuwid na linya - a → = (1 , - 3 , - 2) . Para sa applicate axis, maaari nating kunin ang coordinate vector k → = (0 , 0 , 1) bilang gabay. Natanggap namin ang kinakailangang data at maidaragdag namin ito sa gustong formula:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

Bilang resulta, nakuha namin na ang anggulo na kailangan namin ay magiging katumbas ng a r c cos 1 2 = 45 °.

Sagot: cos α = 1 2 , α = 45 ° .

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Hayaang magbigay ng mga linya sa espasyo l at m. Sa pamamagitan ng ilang punto A ng espasyo gumuhit kami ng mga tuwid na linya l 1 || l at m 1 || m(Larawan 138).

Tandaan na ang punto A ay maaaring mapili nang arbitraryo, sa partikular, maaari itong magsinungaling sa isa sa mga ibinigay na linya. Kung diretso l at m bumalandra, pagkatapos ay maaaring kunin ang A bilang punto ng intersection ng mga linyang ito ( l 1 = l at m 1 = m).

Anggulo sa pagitan ng mga di-parallel na linya l at m ay ang halaga ng pinakamaliit sa mga katabing anggulo na nabuo sa pamamagitan ng interseksyon ng mga tuwid na linya l 1 at m 1 (l 1 || l, m 1 || m). Ang anggulo sa pagitan ng mga parallel na linya ay ipinapalagay na zero.

Anggulo sa pagitan ng mga linya l at m tinutukoy ng \(\widehat((l;m)) \). Mula sa kahulugan ay sumusunod na kung ito ay sinusukat sa mga degree, pagkatapos ay 0 ° < \(\widehat((l;m)) \) < 90°, at kung sa radians, pagkatapos ay 0 < \(\widehat((l;m)) \) < π / 2 .

Gawain. Ang cube ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ay ibinigay (Larawan 139).

Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya AB at DC 1 .

Straight AB at DC 1 crossing. Dahil ang linyang DC ay kahanay ng linyang AB, ang anggulo sa pagitan ng mga linyang AB at DC 1, ayon sa kahulugan, ay katumbas ng \(\widehat(C_(1)DC)\).

Kaya \(\widehat((AB;DC_1))\) = 45°.

Direkta l at m tinawag patayo, kung \(\widehat((l;m)) \) = π / 2. Halimbawa, sa isang kubo

Pagkalkula ng anggulo sa pagitan ng mga linya.

Ang problema sa pagkalkula ng anggulo sa pagitan ng dalawang tuwid na linya sa espasyo ay nalutas sa parehong paraan tulad ng sa eroplano. Tukuyin sa pamamagitan ng φ ang anggulo sa pagitan ng mga linya l 1 at l 2 , at sa pamamagitan ng ψ - ang anggulo sa pagitan ng mga vector ng direksyon a at b itong mga tuwid na linya.

Tapos kung

ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90° (Larawan 206.6), pagkatapos ay φ = 180° - ψ. Malinaw na sa parehong mga kaso ang pagkakapantay-pantay cos φ = |cos ψ| ay totoo. Ayon sa formula (ang cosine ng anggulo sa pagitan ng mga di-zero na vectors a at b ay katumbas ng scalar product ng mga vector na ito na hinati sa produkto ng kanilang mga haba)

$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$

kaya naman,

$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$

Hayaang ibigay ang mga linya sa pamamagitan ng kanilang mga canonical equation

$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; at \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$

Pagkatapos ang anggulo φ sa pagitan ng mga linya ay tinutukoy gamit ang formula

$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$

Kung ang isa sa mga linya (o pareho) ay ibinibigay ng mga di-canonical na equation, pagkatapos ay upang makalkula ang anggulo, kailangan mong hanapin ang mga coordinate ng mga vector ng direksyon ng mga linyang ito, at pagkatapos ay gumamit ng formula (1).

Gawain 1. Kalkulahin ang anggulo sa pagitan ng mga linya

$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;at\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$

Ang mga vector ng direksyon ng mga tuwid na linya ay may mga coordinate:

isang \u003d (-√2; √2; -2), b = (√3 ; √3 ; √6 ).

Sa pamamagitan ng formula (1) makikita natin

$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$

Samakatuwid, ang anggulo sa pagitan ng mga linyang ito ay 60°.

Gawain 2. Kalkulahin ang anggulo sa pagitan ng mga linya

$$ \begin(cases)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\end(cases) and \begin(cases)4x-y+z=0\\y+z+1 =0\end(cases) $$

Sa likod ng gabay na vector a ang unang tuwid na linya ay kinukuha namin ang produkto ng vector ng mga normal na vector n 1 = (3; 0; -12) at n 2 = (1; 1; -3) mga eroplanong tumutukoy sa linyang ito. Sa pamamagitan ng formula na \(=\begin(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end(vmatrix) \) nakukuha namin

$$ a==\begin(vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$

Katulad nito, nakita namin ang vector ng direksyon ng pangalawang tuwid na linya:

$$ b=\begin(vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatrix)=-2i-4i+4k $$

Ngunit kinakalkula ng formula (1) ang cosine ng nais na anggulo:

$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2 ^2+4^2+4^2))=0 $$

Samakatuwid, ang anggulo sa pagitan ng mga linyang ito ay 90°.

