program f. Funcții. Tipuri de bază, grafice, metode de atribuire. O funcție de putere cu un exponent rațional sau irațional a cărui valoare este mai mare decât zero și mai mică decât unu

Mai întâi, încercați să găsiți domeniul de aplicare al funcției:

Ai reușit? Să comparăm răspunsurile:

În regulă? Bine făcut!

Acum să încercăm să găsim intervalul funcției:

Găsite? Comparaţie:

A fost de acord? Bine făcut!

Să lucrăm din nou cu graficele, doar că acum este puțin mai dificil - să găsim atât domeniul funcției, cât și domeniul funcției.

Cum să găsiți atât domeniul, cât și domeniul unei funcții (avansat)

Iată ce s-a întâmplat:

Cu grafica, cred ca ti-ai dat seama. Acum să încercăm să găsim domeniul funcției în conformitate cu formulele (dacă nu știți cum să faceți acest lucru, citiți secțiunea despre):

Ai reușit? Control răspunsuri:

1. , deoarece expresia rădăcină trebuie să fie mai mare sau egală cu zero.
2. , deoarece este imposibil de împărțit la zero și expresia radicală nu poate fi negativă.
3. , întrucât, respectiv, pentru toți.
4. pentru că nu poți împărți la zero.

Cu toate acestea, mai avem încă un moment care nu a fost rezolvat...

Permiteți-mi să reiterez definiția și să mă concentrez asupra ei:

observat? Cuvântul „doar” este foarte, foarte element important definiția noastră. Voi încerca să vă explic pe degete.

Să presupunem că avem o funcție dată de o dreaptă. . La, înlocuim valoare datăîn „regula” noastră și obținem asta. O valoare corespunde unei singure valori. Putem chiar să facem un tabel cu diferite valori și să trasăm o funcție dată pentru a verifica acest lucru.

"Uite! - spui tu, - "" se intalneste de doua ori!" Deci poate parabola nu este o funcție? Nu este!

Faptul că „” apare de două ori este departe de a fi un motiv pentru a acuza parabola de ambiguitate!

Cert este că, atunci când calculăm, avem un singur joc. Și când calculăm cu, avem un joc. Deci, așa este, parabola este o funcție. Uită-te la grafic:

Am înțeles? Dacă nu, iată un exemplu real pentru tine, departe de matematică!

Să presupunem că avem un grup de solicitanți care s-au întâlnit la depunerea documentelor, fiecare dintre ei a spus într-o conversație unde locuiește:

De acord, este destul de real că mai mulți bărbați locuiesc în același oraș, dar este imposibil ca o persoană să locuiască în mai multe orașe în același timp. Aceasta este, parcă, o reprezentare logică a „parabolei” noastre - Mai multe x-uri diferite corespund aceluiași y.

Acum să venim cu un exemplu în care dependența nu este o funcție. Să presupunem că aceiași tipi au spus pentru ce specialități au aplicat:

Aici avem o situație complet diferită: o persoană poate aplica cu ușurință pentru una sau mai multe direcții. Acesta este un element seturile sunt puse în corespondență elemente multiple seturi. Respectiv, nu este o functie.

Să vă testăm cunoștințele în practică.

Determinați din imagini ce este o funcție și ce nu este:

Am înțeles? Și iată răspunsuri:

• Funcția este - B,E.
• Nu este o funcție - A, B, D, D.

Te intrebi de ce? Da, iată de ce:

În toate cifrele, cu excepția V)și E) sunt mai multe pentru unul!

Sunt sigur că acum puteți distinge cu ușurință o funcție de o non-funcție, puteți spune ce este un argument și ce este o variabilă dependentă și, de asemenea, puteți determina sfera argumentului și sfera funcției. Să trecem la următoarea secțiune - cum se definește o funcție?

Modalități de a seta o funcție

Ce crezi că înseamnă cuvintele "setare functie"? Așa e, înseamnă să explicăm tuturor despre ce funcție vorbim în acest caz. Mai mult, explicați în așa fel încât toată lumea să vă înțeleagă corect și graficele funcțiilor desenate de oameni conform explicației dvs. au fost aceleași.

