Геометричното значение на прогресията. Геометрична прогресия и нейната формула. Свойство на геометрична прогресия

>> математика: Геометрична прогресия

За удобство на читателя, този раздел следва точно същия план, както следвахме в предишния раздел.

1. Основни понятия.

Определение.Числова последователност, всички членове на която са различни от 0 и всеки член на която, започвайки от втория, се получава от предишния член чрез умножаването му по същото число, се нарича геометрична прогресия. В този случай числото 5 се нарича знаменател на геометрична прогресия.

По този начин геометричната прогресия е числова последователност (b n), дадена рекурсивно от отношенията

Възможно ли е чрез разглеждане на числова последователност да се определи дали е геометрична прогресия? Мога. Ако сте убедени, че съотношението на всеки член от последователността към предишния член е постоянно, тогава имате геометрична прогресия.
Пример 1

1, 3, 9, 27, 81,... .
b 1 = 1, q = 3.

Пример 2

Това е геометрична прогресия, която
Пример 3

Това е геометрична прогресия, която
Пример 4

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

Това е геометрична прогресия, където b 1 - 8, q = 1.

Забележете, че тази последователност също е аритметична прогресия (вижте Пример 3 от § 15).

Пример 5

2,-2,2,-2,2,-2.....

Това е геометрична прогресия, в която b 1 \u003d 2, q = -1.

Очевидно геометричната прогресия е нарастваща последователност, ако b 1 > 0, q > 1 (виж пример 1), и намаляваща последователност, ако b 1 > 0, 0< q < 1 (см. пример 2).

За да се посочи, че последователността (b n) е геометрична прогресия, следната нотация понякога е удобна:

Иконата замества фразата „геометрична прогресия“.
Отбелязваме едно любопитно и в същото време доста очевидно свойство на геометричната прогресия:
Ако последователността е геометрична прогресия, тогава последователността от квадрати, т.е. е геометрична прогресия.
Във втората геометрична прогресия първият член е равен на a, равен на q 2.
Ако отхвърлим всички членове, следващи b n експоненциално, тогава получаваме крайна геометрична прогресия
В следващите параграфи на този раздел ще разгледаме най-важните свойства на геометричната прогресия.

2. Формула на n-ия член на геометрична прогресия.

Помислете за геометрична прогресия знаменател q. Ние имаме:

Не е трудно да се отгатне, че за всяко число n равенството

Това е формулата за n-ия член на геометрична прогресия.

Коментирайте.

Ако сте прочели важната забележка от предишния параграф и сте я разбрали, опитайте се да докажете формула (1) чрез математическа индукция, точно както беше направено за формулата на n-ия член на аритметична прогресия.

Нека пренапишем формулата на n-ия член на геометричната прогресия

и въвеждаме обозначението: Получаваме y = mq 2, или, по-подробно,
Аргументът x се съдържа в експонента, така че такава функция се нарича експоненциална функция. Това означава, че геометричната прогресия може да се разглежда като експоненциална функция, дадена върху множеството N от естествени числа. На фиг. 96а показва графика на функцията от фиг. 966 - функционална графика И в двата случая имаме изолирани точки (с абсциси x = 1, x = 2, x = 3 и т.н.), лежащи на някаква крива (и двете фигури показват една и съща крива, само че различно разположени и изобразени в различни мащаби). Тази крива се нарича експонента. Повече за експоненциалната функция и нейната графика ще говорим в курса по алгебра за 11. клас.

Нека се върнем към примери 1-5 от предишния параграф.

1) 1, 3, 9, 27, 81,... . Това е геометрична прогресия, в която b 1 = 1, q = 3. Нека направим формула за n-ия член
2) Това е геометрична прогресия, в която нека формулираме n-ия член

Това е геометрична прогресия, която Съставете формулата за n-ия член
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . Това е геометрична прогресия, в която b 1 = 8, q = 1. Нека направим формула за n-ия член
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... Това е геометрична прогресия, в която b 1 = 2, q = -1. Съставете формулата за n-ия член

Пример 6

Дадена е геометрична прогресия

Във всички случаи решението се основава на формулата на n-ия член на геометрична прогресия

а) Поставяйки n = 6 във формулата на n-ия член на геометричната прогресия, получаваме

б) Имаме

Тъй като 512 = 2 9, получаваме n - 1 = 9, n \u003d 10.

г) Имаме

Пример 7

Разликата между седмия и петия член на геометричната прогресия е 48, сборът от петия и шестия член на прогресията също е 48. Намерете дванадесетия член на тази прогресия.

Първи етап.Изготвяне на математически модел.

Условията на задачата могат да се запишат накратко, както следва:

Използвайки формулата на n-ия член на геометрична прогресия, получаваме:
Тогава второто условие на задачата (b 7 - b 5 = 48) може да се запише като

Третото условие на задачата (b 5 +b 6 = 48) може да се запише като

В резултат на това получаваме система от две уравнения с две променливи b 1 и q:

което в съчетание с условие 1), написано по-горе, е математически моделзадачи.

Втора фаза.

Работа с компилирания модел. Приравнявайки левите части на двете уравнения на системата, получаваме:

(разделихме двете страни на уравнението на израза b 1 q 4 , който е различен от нула).

От уравнението q 2 - q - 2 = 0 намираме q 1 = 2, q 2 = -1. Замествайки стойността q = 2 във второто уравнение на системата, получаваме
Замествайки стойността q = -1 във второто уравнение на системата, получаваме b 1 1 0 = 48; това уравнение няма решения.

И така, b 1 \u003d 1, q \u003d 2 - тази двойка е решението на съставената система от уравнения.

Сега можем да запишем въпросната геометрична прогресия: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .

Трети етап.

Отговорът на проблемния въпрос. Необходимо е да се изчисли b 12 . Ние имаме

Отговор: b 12 = 2048.

3. Формулата за сбора на членовете на крайна геометрична прогресия.

Нека има крайна геометрична прогресия

Означаваме със S n сбора от неговите членове, т.е.

Нека изведем формула за намиране на тази сума.

Да започнем от самото прост случай, когато q = 1. Тогава геометричната прогресия b 1 ,b 2 , b 3 ,..., bn се състои от n числа, равни на b 1 , т.е. прогресията е b 1 , b 2 , b 3 , ..., b 4 . Сборът от тези числа е nb 1.

Нека сега q = 1 За да намерим S n използваме изкуствен метод: нека извършим някои трансформации на израза S n q. Ние имаме:

Извършвайки трансформации, първо използвахме определението за геометрична прогресия, според което (вижте третия ред на разсъждения); второ, те добавят и изваждат защо значението на израза, разбира се, не се е променило (виж четвъртия ред на разсъжденията); трето, използвахме формулата на n-ия член на геометрична прогресия:

От формула (1) намираме:

Това е формулата за сумата от n члена на геометрична прогресия (за случая, когато q = 1).