Gawain 3. Sa triangular pyramid MAVS, ang mga gilid ng MA, MB at MC ay magkaparehong patayo, (Larawan 207);

ang kanilang mga haba ay ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng 4, 3, 6. Ang punto D ay ang gitnang [MA]. Hanapin ang anggulo φ sa pagitan ng mga linyang CA at DB.

Hayaan ang SA at DB na maging mga vector ng direksyon ng mga linyang SA at DB.

Kunin natin ang puntong M bilang pinagmulan ng mga coordinate. Sa pamamagitan ng kondisyon ng gawain, mayroon tayong A (4; 0; 0), B(0; 0; 3), C(0; 6; 0), D (2; 0; 0). Samakatuwid \(\overrightarrow(CA)\) = (4; - 6;0), \(\overrightarrow(DB)\)= (-2; 0; 3). Gumagamit kami ng formula (1):

$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9 )) $$

Ayon sa talahanayan ng mga cosine, nakita namin na ang anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya CA at DB ay humigit-kumulang 72 °.

a. Hayaang magbigay ng dalawang linya. Ang mga linyang ito, tulad ng ipinahiwatig sa Kabanata 1, ay bumubuo ng iba't ibang positibo at negatibong mga anggulo, na, sa kasong ito, ay maaaring parehong talamak at mahina. Ang pag-alam sa isa sa mga anggulong ito, madali nating mahahanap ang iba pa.

Sa pamamagitan ng paraan, para sa lahat ng mga anggulong ito, ang numerical na halaga ng tangent ay pareho, ang pagkakaiba ay maaari lamang sa sign

Mga equation ng mga linya. Ang mga numero ay ang mga projection ng nagdidirekta na mga vector ng una at pangalawang linya. Ang anggulo sa pagitan ng mga vector na ito ay katumbas ng isa sa mga anggulo na nabuo ng mga tuwid na linya. Samakatuwid, ang problema ay nabawasan sa pagtukoy ng anggulo sa pagitan ng mga vectors, Nakukuha namin

Para sa pagiging simple, maaari tayong sumang-ayon sa isang anggulo sa pagitan ng dalawang tuwid na linya upang maunawaan ang isang matinding positibong anggulo (tulad ng, halimbawa, sa Fig. 53).

Kung gayon ang padaplis ng anggulong ito ay palaging magiging positibo. Kaya, kung ang isang minus sign ay nakuha sa kanang bahagi ng formula (1), pagkatapos ay dapat nating itapon ito, ibig sabihin, panatilihin lamang ang ganap na halaga.

Halimbawa. Tukuyin ang anggulo sa pagitan ng mga linya

Sa pamamagitan ng formula (1) mayroon tayo

Sa. Kung ipinahiwatig kung alin sa mga gilid ng anggulo ang simula nito at alin ang dulo nito, kung gayon, palaging binibilang ang direksyon ng anggulo na pakaliwa, maaari tayong kumuha ng higit pa mula sa mga formula (1). Tulad ng madaling makita mula sa Fig. 53 ang sign na nakuha sa kanang bahagi ng formula (1) ay magsasaad kung alin - talamak o mahina - ang anggulo ay bumubuo sa pangalawang linya kasama ang una.

(Sa katunayan, mula sa Fig. 53 makikita natin na ang anggulo sa pagitan ng una at pangalawang direksyon ng mga vector ay alinman sa katumbas ng nais na anggulo sa pagitan ng mga linya, o naiiba mula dito sa pamamagitan ng ±180°.)

d. Kung ang mga linya ay parallel, kung gayon ang kanilang direksyon vectors ay parallel din. Ang paglalapat ng kondisyon ng parallelism ng dalawang vectors, makuha natin!

Ito ay isang kinakailangan at sapat na kundisyon para magkaparehas ang dalawang linya.