Cum pot face acest lucru? Cum se setează o funcție? Cel mai simplu mod, care a fost deja folosit de mai multe ori în acest articol - folosind o formulă. Scriem o formulă și, substituind o valoare în ea, calculăm valoarea. Și după cum vă amintiți, o formulă este o lege, o regulă conform căreia devine clar pentru noi și pentru o altă persoană cum un X se transformă într-un Y.

De obicei, acest lucru este exact ceea ce fac ei - în sarcini vedem funcții gata făcute definite prin formule, cu toate acestea, există și alte modalități de a seta o funcție de care toată lumea uită și, prin urmare, întrebarea „cum altfel poți seta o funcție?” încurcă. Să aruncăm o privire la totul în ordine și să începem cu metoda analitică.

Mod analitic de definire a unei funcții

Metoda analitică este sarcina unei funcții care utilizează o formulă. Aceasta este cea mai universală, cuprinzătoare și lipsită de ambiguitate. Dacă aveți o formulă, atunci știți absolut totul despre funcție - puteți face un tabel de valori pe ea, puteți construi un grafic, puteți determina unde crește funcția și unde scade, în general, explorați-o în întregime.

Să luăm în considerare o funcție. Ce conteaza?

"Ce înseamnă?" - tu intrebi. Voi explica acum.

Permiteți-mi să vă reamintesc că în notație, expresia dintre paranteze se numește argument. Și acest argument poate fi orice expresie, nu neapărat simplă. În consecință, oricare ar fi argumentul (expresia între paranteze), îl vom scrie în schimb în expresie.

În exemplul nostru, va arăta astfel:

Luați în considerare o altă sarcină legată de metoda analitică de specificare a unei funcții pe care o veți avea la examen.

Găsiți valoarea expresiei, la.

Sunt sigur că la început, te-ai speriat când ai văzut o astfel de expresie, dar nu este absolut nimic înfricoșător în ea!

Totul este la fel ca în exemplul anterior: oricare ar fi argumentul (expresia între paranteze), îl vom scrie în schimb în expresie. De exemplu, pentru o funcție.

Ce ar trebui făcut în exemplul nostru? În schimb, trebuie să scrieți și în loc de -:

scurtați expresia rezultată:

Asta e tot!

Muncă independentă

Acum încercați să găsiți singur sensul următoarelor expresii:

1. , dacă
2. , dacă

Ai reușit? Să comparăm răspunsurile noastre: Suntem obișnuiți cu faptul că funcția are forma

Chiar și în exemplele noastre, definim funcția în acest fel, dar analitic este posibil să definim funcția implicit, de exemplu.

Încercați să construiți singur această funcție.

Ai reușit?

Iată cum l-am construit.

Cu ce ​​ecuație am ajuns?

Dreapta! Liniar, ceea ce înseamnă că graficul va fi o linie dreaptă. Să facem un tabel pentru a determina ce puncte aparțin liniei noastre:

Tocmai despre asta vorbeam... Unul corespunde mai multor.

Să încercăm să desenăm ce s-a întâmplat:

Este ceea ce avem o funcție?

Așa este, nu! De ce? Încercați să răspundeți la această întrebare cu o imagine. Ce ai primit?

„Pentru că o singură valoare corespunde mai multor valori!”

Ce concluzie putem trage din asta?

Așa este, o funcție nu poate fi întotdeauna exprimată în mod explicit, iar ceea ce este „deghizat” ca funcție nu este întotdeauna o funcție!

Mod tabelar de definire a unei funcții

După cum sugerează și numele, această metodă este o placă simplă. Da Da. Ca cel pe care l-am făcut deja. De exemplu:

Aici ați observat imediat un model - Y este de trei ori mai mare decât X. Și acum sarcina „gândește foarte bine”: crezi că o funcție dată sub formă de tabel este echivalentă cu o funcție?

Să nu mai vorbim multă vreme, dar să desenăm!