Пример 8

Дадена е крайна геометрична прогресия

а) сумата от членовете на прогресията; б) сборът от квадратите на неговите членове.

б) По-горе (вж. стр. 132) вече отбелязахме, че ако всички членове на геометрична прогресия са на квадрат, тогава ще се получи геометрична прогресия с първия член b 2 и знаменателя q 2. Тогава сумата от шестте члена на новата прогресия ще бъде изчислена по

Пример 9

Намерете 8-ия член на геометрична прогресия, за която

Всъщност доказахме следната теорема.

Числовата последователност е геометрична прогресия тогава и само ако квадратът на всеки от нейните членове, с изключение на първия (и последния, в случай на крайна последователност), е равен на произведението на предишния и следващите членове (характерно свойство на геометрична прогресия).

например, последователност \(3\); \(6\); \(12\); \(24\); \(48\)... е геометрична прогресия, тъй като всеки следващ елемент се различава от предишния с коефициент два (с други думи, може да се получи от предишния, като се умножи по две):

Както всяка последователност, геометричната прогресия се обозначава с малка латинска буква. Числата, които образуват прогресия, се наричат членове(или елементи). Те се обозначават със същата буква като геометричната прогресия, но с числов индекс, равен на номера на елемента по ред.

например, геометричната прогресия \(b_n = \(3; 6; 12; 24; 48…\)\) се състои от елементите \(b_1=3\); \(b_2=6\); \(b_3=12\) и така нататък. С други думи:

Ако разбирате горната информация, вече ще можете да разрешите повечето проблеми по тази тема.

Пример (OGE):
Решение:

Отговор : \(-686\).

Пример (OGE): Като се имат предвид първите три члена на прогресията \(324\); \(-108\); \(36\)…. Намерете \(b_5\).
Решение:

	За да продължим последователността, трябва да знаем знаменателя. Нека го намерим от два съседни елемента: по какво трябва да се умножи \(324\), за да се получи \(-108\)?
\(324 q=-108\)	Оттук лесно можем да изчислим знаменателя.
\(q=-\) \(\frac(108)(324)\) \(=-\) \(\frac(1)(3)\)	Сега можем лесно да намерим елемента, от който се нуждаем.
	Отговор готов.

Отговор : \(4\).

пример: Прогресията се дава от условието \(b_n=0,8 5^n\). Кое число е член на тази прогресия:

а) \(-5\) б) \(100\) в) \(25\) d) \(0,8\) ?

Решение: От формулировката на задачата е очевидно, че едно от тези числа определено е в нашата прогресия. Следователно можем просто да изчислим неговите членове един по един, докато намерим стойността, от която се нуждаем. Тъй като нашата прогресия е дадена от формулата, ние изчисляваме стойностите на елементите, като заместваме различни \(n\):
\(n=1\); \(b_1=0.8 5^1=0.8 5=4\) – няма такъв номер в списъка. Продължаваме.
\(n=2\); \(b_2=0.8 5^2=0.8 25=20\) - и това също го няма.
\(n=3\); \(b_3=0.8 5^3=0.8 125=100\) – и ето го нашия шампион!

Отговор: \(100\).

Пример (OGE): Дадени са няколко последователни члена на геометричната прогресия …\(8\); \(х\); \(50\); \(-125\)…. Намерете стойността на елемента, обозначен с буквата \(x\).

Решение:

Отговор: \(-20\).

Пример (OGE): Прогресията се дава от условията \(b_1=7\), \(b_(n+1)=2b_n\). Намерете сумата от първите \(4\) членове на тази прогресия.

Решение:

Отговор: \(105\).

Пример (OGE): Известно е, че експоненциално \(b_6=-11\),\(b_9=704\). Намерете знаменателя \(q\).

Решение:

	От диаграмата вляво се вижда, че за да „стигнем“ от \ (b_6 \) до \ (b_9 \) - правим три „стъпки“, тоест умножаваме \ (b_6 \) три пъти по знаменателят на прогресията. С други думи, \(b_9=b_6 q q q=b_6 q^3\).
\(b_9=b_6 q^3\)	Заменете стойностите, които познаваме.
\(704=(-11)q^3\)	„Обърнете“ уравнението и го разделете на \((-11)\).
\(q^3=\) \(\frac(704)(-11)\) \(\:\:\: ⇔ \:\:\: \)\(q^3=-\) \(64 \)	Какво число в куб дава \(-64\)? Разбира се, \(-4\)!
	Отговорът е намерен. Може да се провери чрез възстановяване на веригата от числа от \(-11\) до \(704\).
	Всички са съгласни - отговорът е верен.

Отговор: \(-4\).

Най-важните формули

Както можете да видите, повечето проблеми с геометричната прогресия могат да бъдат решени с чиста логика, просто чрез разбиране на същността (това като цяло е характерно за математиката). Но понякога познаването на определени формули и модели ускорява и значително улеснява вземането на решение. Ще изучаваме две такива формули.

Формулата за \(n\)-тия член е: \(b_n=b_1 q^(n-1)\), където \(b_1\) е първият член на прогресията; \(n\) – номер на необходимия елемент; \(q\) е знаменателят на прогресията; \(b_n\) е член на прогресията с числото \(n\).

Използвайки тази формула, можете например да решите проблема от първия пример само с една стъпка.

Пример (OGE): Геометричната прогресия се дава от условията \(b_1=-2\); \(q=7\). Намерете \(b_4\).
Решение:

Отговор: \(-686\).

Този пример беше прост, така че формулата не ни направи твърде по-лесни изчисленията. Нека разгледаме проблема малко по-сложен.

пример: Геометричната прогресия се дава от условията \(b_1=20480\); \(q=\frac(1)(2)\). Намерете \(b_(12)\).
Решение:

Отговор: \(10\).

Разбира се, вдигането на \(\frac(1)(2)\) на \(11\)-та степен не е много радостно, но все пак по-лесно от \(11\) разделянето на \(20480\) на две.

Сумата \(n\) от първите членове: \(S_n=\)\(\frac(b_1 (q^n-1))(q-1)\) , където \(b_1\) е първият член на прогресията; \(n\) – броят на сумираните елементи; \(q\) е знаменателят на прогресията; \(S_n\) е сумата \(n\) от първите членове на прогресията.

Пример (OGE): Дадена е геометрична прогресия \(b_n\), чийто знаменател е \(5\), и първият член \(b_1=\frac(2)(5)\). Намерете сбора от първите шест члена на тази прогресия.
Решение:

Отговор: \(1562,4\).

И отново бихме могли да решим проблема „на челото“ - да намерим всичките шест елемента на свой ред и след това да добавим резултатите. Въпреки това броят на изчисленията, а оттам и шансът за случайна грешка, ще се увеличи драстично.

За геометрична прогресия има още няколко формули, които не разгледахме тук поради ниската им практическа употреба. Можете да намерите тези формули.