Halimbawa. Direkta

ay parallel dahil

e. Kung ang mga linya ay patayo, kung gayon ang kanilang mga vector ng direksyon ay patayo din. Ang paglalapat ng kondisyon ng perpendicularity ng dalawang vectors, nakuha namin ang kondisyon ng perpendicularity ng dalawang linya, lalo

Halimbawa. Direkta

patayo kasi

Kaugnay ng mga kondisyon ng parallelism at perpendicularity, malulutas natin ang sumusunod na dalawang problema.

f. Gumuhit ng isang linya parallel sa isang ibinigay na linya sa pamamagitan ng isang punto

Ang desisyon ay ginawa tulad nito. Dahil ang nais na linya ay kahanay sa ibinigay na isa, kung gayon para sa nagdidirekta nitong vector ay maaari nating kunin ang kapareho ng sa ibinigay na linya, ibig sabihin, isang vector na may mga projection A at B. At pagkatapos ay isusulat ang equation ng nais na linya. sa anyo (§ 1)

Halimbawa. Equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang punto (1; 3) na parallel sa isang tuwid na linya

susunod na!

g. Gumuhit ng isang linya sa pamamagitan ng isang punto na patayo sa ibinigay na linya

Dito, hindi na angkop na kumuha ng isang vector na may mga projection A at bilang isang nagdidirekta na vector, ngunit ito ay kinakailangan upang winnow ang isang vector patayo dito. Samakatuwid, ang mga projection ng vector na ito ay dapat piliin ayon sa kondisyon na ang parehong mga vector ay patayo, ibig sabihin, ayon sa kondisyon

Ang kundisyong ito ay maaaring matupad sa isang walang katapusang bilang ng mga paraan, dahil dito mayroong isang equation na may dalawang hindi alam. Ngunit ang pinakamadaling paraan ay kunin ito. Pagkatapos ay ang equation ng nais na tuwid na linya ay isusulat sa anyo

Halimbawa. Equation ng isang linya na dumadaan sa isang punto (-7; 2) sa isang patayong linya

ay ang mga sumusunod (ayon sa pangalawang formula)!

h. Sa kaso kapag ang mga linya ay ibinigay ng mga equation ng form

Pagtuturo

tala

Ang panahon ng trigonometric function tangent ay 180 degrees, na nangangahulugan na ang mga anggulo ng pagkahilig ng mga tuwid na linya ay hindi maaaring, sa ganap na halaga, lumampas sa halagang ito.

Kapaki-pakinabang na payo

Kung ang mga coefficient ng slope ay pantay-pantay sa bawat isa, kung gayon ang anggulo sa pagitan ng mga naturang linya ay 0, dahil ang mga naturang linya ay magkasabay o magkatulad.

Upang matukoy ang anggulo sa pagitan ng mga linya ng pagtawid, kinakailangan upang ilipat ang parehong mga linya (o isa sa mga ito) sa isang bagong posisyon sa pamamagitan ng paraan ng parallel transfer sa intersection. Pagkatapos nito, dapat mong mahanap ang anggulo sa pagitan ng mga nagresultang intersecting na linya.

Kakailanganin mong

• Ruler, kanang tatsulok, lapis, protractor.

Pagtuturo

Kaya, hayaan ang vector V = (a, b, c) at ang eroplanong A x + B y + C z = 0, kung saan ang A, B at C ay ang mga coordinate ng normal na N. Pagkatapos ay ang cosine ng anggulo Ang α sa pagitan ng mga vectors V at N ay: cos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).

Upang kalkulahin ang anggulo sa mga degree o radian, kailangan mong kalkulahin ang function na kabaligtaran sa cosine mula sa nagresultang expression, i.e. arccosine: α \u003d arscos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).

Halimbawa: hanapin iniksyon sa pagitan vector(5, -3, 8) at eroplano, na ibinigay ng pangkalahatang equation 2 x - 5 y + 3 z = 0. Solusyon: isulat ang mga coordinate ng normal na vector ng eroplano N = (2, -5, 3). Palitan ang lahat ng kilalang halaga sa formula sa itaas: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0.8 → α = 36.87°.

Mga kaugnay na video

Ang isang tuwid na linya na may isang karaniwang punto na may isang bilog ay padaplis sa bilog. Ang isa pang tampok ng tangent ay palaging patayo sa radius na iginuhit sa punto ng contact, iyon ay, ang tangent at ang radius ay bumubuo ng isang tuwid na linya iniksyon. Kung ang dalawang tangent sa bilog na AB at AC ay iginuhit mula sa isang punto A, kung gayon sila ay palaging pantay sa bawat isa. Kahulugan ng anggulo sa pagitan ng mga tangent ( iniksyon ABC) ay ginawa gamit ang Pythagorean theorem.

Pagtuturo

Upang matukoy ang anggulo, kailangan mong malaman ang radius ng bilog OB at OS at ang distansya ng panimulang punto ng tangent mula sa gitna ng bilog - O. Kaya, ang mga anggulo ABO at ACO ay pantay, ang radius OB, halimbawa, 10 cm, at ang distansya sa gitna ng bilog AO ay 15 cm Tukuyin ang haba ng tangent sa pamamagitan ng formula alinsunod sa Pythagorean theorem: AB \u003d square root ng AO2 - OB2 o 152 - 102 \u003d 225 - 100 \u003d 125;