Asa de. Desenăm o funcție dată în ambele moduri:

Vedeți diferența? Nu e vorba de punctele marcate! Priveste mai atent:

L-ai văzut acum? Când setăm funcția într-un mod tabelar, reflectăm pe grafic doar acele puncte pe care le avem în tabel și linia (ca și în cazul nostru) trece doar prin ele. Când definim o funcție într-un mod analitic, putem lua orice puncte, iar funcția noastră nu se limitează la ele. Iată o astfel de caracteristică. Tine minte!

Mod grafic de a construi o funcție

Modul grafic de construire a unei funcții nu este mai puțin convenabil. Ne desenăm funcția și o altă persoană interesată poate găsi cu ce este y la un anumit x și așa mai departe. Metodele grafice și analitice sunt printre cele mai comune.

Cu toate acestea, aici trebuie să vă amintiți despre ce am vorbit la început - nu fiecare „squiggle” desenat în sistemul de coordonate este o funcție! Amintit? Pentru orice eventualitate, voi copia aici definiția a ceea ce este o funcție:

De regulă, oamenii numesc de obicei exact acele trei moduri de definire a unei funcții pe care le-am analizat - analitic (folosind o formulă), tabelar și grafic, uitând complet că o funcție poate fi descrisă verbal. Ca aceasta? Da, foarte usor!

Descrierea verbală a funcției

Cum să descrii funcția verbal? Să luăm exemplul nostru recent - . Această funcție poate fi descrisă ca „fiecare valoare reală a lui x corespunde valorii sale triple”. Asta e tot. Nimic complicat. Desigur, veți obiecta - „există funcții atât de complexe, încât este pur și simplu imposibil de stabilit verbal!” Da, există unele, dar există funcții care sunt mai ușor de descris verbal decât de stabilit cu o formulă. De exemplu: „fiecare valoare naturală a lui x corespunde diferenței dintre cifrele din care constă, în timp ce cea mai mare cifră conținută în intrarea numărului este luată ca minuend”. Acum, ia în considerare modul nostru descriere verbală funcțiile sunt implementate în practică:

Cea mai mare cifră dintr-un număr dat -, respectiv, - se reduce, apoi:

Principalele tipuri de funcții

Acum să trecem la cele mai interesante - vom lua în considerare principalele tipuri de funcții cu care ați lucrat/lucrați și veți lucra în cursul școlii și institutului de matematică, adică le vom cunoaște, ca să spunem așa, și le da descriere scurta. Citiți mai multe despre fiecare funcție în secțiunea corespunzătoare.

Funcție liniară

O funcție a formei, unde sunt numere reale.

Graficul acestei funcții este o linie dreaptă, astfel încât construcția unei funcții liniare se reduce la găsirea coordonatelor a două puncte.

Poziția dreptei pe planul de coordonate depinde de pantă.

Domeniul de aplicare al funcției (denumit și intervalul de argumente) - .

Gama de valori este .

funcţie pătratică

Funcția formei, unde

Graficul funcției este o parabolă, când ramurile parabolei sunt îndreptate în jos, când - în sus.

Multe proprietăți ale unei funcții pătratice depind de valoarea discriminantului. Discriminantul se calculează prin formula

Poziția parabolei pe planul de coordonate în raport cu valoarea și coeficientul este prezentată în figură:

Domeniu

Gama de valori depinde de extremul funcției date (vârful parabolei) și de coeficient (direcția ramurilor parabolei)

Proporționalitate inversă

Funcția dată de formula, unde

Numărul se numește factor de proporționalitate inversă. În funcție de ce valoare, ramurile hiperbolei sunt în pătrate diferite:

Domeniu - .

Gama de valori este .

REZUMAT ȘI FORMULA DE BAZĂ

1. O funcție este o regulă conform căreia fiecărui element al unei mulțimi i se atribuie un element unic al mulțimii.

• - aceasta este o formulă care denotă o funcție, adică dependența unei variabile de alta;
• - variabilă, sau argument;
• - valoare dependentă - se modifică atunci când argumentul se schimbă, adică după o formulă specifică care reflectă dependența unei valori față de alta.

2. Valorile argumentelor valide, sau domeniul de aplicare al unei funcții, este ceea ce este legat de posibilul sub care funcția are sens.

3. Gama de valori ale funcției- acestea sunt valorile necesare, cu valori valide.

4. Există 4 moduri de a seta funcția:

• analitice (folosind formule);
• tabular;
• grafic
• descriere verbală.