Нарастващи и намаляващи геометрични прогресии

За прогресията \(b_n = \(3; 6; 12; 24; 48…\)\), разгледана в самото начало на статията, знаменателят \(q\) е по-голям от едно и следователно всеки следващ член е по-голям от предишния. Такива прогресии се наричат повишаване на.

Ако \(q\) е по-малко от единица, но е положително (тоест лежи между нула и единица), тогава всеки следващ елемент ще бъде по-малък от предишния. Например, в прогресията \(4\); \(2\); \(един\); \(0,5\); \(0.25\)... знаменателят на \(q\) е \(\frac(1)(2)\).

Тези прогресии се наричат намаляващ. Имайте предвид, че нито един от елементите на тази прогресия няма да бъде отрицателен, те просто стават все по-малки и по-малки с всяка стъпка. Тоест постепенно ще се приближаваме до нулата, но никога няма да я достигнем и няма да излезем отвъд нея. Математиците в такива случаи казват „да се стремят към нула“.

Имайте предвид, че с отрицателен знаменател елементите на геометрична прогресия задължително ще променят знака. например, прогресията \(5\); \(-15\); \(45\); \(-135\); \(675\)... знаменателят на \(q\) е \(-3\), и поради това знаците на елементите "мигат".

Формулата за n-ия член на геометрична прогресия е много просто нещо. И по смисъл, и по принцип. Но има всякакви проблеми за формулата на n-ия член – от много примитивни до доста сериозни. И в процеса на нашето запознаване определено ще разгледаме и двете. Е, да се срещнем?)

Така че, за начало, всъщност формулан

Ето я:

b n = б 1 · q n -1

Формула като формула, нищо свръхестествено. Изглежда дори по-просто и по-компактно от подобна формула за . Значението на формулата също е просто, като плъстен ботуш.

Тази формула ви позволява да намерите ВСЕКИ член на геометрична прогресия ПО НЕГОВИЯ НОМЕР " н".

Както можете да видите, значението е пълна аналогия с аритметична прогресия. Знаем числото n - можем да изчислим и члена под това число. Това, което искаме. Не се умножава последователно по "q" много, много пъти. Това е целият смисъл.)

Разбирам, че на това ниво на работа с прогресии всички количества, включени във формулата, вече трябва да са ви ясни, но считам за свой дълг да дешифрирам всяка една. За всеки случай.

Така че да тръгваме:

б 1 – първочлен на геометрична прогресия;

q – ;

н– членски номер;

b n – n-ти (нти)член на геометрична прогресия.

Тази формула свързва четирите основни параметъра на всяка геометрична прогресия - бн, б 1 , qи н. И около тези четири ключови фигури се въртят всички задачи в прогресия.

„И как се показва?“- Чувам любопитен въпрос... Елементарно! Виж!

На какво е равно второчлен на прогресията? Няма проблем! Пишем директно:

b 2 = b 1 q

А третият член? Не е проблем също! Умножаваме втория член отново наq.

Като този:

B 3 \u003d b 2 q

Припомнете си сега, че вторият член от своя страна е равен на b 1 q и заместете този израз в нашето равенство:

B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2

Получаваме:

Б 3 = b 1 q 2

Сега нека да прочетем нашия запис на руски: третичлен е равен на първия член, умножен по q в второстепен. Схващаш ли? Все още не? Добре, още една стъпка.

Какъв е четвъртият мандат? Все същото! Умножете предишен(т.е. трети член) на q:

B 4 = b 3 q = (b 1 q 2) q = b 1 q 2 q = b 1 q 3

Обща сума:

Б 4 = b 1 q 3

И отново превеждаме на руски: четвъртичлен е равен на първия член, умножен по q в третистепен.

И т.н. И така, как е? Хванахте ли шаблона? Да! За всеки член с произволно число, броят на равните фактори q (т.е. мощността на знаменателя) винаги ще бъде един по-малък от броя на желания членн.

Следователно нашата формула ще бъде без опции:

b n =б 1 · q n -1

Това е всичко.)

Е, нека да решим проблемите, нали?)

Решаване на задачи по формуланти член на геометрична прогресия.

Нека започнем, както обикновено, с директно прилагане на формулата. Ето един типичен проблем:

Експоненциално се знае, че б 1 = 512 и q = -1/2. Намерете десетия член на прогресията.

Разбира се, този проблем може да бъде решен без никакви формули. Точно като геометрична прогресия. Но трябва да загреем с формулата на n-ия член, нали? Тук се разделяме.

Нашите данни за прилагане на формулата са както следва.

Първият термин е известен. Това е 512.

б 1 = 512.

Знаменателят на прогресията също е известен: q = -1/2.

Остава само да разберем на какво е равен номерът на члена n. Няма проблем! Интересуваме ли се от десетия срок? Така че заместваме десет вместо n в общата формула.

И внимателно изчислете аритметиката:

Отговор: -1

Както виждате, десетият член на прогресията се оказа с минус. Нищо чудно: знаменателят на прогресията е -1/2, т.е. отрицателенномер. И това ни казва, че признаците на нашата прогресия се редуват, да.)

Тук всичко е просто. И тук има подобен проблем, но малко по-сложен по отношение на изчисленията.

В геометрична прогресия знаем, че:

б 1 = 3

Намерете тринадесетия член на прогресията.

Всичко е същото, само че този път знаменателят на прогресията - ирационално. Корен от две. Е, нищо страшно. Формулата е нещо универсално, тя се справя с всякакви числа.

Работим директно по формулата:

Формулата, разбира се, работи както трябва, но ... тук някои ще висят. Какво да правя след това с root? Как да вдигнем корен на дванадесета степен?

Как-как ... Трябва да разберете, че всяка формула, разбира се, е нещо добро, но знанието за цялата предишна математика не се отменя! Как да отгледам? Да, запомнете свойствата на градусите! Нека променим корена на дробна степени - по формулата за издигане на степен в степен.

Като този:

Отговор: 192

И всички неща.)

Каква е основната трудност при директното прилагане на формулата на n-ия член? Да! Основната трудност е работа с дипломи!А именно, степенуването на отрицателни числа, дроби, корени и подобни конструкции. Така че тези, които имат проблеми с това, спешна молба за повторение на степени и техните свойства! В противен случай ще забавите темпото в тази тема, да ...)

Сега нека решим типичните задачи за търсене един от елементите на формулатаако всички останали са дадени. За успешното решаване на подобни проблеми рецептата е единична и лесна до ужас - напишете формулатанти член в общ изглед! Точно в тетрадката до условието. И тогава от условието разбираме какво ни е дадено и кое не е достатъчно. И ние изразяваме желаната стойност от формулата. Всичко!

Например такъв безобиден проблем.

Петият член на геометрична прогресия със знаменател 3 е 567. Намерете първия член на тази прогресия.

Нищо сложно. Работим директно според заклинанието.

Пишем формулата на n-ия член!

b n = б 1 · q n -1

Какво ни е дадено? Първо се дава знаменателят на прогресията: q = 3.