5. Principalele tipuri de funcții:

• : , unde, sunt numere reale;
• : , Unde;
• : , Unde.

Elevii se confruntă cu sarcina de a construi un grafic de funcții chiar la începutul studiului algebrei și continuă să le construiască de la an la an. Plecând de la un grafic al unei funcții liniare, pentru construcția căreia trebuie să cunoști doar două puncte, până la o parabolă, pentru care ai nevoie deja de 6 puncte, o hiperbolă și o sinusoidă. În fiecare an, funcțiile devin din ce în ce mai complexe și nu mai este posibilă trasarea graficelor lor conform unui șablon, este necesar să se efectueze studii mai complexe folosind derivate și limite.

Să ne dăm seama cum să găsim graficul unei funcții? Pentru a face acest lucru, să începem cu cele mai simple funcții, ale căror grafice sunt construite prin puncte, apoi să luăm în considerare un plan pentru construirea de funcții mai complexe.

Trasarea unei funcții liniare

Pentru a construi cele mai simple grafice, se folosește un tabel cu valorile funcției. Graficul unei funcții liniare este o linie dreaptă. Să încercăm să găsim punctele graficului funcției y=4x+5.

1. Pentru a face acest lucru, luăm două valori arbitrare ale variabilei x, le înlocuim una câte una în funcție, găsim valoarea variabilei y și punem totul în tabel.
2. Să luăm valoarea x=0 și să o înlocuim în funcție în loc de x - 0. Obținem: y=4*0+5, adică y=5 scrieți această valoare în tabel sub 0. În mod similar, luăm x= 0 obținem y=4*1+5 , y=9.
3. Acum, pentru a construi un grafic al funcției, trebuie să reprezentați aceste puncte pe planul de coordonate. Apoi trebuie să desenați o linie dreaptă.

Trasarea unei funcții cuadratice

O funcție pătratică este o funcție de forma y=ax 2 +bx +c, unde x este o variabilă, a,b,c sunt numere (a nu este egal cu 0). De exemplu: y=x 2 , y=x 2 +5, y=(x-3) 2 , y=2x 2 +3x+5.

Pentru a construi cea mai simplă funcție pătratică y=x 2, luați de obicei 5-7 puncte. Să luăm valorile pentru variabila x: -2, -1, 0, 1, 2 și să găsim valorile lui y în același mod ca atunci când construim primul grafic.

Graficul unei funcții pătratice se numește parabolă. După construirea graficelor de funcții, elevii au noi sarcini asociate graficului.

Exemplul 1: găsiți abscisa graficului funcției punctul y=x 2 dacă ordonata este 9. Pentru a rezolva problema, trebuie să înlocuiți valoarea acesteia 9 în loc de y în funcție. Obținem 9=x 2 și rezolvăm această ecuație . x=3 și x=-3. Acest lucru poate fi văzut și în graficul funcției.

Investigarea unei funcții și construcția graficului acesteia

Pentru a trasa funcții mai complexe, trebuie să efectuați mai mulți pași care vizează studiul acesteia. Pentru asta ai nevoie de:

1. Găsiți domeniul de aplicare al funcției. Domeniul de aplicare sunt toate valorile pe care x le poate prelua. Din domeniul definiției, ar trebui excluse acele puncte în care numitorul devine 0 sau expresia radicală devine negativă.
2. Setați funcția par sau impar. Reamintim că chiar este funcția care îndeplinește condiția f(-x)=f(x). Graficul său este simetric față de Oy. O funcție va fi impară dacă îndeplinește condiția f(-x)=-f(x). În acest caz, graficul este simetric față de origine.
3. Găsiți punctele de intersecție cu axele de coordonate. Pentru a găsi abscisa punctului de intersecție cu axa x, este necesar să se rezolve ecuația f(x)=0 (ordonata este 0). Pentru a găsi ordonata punctului de intersecție cu axa Oy, este necesar să înlocuiți 0 în funcție în loc de variabila x (abscisa este 0).
4. Găsiți asimptotele funcției. O asimptotă este o linie pe care graficul se apropie la nesfârșit, dar nu o traversează niciodată. Să ne dăm seama cum să găsim asimptotele graficului unei funcții.
   • Linie dreaptă asimptotă verticală de forma x=a
   • Asimptotă orizontală - o linie dreaptă de forma y \u003d a
   • Asimptotă oblică - linie dreaptă de forma y=kx+b
5. Aflați punctele extreme ale funcției, intervalele de creștere și scădere ale funcției. Găsiți punctele extreme ale funcției. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți prima derivată și să o echivalați cu 0. În aceste puncte funcția se poate schimba de la creștere la descreștere. Să determinăm semnul derivatei pe fiecare interval. Dacă derivata este pozitivă, atunci graficul funcției crește; dacă este negativă, scade.
6. Aflați punctele de inflexiune ale graficului funcției, intervalele de convexitate în sus și în jos.

Găsirea punctelor de inflexiune este acum mai ușoară ca niciodată. Trebuie doar să găsiți derivata a doua, apoi să o echivalați cu zero. În continuare, găsim semnul derivatei a doua pe fiecare interval. Dacă este pozitiv, atunci graficul funcției este convex în jos, dacă este negativ - în sus.

Cunoştinţe funcții elementare de bază, proprietățile și graficele lor nu mai puțin important decât cunoașterea tablei înmulțirii. Sunt ca o fundație, totul se bazează pe ele, totul este construit din ele și totul se reduce la ei.

În acest articol, enumerăm toate funcțiile elementare principale, le dăm graficele și le dăm fără derivații și demonstrații. proprietăţile funcţiilor elementare de bază conform schemei:

• comportamentul funcției la limitele domeniului de definiție, asimptote verticale (dacă este necesar, vezi articolul clasificarea punctelor de întrerupere a unei funcții);
• par si impar;
• intervale de convexitate (convexitate în sus) și concavitate (convexitate în jos), puncte de inflexiune (dacă este necesar, vezi funcția articolului convexitate, direcție de convexitate, puncte de inflexiune, convexitate și condiții de inflexiune);
• asimptote oblice și orizontale;
• puncte singulare de funcții;
• proprietăți speciale ale unor funcții (de exemplu, cea mai mică perioadă pozitivă pentru funcțiile trigonometrice).

Dacă sunteți interesat de sau, atunci puteți merge la aceste secțiuni ale teoriei.

Funcții elementare de bază sunt: ​​funcția constantă (constantă), rădăcina gradului al n-lea, funcția de putere, funcția exponențială, funcția logaritmică, funcțiile trigonometrice și trigonometrice inverse.

Navigare în pagină.

Funcție permanentă.

O funcție constantă este dată pe mulțimea tuturor numerelor reale prin formula , unde C este un număr real. Funcția constantă atribuie fiecărei valori reale a variabilei independente x aceeași valoare a variabilei dependente y - valoarea С. O funcție constantă se mai numește și constantă.

Graficul unei funcții constante este o dreaptă paralelă cu axa x și care trece printr-un punct cu coordonatele (0,C) . De exemplu, să arătăm grafice ale funcțiilor constante y=5 , y=-2 și , care în figura de mai jos corespund liniilor negre, roșii și, respectiv, albastre.

Proprietățile unei funcții constante.

• Domeniul definiției: întregul set de numere reale.
• Funcția constantă este pară.
• Interval de valori: set format dintr-un singur număr C .
• O funcție constantă este necrescătoare și nedescrescătoare (de aceea este constantă).
• Nu are sens să vorbim despre convexitatea și concavitatea constantei.
• Nu există asimptotă.
• Funcția trece prin punctul (0,C) al planului de coordonate.

Rădăcina gradului al n-lea.

Luați în considerare funcția elementară de bază, care este dată de formula , unde n este un număr natural mai mare decât unu.

Rădăcina gradului al n-lea, n este un număr par.

Să începem cu a n-a funcție rădăcină pentru valorile pare ale exponentului rădăcină n .

De exemplu, oferim o imagine cu imagini cu grafice ale funcțiilor și , acestea corespund liniilor negre, roșii și albastre.