Освен това ни е дадено пети член: б 5 = 567 .

Всичко? Не! Дадено ни е и числото n! Това е петица: n = 5.

Надявам се, че вече разбирате какво има в записа б 5 = 567 два параметъра са скрити наведнъж - това е самият пети член (567) и неговият номер (5). В подобен урок вече говорих за това, но мисля, че не е излишно да напомня тук.)

Сега заместваме нашите данни във формулата:

567 = б 1 3 5-1

Разглеждаме аритметика, опростяваме и получаваме просто линейно уравнение:

81 б 1 = 567

Решаваме и получаваме:

б 1 = 7

Както виждате, няма проблеми с намирането на първия член. Но когато търсим знаменателя qи числа нможе да има изненади. И вие също трябва да сте подготвени за тях (изненади), да.)

Например такъв проблем:

Петият член на геометрична прогресия с положителен знаменател е 162, а първият член на тази прогресия е 2. Намерете знаменателя на прогресията.

Този път ни са дадени първият и петият член и ни се иска да намерим знаменателя на прогресията. Тук започваме.

Пишем формулатанти член!

b n = б 1 · q n -1

Нашите първоначални данни ще бъдат както следва:

б 5 = 162

б 1 = 2

н = 5

Не е достатъчно стойност q. Няма проблем! Нека го намерим сега.) Заместваме всичко, което знаем във формулата.

Получаваме:

162 = 2q 5-1

2 q 4 = 162

q 4 = 81

Просто уравнение от четвърта степен. Но сега - внимателно!На този етап от решението много ученици веднага с радост извличат корена (от четвърта степен) и получават отговора q=3 .

Като този:

q4 = 81

q = 3

Но като цяло това е недовършен отговор. Или по-скоро непълен. Защо? Въпросът е, че отговорът q = -3 също пасва: (-3) 4 също би било 81!

Това е така, защото уравнението на мощността x n = авинаги има два противоположни коренав дорин . Плюс и минус:

И двете пасват.

Например, решаване (т.е. второградуса)

х2 = 9

По някаква причина не сте изненадани да видите двекорени x=±3? И тук е същото. И с всяка друга дористепен (четвърта, шеста, десета и т.н.) ще бъде същата. Подробности - в темата за

Така че правилното решение би било:

q 4 = 81

q= ±3

Добре, разбрахме знаците. Кое е правилно - плюс или минус? Е, четем отново състоянието на проблема в търсене на Допълнителна информация.Тя, разбира се, може да не съществува, но в този проблем такава информация на разположение.В нашето състояние директно е посочено, че е дадена прогресия с положителен знаменател.

Така че отговорът е очевиден:

q = 3

Тук всичко е просто. Какво мислите, че би се случило, ако формулировката на проблема беше следната:

Петият член на геометричната прогресия е 162, а първият член на тази прогресия е 2. Намерете знаменателя на прогресията.

Каква е разликата? Да! В състоянието Нищобез споменаване на знаменателя. Нито пряко, нито косвено. И тук проблемът вече ще има две решения!

q = 3 и q = -3

Да да! И с плюс и минус.) Математически този факт би означавал, че има две прогресиикоито отговарят на задачата. И за всеки - свой знаменател. За забавление практикувайте и запишете първите пет термина от всеки.)

Сега нека тренираме намирането на членския номер. Това е най-трудното, да. Но и по-креативни.

Като се има предвид геометрична прогресия:

3; 6; 12; 24; …

Кое число е 768 в тази прогресия?

Първата стъпка е същата: напишете формулатанти член!

b n = б 1 · q n -1

И сега, както обикновено, ние заместваме познатите ни данни в него. Хм... не става! Къде е първият член, къде е знаменателят, къде е всичко останало?!

Къде, къде ... Защо имаме нужда от очи? Размахване на мигли? Този път прогресията ни се дава директно във формата последователности.Можем ли да видим първия мандат? Виждаме! Това е тройка (b 1 = 3). Какво ще кажете за знаменателя? Все още не го виждаме, но е много лесно да се преброи. Ако, разбира се, разбирате.

Тук разглеждаме. Директно според значението на геометричната прогресия: вземаме всеки от нейните членове (с изключение на първия) и разделяме на предишния.

Поне така:

q = 24/12 = 2

Какво още знаем? Познаваме и член на тази прогресия, равен на 768. Под някакво число n:

b n = 768

Не знаем номера му, но задачата ни е точно да го намерим.) Значи търсим. Вече сме изтеглили всички необходими данни за заместване във формулата. Неусетно.)

Тук заместваме:

768 = 3 2н -1

Правим елементарни - разделяме и двете части на три и пренаписваме уравнението в обичайния вид: неизвестното отляво, известното вдясно.

Получаваме:

2 н -1 = 256

Ето едно интересно уравнение. Трябва да намерим "n". Какво е необичайното? Да, не споря. Всъщност това е най-простото. Нарича се така, защото неизвестното (в случая това е числото н) стои вътре индикаторстепен.

На етапа на запознаване с геометрична прогресия (това е девети клас) експоненциални уравненияне те учат да решаваш, да... Това е темата на старшите класове. Но няма нищо страшно. Дори и да не знаете как се решават такива уравнения, нека се опитаме да намерим нашето нводени от проста логика и здрав разум.

Започваме да обсъждаме. Отляво имаме двойка до някъде. Все още не знаем каква точно е тази степен, но това не е страшно. Но от друга страна, ние твърдо знаем, че тази степен е равна на 256! Така че ние помним до каква степен двойката ни дава 256. Помните ли? Да! V осмиградуса!

256 = 2 8

Ако не сте си спомнили или с разпознаването на степените на проблема, тогава също е наред: просто издигаме последователно двете на квадрат, на куб, на четвърта степен, пета и т.н. Изборът, всъщност, но на това ниво е доста голям.

По един или друг начин ще получим:

2 н -1 = 2 8

н-1 = 8

н = 9

Значи 768 е деветочлен на нашата прогресия. Това е всичко, проблемът е решен.)

Отговор: 9

Какво? Скучно е? Уморихте се от елементарното? Съгласен съм. Аз също. Да преминем към следващото ниво.)

По-сложни задачи.

И сега решаваме пъзелите по-рязко. Не точно супер яко, но върху което трябва да поработите малко, за да стигнете до отговора.

Например, така.

Намерете втория член на геометрична прогресия, ако четвъртият му член е -24, а седмият член е 192.

Това е класика на жанра. Известни са някои два различни члена на прогресията, но трябва да се намери още един член. Освен това всички членове НЕ са съседи. Това, което обърква в началото, да...

Както и в , ние разглеждаме два метода за решаване на такива проблеми. Първият начин е универсален. алгебрични. Работи безупречно с всякакви изходни данни. Така че оттам ще започнем.)

Рисуваме всеки термин по формулата нти член!

Всичко е абсолютно същото като при аритметична прогресия. Само този път работим с другобща формула. Това е всичко.) Но същността е същата: ние вземаме и на свой редзаместваме нашите изходни данни във формулата на n-ия член. За всеки член - своя.

За четвъртия член пишем:

б 4 = б 1 · q 3

-24 = б 1 · q 3

Има. Едно уравнение е пълно.

За седмия член пишем:

б 7 = б 1 · q 6

192 = б 1 · q 6

Общо бяха получени две уравнения за същата прогресия .

Ние сглобяваме система от тях:

Въпреки страхотния си външен вид, системата е доста проста. Най-очевидният начин за решаване е обичайната замяна. Ние изразяваме б 1 от горното уравнение и го заменете с долното:

Малко бърникане с долното уравнение (намаляване на експонентите и делене на -24) дава:

q 3 = -8

Между другото, до същото уравнение може да се стигне по по-прост начин! Какво? Сега ще ви покажа още една тайна, но много красива, мощна и полезен начинрешения за такива системи. Такива системи, в чиито уравнения седят работи само.Поне в един. Наречен метод на деление на срокаедно уравнение към друго.

Така че имаме система:

И в двете уравнения вляво - работа, а вдясно е само число. Това е много добър знак.) Да вземем и ... разделим, да речем, долното уравнение на горното! Какво означава, разделя едно уравнение на друго?Много просто. Ние взимаме лява странаедно уравнение (по-ниско) и разделямена нея лява странадруго уравнение (горно). Дясната страна е подобна: правилната странаедно уравнение разделямена правилната странадруг.

Целият процес на разделяне изглежда така:

Сега, намалявайки всичко, което е намалено, получаваме:

q 3 = -8

Какво е хубавото на този метод? Да, защото в процеса на такова разделение всичко лошо и неудобно може безопасно да се намали и остава напълно безобидно уравнение! Ето защо е толкова важно да имате само умноженияв поне едно от уравненията на системата. Няма умножение - няма какво да се намали, да ...

Като цяло този метод (както много други нетривиални начини за решаване на системи) дори заслужава отделен урок. Определено ще го разгледам по-отблизо. Някой ден…

Въпреки това, без значение как решавате системата, във всеки случай, сега трябва да решим полученото уравнение:

q 3 = -8

Няма проблем: извличаме корена (кубичен) и - готово!

Моля, имайте предвид, че не е необходимо да поставяте плюс / минус тук при извличане. Имаме корен от нечетна (трета) степен. И отговорът е същият, да.

И така, знаменателят на прогресията е намерен. Минус две. Глоба! Процесът е в ход.)

За първия член (да речем от горното уравнение) получаваме:

Глоба! Знаем първия член, знаем знаменателя. И сега имаме възможността да намерим всеки член на прогресията. Включително втория.)

За втория член всичко е доста просто:

б 2 = б 1 · q= 3 (-2) = -6

Отговор: -6

И така, подредихме алгебричния начин за решаване на проблема. Трудно? Не много, съгласен съм. Дълго и скучно? Да, определено. Но понякога можете значително да намалите обема на работа. За това има графичен начин.Доброто старо и познато ни от .)

Да нарисуваме проблема!

Да! Точно. Отново изобразяваме нашата прогресия по оста на числата. Не е задължително от линийка, не е необходимо да се поддържат равни интервали между членовете (които, между другото, няма да са еднакви, защото прогресията е геометрична!), но просто схематичноначертайте нашата последователност.

получих го така:

Сега погледнете снимката и помислете. Колко равни фактора "q" делят четвъртии седмичленове? Точно така, три!

Следователно имаме пълното право да напишем:

-24q 3 = 192

От тук вече е лесно да се намери q:

q 3 = -8

q = -2

Това е страхотно, знаменателят вече е в нашия джоб. И сега отново гледаме картината: колко такива знаменатели седят между тях второи четвъртичленове? две! Следователно, за да запишем връзката между тези членове, ще вдигнем знаменателя на квадрат.

Тук пишем:

б 2 · q 2 = -24 , където б 2 = -24/ q 2

Заместваме нашия намерен знаменател в израза за b 2 , броим и получаваме:

Отговор: -6

Както можете да видите, всичко е много по-просто и по-бързо, отколкото чрез системата. Освен това тук дори не трябваше да броим първия мандат! Изобщо.)

Ето такъв прост и визуален начин-светлина. Но има и сериозен недостатък. Досетих се? Да! Това е добро само за много кратки части от прогресията. Тези, при които разстоянията между интересуващите ни членове не са много големи. Но във всички останали случаи вече е трудно да се направи картина, да... Тогава решаваме проблема аналитично, чрез система.) А системите са нещо универсално. Справете се с произволен номер.

Друг епичен:

Вторият член на геометричната прогресия е с 10 повече от първия, а третият член е с 30 повече от втория. Намерете знаменателя на прогресията.

Какво е готино? Въобще не! Все същото. Отново превеждаме условието на задачата в чиста алгебра.

1) Рисуваме всеки термин според формулата нти член!

Втори член: b 2 = b 1 q

Трети член: b 3 \u003d b 1 q 2

2) Записваме връзката между членовете от условието на задачата.

Четене на условието: "Вторият член на геометричната прогресия е с 10 повече от първия."Спри, това е ценно!

Така че пишем:

б 2 = б 1 +10

И ние превеждаме тази фраза в чиста математика:

б 3 = б 2 +30

Имаме две уравнения. Обединяваме ги в система:

Системата изглежда проста. Но има много различни индекси за букви. Нека заместим вместо втория и третия член на израза им чрез първия член и знаменателя! Напразно, или какво, ние ги рисувахме?

Получаваме:

Но такава система вече не е подарък, да ... Как да решим това? За съжаление, универсалното тайно заклинание за решаване е сложно нелинейниВ математиката няма и не може да има системи. Фантастично е! Но първото нещо, което трябва да ви хрумне, когато се опитвате да счупите такъв твърд орех, е да разберете и нито едно от уравненията на системата не се свежда до красива гледка, което позволява например лесно да се изрази една от променливите по отношение на другата?

Да гадаем. Първото уравнение на системата е очевидно по-просто от второто. Ще го измъчваме.) Защо не опитате от първото уравнение нещоизразявайте чрез нещо?Тъй като искаме да намерим знаменателя q, тогава би било най-изгодно за нас да изразим б 1 през q.

Така че нека се опитаме да направим тази процедура с първото уравнение, използвайки добрите стари:

b 1 q = b 1 +10

b 1 q - b 1 \u003d 10

b 1 (q-1) = 10

Всичко! Тук сме изразили ненужниизползваме променливата (b 1) до необходимо(q). Да, не най-простият израз, получен. Някаква дроб... Но нашата система е на прилично ниво, да.)

Типично. Какво да правим - знаем.