Graficele funcțiilor rădăcinii unui grad par au o formă similară pentru alte valori ale indicatorului.

Proprietățile rădăcinii gradului al n-lea pentru n chiar.

Rădăcina gradului al n-lea, n este un număr impar.

Funcția rădăcină de gradul al n-lea cu un exponent impar al rădăcinii n este definită pe întregul set de numere reale. De exemplu, prezentăm grafice ale funcțiilor și , curbele negre, roșii și albastre le corespund.

Pentru alte valori impare ale exponentului rădăcină, graficele funcției vor avea un aspect similar.

Proprietățile rădăcinii gradului al n-lea pentru n impar.

Funcția de putere.

Funcția de putere este dată de o formulă de forma .

Luați în considerare tipul de grafice ale unei funcții de putere și proprietățile unei funcții de putere în funcție de valoarea exponentului.

Să începem cu o funcție de putere cu un exponent întreg a . În acest caz, forma graficelor funcțiilor de putere și proprietățile funcțiilor depind de exponentul par sau impar, precum și de semnul acestuia. Prin urmare, luăm în considerare mai întâi funcțiile de putere pentru valorile pozitive impare ale exponentului a , apoi pentru cele par pozitive, apoi pentru exponenții negativi impari și, în final, pentru negativul par a .

Proprietățile funcțiilor de putere cu exponenți fracționali și iraționali (precum și tipul de grafice ale unor astfel de funcții de putere) depind de valoarea exponentului a. Le vom lua în considerare, în primul rând, când a este de la zero la unu, în al doilea rând, când a este mai mare decât unu, în al treilea rând, când a este de la minus unu la zero și, în al patrulea rând, când a este mai mic decât minus unu.

În încheierea acestei subsecțiuni, de dragul caracterului complet, descriem o funcție de putere cu exponent zero.

Funcția de putere cu exponent pozitiv impar.

Să considerăm o funcție de putere cu un exponent pozitiv impar, adică cu a=1,3,5,... .

Figura de mai jos prezintă grafice ale funcțiilor de putere - linie neagră, - linie albastră, - linie roșie, - linie verde. Pentru a=1 avem funcție liniară y=x.

Proprietățile unei funcții de putere cu un exponent pozitiv impar.

Funcție de putere cu exponent pozitiv chiar.

Să considerăm o funcție de putere cu un exponent pozitiv par, adică pentru a=2,4,6,… .

Ca exemplu, să luăm grafice ale funcțiilor de putere - linie neagră, - linie albastră, - linie roșie. Pentru a=2 avem o funcție pătratică al cărei grafic este parabolă pătratică.

Proprietățile unei funcții de putere cu exponent pozitiv par.

Funcția de putere cu un exponent negativ impar.

Priviți graficele funcției exponențiale pentru valori negative impare ale exponentului, adică pentru un \u003d -1, -3, -5, ....

Figura prezintă grafice ale funcțiilor exponențiale ca exemple - linie neagră, - linie albastră, - linie roșie, - linie verde. Pentru a=-1 avem proporționalitate inversă, al cărui grafic este hiperbolă.

Proprietățile unei funcții de putere cu un exponent negativ impar.

Funcția de putere cu un exponent negativ egal.

Să trecem la funcția de putere la a=-2,-4,-6,….

Figura prezintă grafice ale funcțiilor de putere - linie neagră, - linie albastră, - linie roșie.

Proprietățile unei funcții de putere cu exponent negativ par.

O funcție de putere cu un exponent rațional sau irațional a cărui valoare este mai mare decât zero și mai mică decât unu.

Notă! Dacă a este o fracție pozitivă cu un numitor impar, atunci unii autori consideră intervalul ca fiind domeniul funcției de putere. În același timp, se prevede că exponentul a este o fracție ireductibilă. Acum, autorii multor manuale de algebră și începuturile analizei NU DEFINEȘTE funcțiile de putere cu un exponent sub forma unei fracții cu un numitor impar pentru valorile negative ale argumentului. Vom adera la o astfel de vedere, adică vom considera că domeniile funcțiilor de putere cu exponenți pozitivi fracționari sunt mulțimea . Încurajăm studenții să obțină perspectiva profesorului dumneavoastră asupra acestui punct subtil pentru a evita dezacordul.

Se consideră o funcție de putere cu exponent rațional sau irațional a și .

Prezentăm grafice ale funcțiilor de putere pentru a=11/12 (linia neagră), a=5/7 (linia roșie), (linia albastră), a=2/5 (linia verde).

O funcție de putere cu un exponent rațional sau irațional non-întreg mai mare decât unu.

Să considerăm o funcție de putere cu un exponent rațional sau irațional neîntreger a și .

Să prezentăm graficele funcțiilor de putere date de formule (linii negre, roșii, albastre și, respectiv, verzi).

>

Pentru alte valori ale exponentului a , graficele funcției vor avea un aspect similar.

Proprietățile funcției de putere pentru .

O funcție de putere cu un exponent real care este mai mare decât minus unu și mai mic decât zero.

Notă! Dacă a este o fracție negativă cu un numitor impar, atunci unii autori iau în considerare intervalul . În același timp, se prevede că exponentul a este o fracție ireductibilă. Acum, autorii multor manuale de algebră și începuturile analizei NU DEFINEȘTE funcțiile de putere cu un exponent sub forma unei fracții cu un numitor impar pentru valorile negative ale argumentului. Vom adera doar la o astfel de vedere, adică vom considera că domeniile funcțiilor de putere cu exponenți negativi fracționali fracționali sunt, respectiv, mulțimea. Încurajăm studenții să obțină perspectiva profesorului dumneavoastră asupra acestui punct subtil pentru a evita dezacordul.

Trecem la funcția de putere , unde .

Pentru a avea o idee bună despre tipul de grafice ale funcțiilor de putere pentru , dăm exemple de grafice ale funcțiilor (curbe negru, roșu, albastru și, respectiv, verde).

Proprietățile unei funcții de putere cu exponent a , .

O funcție de putere cu un exponent real neîntreger care este mai mic de minus unu.

Să dăm exemple de grafice ale funcțiilor de putere pentru , acestea sunt reprezentate în linii negre, roșii, albastre și, respectiv, verzi.

Proprietățile unei funcții de putere cu un exponent negativ non-întreg mai mic decât minus unu.

Când a=0 și avem o funcție - aceasta este o linie dreaptă din care punctul (0; 1) este exclus (expresia 0 0 a fost de acord să nu acorde nicio importanță).

Functie exponentiala.

Una dintre funcțiile elementare de bază este funcția exponențială.

Graficul funcției exponențiale , unde și ia alt felîn funcţie de valoarea bazei a. Să ne dăm seama.

În primul rând, luați în considerare cazul în care baza funcției exponențiale ia o valoare de la zero la unu, adică .

De exemplu, prezentăm graficele funcției exponențiale pentru a = 1/2 - linia albastră, a = 5/6 - linia roșie. Graficele funcției exponențiale au un aspect similar pentru alte valori ale bazei din interval.

Proprietățile unei funcții exponențiale cu o bază mai mică de unu.

Ne întoarcem la cazul când baza funcției exponențiale este mai mare decât unu, adică .

Ca o ilustrare, prezentăm grafice ale funcțiilor exponențiale - linia albastră și - linia roșie. Pentru alte valori ale bazei, mai mari decât unu, graficele funcției exponențiale vor avea un aspect similar.

Proprietățile unei funcții exponențiale cu o bază mai mare decât unu.

Funcția logaritmică.

Următoarea funcție elementară de bază este funcția logaritmică, unde , . Funcția logaritmică este definită numai pentru valorile pozitive ale argumentului, adică pentru .

Graficul funcției logaritmice ia o formă diferită în funcție de valoarea bazei a.

Să începem cu cazul când .

De exemplu, prezentăm graficele funcției logaritmice pentru a = 1/2 - linia albastră, a = 5/6 - linia roșie. Pentru alte valori ale bazei, care nu depășesc unu, graficele funcției logaritmice vor avea un aspect similar.

Proprietățile unei funcții logaritmice cu o bază mai mică de unu.

Să trecem la cazul când baza funcției logaritmice este mai mare decât unu ().