Пишем ОДЗ (задължително!) :

q ≠ 1

Умножаваме всичко по знаменателя (q-1) и намаляваме всички дроби:

10 q 2 = 10 q + 30(q-1)

Разделяме всичко на десет, отваряме скобите, събираме всичко вляво:

q 2 – 4 q + 3 = 0

Решаваме полученото и получаваме два корена:

q 1 = 1

q 2 = 3

Има само един окончателен отговор: q = 3 .

Отговор: 3

Както можете да видите, начинът за решаване на повечето проблеми за формулата на n-ия член на геометрична прогресия е винаги един и същ: ние четем внимателноусловие на задачата и използвайки формулата на n-ия член превеждаме цялото полезна информацияв чиста алгебра.

а именно:

1) Записваме отделно всеки член, даден в задачата, според формулатанти член.

2) От условието на задачата превеждаме връзката между членовете в математическа форма. Ние съставяме уравнение или система от уравнения.

3) Решаваме полученото уравнение или система от уравнения, намираме неизвестните параметри на прогресията.

4) В случай на двусмислен отговор, внимателно четем условието на проблема в търсене на допълнителна информация (ако има такава). Проверяваме получения отговор и с условията на ОДЗ (ако има такива).

И сега изброяваме основните проблеми, които най-често водят до грешки в процеса на решаване на задачи с геометрична прогресия.

1. Елементарна аритметика. Операции с дроби и отрицателни числа.

2. Ако поне една от тези три точки е проблем, тогава неминуемо ще сбъркате в тази тема. За съжаление... Така че не бъдете мързеливи и повторете казаното по-горе. И следвайте връзките - отидете. Понякога помага.)

Модифицирани и повтарящи се формули.

А сега нека разгледаме няколко типични изпитни задачи с по-малко познато представяне на състоянието. Да, да, познахте! Това модифицирании повтарящи сеформули на n-ия член. Вече сме срещали такива формули и работихме в аритметична прогресия. Тук всичко е подобно. Същността е същата.

Например такъв проблем от OGE:

Геометричната прогресия се дава от формулата b n = 3 2 н . Намерете сбора на първия и четвъртия член.

Този път прогресията ни се дава не съвсем както обикновено. Някаква формула. И какво тогава? Тази формула е също формуланти член!Всички знаем, че формулата на n-ия член може да бъде написана както в общ вид, чрез букви, така и за специфична прогресия. С специфичнипърви член и знаменател.

В нашия случай всъщност ни е даден общ термин формула за геометрична прогресия със следните параметри:

б 1 = 6

q = 2

Да проверим?) Нека напишем формулата на n-ия член в общ вид и да го заместим б 1 и q. Получаваме:

b n = б 1 · q n -1

b n= 6 2н -1

Ние опростяваме, използвайки факторизация и свойства на мощността и получаваме:

b n= 6 2н -1 = 3 2 2н -1 = 3 2н -1+1 = 3 2н

Както виждате, всичко е справедливо. Но нашата цел с вас не е да демонстрираме извличането на конкретна формула. Това е така, едно лирично отклонение. Чисто за разбиране.) Целта ни е да решим задачата по формулата, която ни е дадена в условието. Хващате ли го?) Значи работим директно с модифицираната формула.

Броим първия мандат. Заместител н=1 в общата формула:

б 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

Като този. Между другото не съм много мързелив и за пореден път ще насоча вниманието ви към типичен гаф с изчисляването на първия мандат. НЕ гледайте формулата b n= 3 2н, веднага бързайте да пишете, че първият член е тройка! Това е голяма грешка, да...)

Продължаваме. Заместител н=4 и разгледайте четвъртия член:

б 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

И накрая, изчисляваме необходимата сума:

б 1 + б 4 = 6+48 = 54

Отговор: 54

Друг проблем.

Геометричната прогресия се дава от условията:

б 1 = -7;

b n +1 = 3 b n

Намерете четвъртия член на прогресията.

Тук прогресията се дава от повтарящата се формула. Ми добре.) Как да работите с тази формула - ние също знаем.

Тук действаме. Стъпка по стъпка.

1) броене на две последователничлен на прогресията.

Първият мандат вече ни е даден. Минус седем. Но следващият, втори член, може лесно да бъде изчислен с помощта на рекурсивната формула. Ако разбирате как работи, разбира се.)

Тук разглеждаме втория член според известния първи:

б 2 = 3 б 1 = 3 (-7) = -21

2) Разглеждаме знаменателя на прогресията

Също така няма проблем. Направо, споделете второпишка на първо.

Получаваме:

q = -21/(-7) = 3

3) Напишете формулатания член в обичайната форма и помислете за желания член.

И така, знаем първия член, знаменателят също. Тук пишем:

b n= -7 3н -1

б 4 = -7 3 3 = -7 27 = -189

Отговор: -189

Както можете да видите, работата с такива формули за геометрична прогресия по същество не се различава от тази за аритметична прогресия. Важно е само да се разбере общата същност и смисъл на тези формули. Е, значението на геометричната прогресия също трябва да се разбере, да.) И тогава няма да има глупави грешки.

Е, нека да решим сами?)

Съвсем елементарни задачи, за загряване:

1. Дадена е геометрична прогресия, в която б 1 = 243 и q = -2/3. Намерете шестия член на прогресията.

2. Общият член на геометрична прогресия се дава от формулата b n = 5∙2 н +1 . Намерете номера на последния трицифрен член на тази прогресия.

3. Геометричната прогресия се дава от условията:

б 1 = -3;

b n +1 = 6 b n

Намерете петия член на прогресията.

Малко по-сложно:

4. Като се има предвид геометрична прогресия:

б 1 =2048; q =-0,5

Кой е шестият отрицателен член от него?

Какво изглежда супер трудно? Въобще не. Логиката и разбирането на значението на геометричната прогресия ще спаси. Е, формулата на n-ия член, разбира се.

5. Третият член на геометричната прогресия е -14, а осмият член е 112. Намерете знаменателя на прогресията.

6. Сборът на първия и втория член на геометрична прогресия е 75, а сборът на втория и третия член е 150. Намерете шестия член на прогресията.

Отговори (в безпорядък): 6; -3888; -един; 800; -32; 448.

Това е почти всичко. Остава само да се научим да броим сумата от първите n члена на геометрична прогресияда открийте безкрайно намаляваща геометрична прогресияи нейното количество. Много интересно и необичайно нещо, между другото! Повече за това в следващите уроци.)

Това число се нарича знаменател на геометрична прогресия, тоест всеки член се различава от предишния с q пъти. (Ще приемем, че q ≠ 1, иначе всичко е твърде тривиално). Лесно е да се види, че общата формула на n-ия член на геометричната прогресия е b n = b 1 q n – 1 ; членовете с числа b n и b m се различават с q n – m пъти.

Още в древен Египет те знаеха не само аритметиката, но и геометричната прогресия. Ето, например, задача от папирус на Ринд: „Седем лица имат седем котки; всяка котка изяжда седем мишки, всяка мишка яде седем класа царевица, всяка класа може да отгледа седем мерки ечемик. Колко големи са числата в тази серия и тяхната сума?