Să arătăm grafice ale funcțiilor logaritmice - linie albastră, - linie roșie. Pentru alte valori ale bazei, mai mari decât unu, graficele funcției logaritmice vor avea un aspect similar.

Proprietățile unei funcții logaritmice cu o bază mai mare decât unu.

Funcții trigonometrice, proprietățile lor și grafice.

Toate funcțiile trigonometrice (sinus, cosinus, tangentă și cotangentă) sunt funcții elementare de bază. Acum vom lua în considerare graficele lor și vom enumera proprietățile lor.

Funcțiile trigonometrice au conceptul periodicitate(recurența valorilor funcției pentru diferite valori ale argumentului care diferă unele de altele prin valoarea perioadei , unde T este perioada), prin urmare, un element a fost adăugat la lista de proprietăți ale funcțiilor trigonometrice „cea mai mică perioadă pozitivă”. De asemenea, pentru fiecare funcție trigonometrică, vom indica valorile argumentului la care dispare funcția corespunzătoare.

Acum să ne ocupăm de toate funcțiile trigonometrice în ordine.

Funcția sinus y = sin(x) .

Să desenăm un grafic al funcției sinus, se numește „sinusoid”.

Proprietățile funcției sinus y = sinx .

Funcția cosinus y = cos(x) .

Graficul funcției cosinus (se numește „cosinus”) arată astfel:

Proprietățile funcției cosinus y = cosx .

Funcția tangentă y = tg(x) .

Graficul funcției tangente (se numește „tangentoid”) arată astfel:

Proprietățile funcției tangentă y = tgx .

Funcția cotangentă y = ctg(x) .

Să desenăm un grafic al funcției cotangente (se numește „cotangentoid”):

Proprietățile funcției cotangente y = ctgx .

Funcții trigonometrice inverse, proprietățile lor și grafice.

Funcțiile trigonometrice inverse (arcsin, arccosinus, arctangent și arccotangent) sunt funcțiile elementare de bază. Adesea, din cauza prefixului „arc”, funcțiile trigonometrice inverse sunt numite funcții arc. Acum vom lua în considerare graficele lor și vom enumera proprietățile lor.

Funcția arcsin y = arcsin(x) .

Să diagramăm funcția arcsinus:

Proprietățile funcției arccotangent y = arcctg(x) .

Bibliografie.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Algebra și începuturile analizei: Proc. pentru 10-11 celule. institutii de invatamant.
• Vygodsky M.Ya. Manual de matematică elementară.
• Novoselov S.I. Algebră și funcții elementare.
• Tumanov S.I. Algebră elementară. Un ghid pentru auto-educare.

Construiește o funcție

Vă aducem la cunoștință un serviciu de trasare online a graficelor de funcții, toate drepturile cărora le aparțin companiei Desmos. Utilizați coloana din stânga pentru a introduce funcții. Puteți introduce manual sau folosind tastatura virtuală din partea de jos a ferestrei. Pentru a mări fereastra diagramei, puteți ascunde atât coloana din stânga, cât și tastatura virtuală.

Beneficiile graficelor online

• Afișarea vizuală a funcțiilor introduse
• Construirea de grafice foarte complexe
• Trasarea graficelor definite implicit (de exemplu, elipsa x^2/9+y^2/16=1)
• Posibilitatea de a salva diagrame și de a obține un link către ele, care devine disponibil pentru toată lumea pe Internet
• Controlul scării, culoarea liniei
• Abilitatea de a reprezenta grafice după puncte, utilizarea constantelor
• Construirea mai multor grafice de funcții în același timp
• Trasarea în coordonate polare (utilizați r și θ(\theta))

Cu noi este ușor să construiești grafice de complexitate variată online. Construcția se face instantaneu. Serviciul este solicitat pentru găsirea punctelor de intersecție ale funcțiilor, pentru afișarea graficelor pentru a le transfera ulterior într-un document Word ca ilustrații pentru rezolvarea problemelor, pentru analizarea caracteristicilor comportamentale ale graficelor de funcții. Browserul optim pentru lucrul cu diagrame de pe această pagină a site-ului este Google Chrome. Când utilizați alte browsere, funcționarea corectă nu este garantată.