Ориз. 1. Древноегипетска задача за геометрична прогресия

Тази задача се повтаряше много пъти с различни вариации сред другите народи в друго време. Например, в написани през XIII век. В „Книгата на сметалата“ от Леонардо от Пиза (Фибоначи) има проблем, в който се появяват 7 стари жени на път за Рим (очевидно поклонници), всяка от които има 7 мулета, всяко от които има 7 торби, всяка от които съдържа 7 хляба, всеки от които има 7 ножа, всеки от които е в 7 ножа. Проблемът пита колко артикула има.

Сборът от първите n члена на геометричната прогресия S n = b 1 (q n - 1) / (q - 1) . Тази формула може да се докаже, например, както следва: S n \u003d b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n - 1.

Нека добавим числото b 1 q n към S n и получим:

S n + b 1 qn = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 qn – 1 + b 1 qn = b 1 + (b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 qn –1) q = b 1 + S nq .

Следователно S n (q - 1) = b 1 (q n - 1) и получаваме необходимата формула.

Вече върху една от глинените плочки на Древен Вавилон, датираща от VI век. пр.н.е д., съдържа сумата 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1. Вярно е, както в редица други случаи, ние не знаем къде този факт е бил известен на вавилонците .

Бързият растеж на геометричната прогресия в редица култури, по-специално в Индия, многократно се използва като ясен символ на необятността на Вселената. В добре познатата легенда за появата на шаха владетелят дава на техния изобретател възможност сам да избере награда и той иска такъв брой житни зърна, който ще се получи, ако се постави в първата клетка на шахматна дъска, две на втората, четири на третата, осем на четвъртата и т.н., всеки път, когато числото се удвоява. Владиката помисли, че най-много са няколко чувала, но се обърка. Лесно е да се види, че за всичките 64 квадрата на шахматната дъска изобретателят е трябвало да получи (2 64 - 1) зърно, което се изразява като 20-цифрено число; дори и цялата повърхност на Земята да бъде засята, ще са необходими поне 8 години, за да се събере необходимия брой зърна. Тази легенда понякога се тълкува като препратка към почти неограничените възможности, скрити в играта на шах.

Лесно се забелязва фактът, че това число наистина е 20-цифрено:

2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 1024 6 ≈ 16 1000 6 = 1,6 10 19 (по-точно изчисление дава 1,84 10 19). Но се чудя дали можете да разберете с коя цифра завършва това число?

Геометричната прогресия се увеличава, ако знаменателят е по-голям от 1 по абсолютна стойност, или намалява, ако е по-малък от единица. В последния случай числото q n може да стане произволно малко за достатъчно голямо n. Докато нарастващата експоненца се увеличава неочаквано бързо, намаляващата експоненца намалява също толкова бързо.

Колкото по-голямо е n, толкова по-слабо числото qn се различава от нула и толкова по-близо е сумата от n члена на геометричната прогресия S n \u003d b 1 (1 - qn) / (1 - q) до числото S \u003d b 1 / (1 - q) . (Така разсъждава, например, Ф. Виет). Числото S се нарича сбор от безкрайно намаляваща геометрична прогресия. Въпреки това, в продължение на много векове въпросът какво е значението на сумирането на ВСЯКАТА геометрична прогресия, с нейния безкраен брой термини, не е бил достатъчно ясен за математиците.

Намаляваща геометрична прогресия може да се види например в апориите на Зенон „Хапене“ и „Ахил и костенурката“. В първия случай ясно е показано, че целият път (приемем дължина 1) е сбор от безкраен брой отсечки 1/2, 1/4, 1/8 и т.н. Това, разбира се, е така от гледната точка на идеите за безкрайната геометрична прогресия с крайна сума. И все пак - как може да бъде това?

Ориз. 2. Прогресия с коефициент 1/2

В апорията за Ахил ситуацията е малко по-сложна, защото тук знаменателят на прогресията не е равен на 1/2, а на някакво друго число. Нека например Ахил бяга със скорост v, костенурката се движи със скорост u и първоначалното разстояние между тях е l. Ахил ще измине това разстояние за времето l/v, костенурката ще се премести на разстояние lu/v през това време. Когато Ахил премине през този сегмент, разстоянието между него и костенурката ще стане равно на l (u / v) 2 и т.н. Оказва се, че настигането на костенурката означава намиране на сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия с първата член l и знаменател u / v. Тази сума - отсечката, която Ахил в крайна сметка ще избяга до мястото на срещата с костенурката - е равна на l / (1 - u / v) = lv / (v - u) . Но, отново, как трябва да се тълкува този резултат и защо изобщо има смисъл, дълго време не беше много ясно.

Ориз. 3. Геометрична прогресия с коефициент 2/3

Сборът от геометрична прогресия е използван от Архимед при определяне на площта на сегмент от парабола. Нека даденият сегмент от параболата е ограничен от хордата AB и нека допирателната в точката D на параболата е успоредна на AB . Нека C е средата на AB, E - средата на AC, F - средата на CB. Начертайте линии, успоредни на DC през точки A, E, F, B; нека допирателната, начертана в точка D , тези прави се пресичат в точки K , L , M , N . Нека също така начертаем сегменти AD и DB. Нека правата EL пресича правата AD в точка G, а параболата в точката H; правата FM пресича правата DB в точка Q, а параболата в точка R. Според общата теория на коничните сечения, DC е диаметърът на парабола (тоест сегмент, успореден на нейната ос); то и допирателната в точка D могат да служат като координатни оси x и y, в които уравнението на параболата се записва като y 2 = 2px (x е разстоянието от D до всяка точка от даден диаметър, y е дължината на a сегмент, успореден на дадена допирателна от тази точка на диаметър до някаква точка на самата парабола).

По силата на уравнението на параболата DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH , DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA , и тъй като DK = 2DL , тогава KA = 4LH . Тъй като KA = 2LG, LH = HG. Площта на сегмента ADB на параболата е равна на площта на триъгълника ΔADB и площите на отсечките AHD и DRB, взети заедно. От своя страна, площта на сегмента AHD е аналогично равна на площта на триъгълника AHD и останалите сегменти AH и HD, с всеки от които може да се извърши същата операция - разделяне на триъгълник (Δ) и двата оставащи сегмента () и т.н.:

Площта на триъгълника ΔAHD е равна на половината от площта на триъгълника ΔALD (те имат обща основа AD, а височините се различават 2 пъти), което от своя страна е равно на половината от площта на ​триъгълника ΔAKD и следователно половината от площта на триъгълника ΔACD. По този начин площта на триъгълника ΔAHD е равна на една четвърт от площта на триъгълника ΔACD. По същия начин площта на триъгълника ΔDRB е равна на една четвърт от площта на триъгълника ΔDFB. И така, площите на триъгълници ∆AHD и ∆DRB, взети заедно, са равни на една четвърт от площта на триъгълник ∆ADB. Повтарянето на тази операция, приложено към сегментите AH , HD , DR и RB също ще избере триъгълници от тях, чиято площ, взета заедно, ще бъде 4 пъти по-малка от площта на триъгълниците ΔAHD и ΔDRB, взети заедно и следователно 16 пъти по-малко от площта на триъгълника ΔADB . и т.н.:

Така Архимед доказа, че „всеки сегмент, затворен между права линия и парабола, е четири трети от триъгълник със същата основа и еднаква височина с него“.

Математиката е каквохората контролират природата и себе си.

Съветският математик, академик A.N. Колмогоров

Геометрична прогресия.

Наред със задачите за аритметични прогресии, задачи, свързани с понятието геометрична прогресия, са често срещани и във входните тестове по математика. За успешно решаване на такива задачи е необходимо да познавате свойствата на геометричната прогресия и да имате добри умения за използването им.

Тази статия е посветена на представянето на основните свойства на геометричната прогресия. Той също така предоставя примери за решаване на типични проблеми, заимствани от задачите на входните тестове по математика.

Нека предварително да отбележим основните свойства на геометричната прогресия и да си припомним най-важните формули и твърдения, свързани с това понятие.

Определение.Числова последователност се нарича геометрична прогресия, ако всяко нейно число, започвайки от второто, е равно на предишното, умножено по същото число. Числото се нарича знаменател на геометрична прогресия.

За геометрична прогресияформулите са валидни

, (1)

където . Формула (1) се нарича формула на общия член на геометрична прогресия, а формула (2) е основното свойство на геометричната прогресия: всеки член на прогресията съвпада със средното геометрично на съседните му членове и .

Забележка, че именно поради това свойство въпросната прогресия се нарича "геометрична".

Формулите (1) и (2) по-горе са обобщени, както следва:

, (3)

За изчисляване на суматапърво членове на геометрична прогресиясе прилага формулата

Ако посочим

където . Тъй като , формула (6) е обобщение на формула (5).

В случай, когато и геометрична прогресияе безкрайно намаляваща. За изчисляване на суматаот всички членове на безкрайно намаляваща геометрична прогресия се използва формулата

. (7)

Например , използвайки формула (7), може да се покаже, Какво

където . Тези равенства се получават от формула (7), при условие че , (първото равенство) и , (второто равенство).

Теорема.Ако, тогава

Доказателство. Ако , тогава ,

Теоремата е доказана.

Нека да преминем към разглеждане на примери за решаване на задачи по темата "Геометрична прогресия".

Пример 1Като се има предвид: , и . Намирам .

Решение.Ако се приложи формула (5), тогава

Отговор: .

Пример 2Нека и . Намирам .

Решение.Тъй като и , ние използваме формули (5), (6) и получаваме системата от уравнения

Ако второто уравнение на системата (9) се раздели на първото, след това или . От това следва . Нека разгледаме два случая.

1. Ако , тогава от първото уравнение на системата (9) имаме.

2. Ако , тогава .

Пример 3Нека , и . Намирам .

Решение.От формула (2) следва, че или . Тъй като , тогава или .

По условие. Въпреки това, следователно. Защото и , тогава тук имаме система от уравнения

Ако второто уравнение на системата е разделено на първото, тогава или .

Тъй като , уравнението има един подходящ корен . В този случай първото уравнение на системата предполага .

Като се вземе предвид формула (7), получаваме.

Отговор: .

Пример 4Дадено: и . Намирам .

Решение.От тогава .

Защото , тогава или

Съгласно формула (2) имаме . В тази връзка от равенството (10) получаваме или .

Въпреки това, по условие, следователно.

Пример 5Известно е, че . Намирам .

Решение. Според теоремата имаме две равенства

Тъй като , тогава или . Защото тогава.

Отговор: .

Пример 6Дадено: и . Намирам .

Решение.Като се вземе предвид формула (5), получаваме

От тогава . Тъй като , и , тогава .

Пример 7Нека и . Намирам .

Решение.Съгласно формула (1) можем да запишем

Следователно имаме или . Известно е, че и , следователно и .

Отговор: .

Пример 8Намерете знаменателя на безкрайно намаляваща геометрична прогресия, ако

и .

Решение. От формула (7) следваи . Оттук и от условието на задачата получаваме системата от уравнения

Ако първото уравнение на системата е на квадрат, и след това разделете полученото уравнение на второто уравнение, тогава получаваме

Или .

Отговор: .

Пример 9Намерете всички стойности, за които последователността , , е геометрична прогресия.

Решение.Нека , и . Съгласно формула (2), която определя основното свойство на геометрична прогресия, можем да напишем или .

От тук получаваме квадратното уравнение, чиито корени саи .

Нека проверим: ако, след това и ; ако , тогава , и .

В първия случай имамеи , а във втория - и .

Отговор: , .

Пример 10реши уравнението

, (11)

къде и .

Решение. Лявата страна на уравнение (11) е сумата от безкрайна намаляваща геометрична прогресия, в която и , при условие: и .

От формула (7) следва, Какво . В тази връзка уравнението (11) приема форматаили . подходящ корен квадратното уравнение е

Отговор: .

Пример 11.П поредица от положителни числаобразува аритметична прогресия, а - геометрична прогресия, какво общо има . Намирам .

Решение.Защото аритметична последователност, тогава (основното свойство на аритметичната прогресия). Дотолкова доколкото, след това или . Това предполага , че геометричната прогресия е. Според формула (2), тогава пишем това.

Тъй като и , тогава . В този случай изразътприема формата или . По условие, така от уравнениетополучаваме единственото решение на разглеждания проблем, т.е. .

Отговор: .

Пример 12.Изчислете сумата

. (12)

Решение. Умножете двете страни на равенството (12) по 5 и получете

Ако извадим (12) от получения израз, тогава

или .

За да изчислим, заместваме стойностите във формула (7) и получаваме . От тогава .

Отговор: .

Примерите за решаване на проблеми, дадени тук, ще бъдат полезни на кандидатите при подготовка за приемни изпити. За по-задълбочено изследване на методите за решаване на проблеми, свързани с геометрична прогресия, може да се използва учебни ръководстваот списъка на препоръчителната литература.

1. Сборник със задачи по математика за кандидати в технически университети / Изд. М.И. Scanavi. – М.: Мир и образование, 2013. – 608 с.

2. Супрун В.П. Математика за гимназисти: допълнителни раздели от училищната програма. – М.: Ленанд / URSS, 2014. - 216 с.

3. Медински М.М. Пълен курс по елементарна математика в задачи и упражнения. Книга 2: Числови поредици и прогресии. – М.: Едитус, 2015. - 208 с.

Имате ли някакви въпроси?

За да получите помощта на преподавател - регистрирайте се.

сайт, с пълно или частично копиране на материала е необходима връзка към източника.