график е. Функции. Основни типове, графики, методи на присвояване. Степенна функция с рационален или ирационален показател, чиято стойност е по-голяма от нула и по-малка от единица

Първо, опитайте се да намерите обхвата на функцията:

Справихте ли се? Нека сравним отговорите:

Добре? Много добре!

Сега нека се опитаме да намерим обхвата на функцията:

Намерено? Сравнете:

Съгласи ли се? Много добре!

Нека отново работим с графиките, само че сега е малко по-трудно - да намерим както домейна на функцията, така и обхвата на функцията.

Как да намерите както домейна, така и обхвата на функция (разширено)

Ето какво се случи:

С графиката мисля, че разбрахте. Сега нека се опитаме да намерим домейна на функцията в съответствие с формулите (ако не знаете как да направите това, прочетете раздела за):

Справихте ли се? Проверка отговори:

1. , тъй като коренният израз трябва да е по-голям или равен на нула.
2. , тъй като е невъзможно да се раздели на нула и радикалният израз не може да бъде отрицателен.
3. , тъй като, съответно, за всички.
4. защото не можеш да разделиш на нула.

Все пак имаме още един момент, който не е уреден...

Позволете ми да повторя определението и да се съсредоточа върху него:

Забелязано? Думата "само" е много, много важен елементнашата дефиниция. Ще се опитам да ви обясня на пръсти.

Да кажем, че имаме функция, дадена от права линия. . В, ние заместваме дадена стойноств нашето "правило" и получаваме това. Една стойност съответства на една стойност. Можем дори да направим таблица с различни стойности и да начертаем дадена функция, за да проверим това.

"Виж! - казвате, - "" се среща два пъти!" Така че може би параболата не е функция? Не, то е!

Фактът, че "" се среща два пъти, далеч не е причина да обвиняваме параболата в неяснота!

Факт е, че при изчисляване на получихме една игра. И при изчисляване с, получихме една игра. Така че така е, параболата е функция. Вижте графиката:

Схванах го? Ако не, ето ви пример от реалния живот, далеч от математиката!

Да кажем, че имаме група кандидати, които се срещнаха при подаване на документи, всеки от които каза къде живее в разговор:

Съгласете се, съвсем реално е няколко момчета да живеят в един и същи град, но е невъзможно един човек да живее в няколко града едновременно. Това е като че ли логично представяне на нашата "парабола" - Няколко различни x съответстват на едно и също y.

Сега нека измислим пример, при който зависимостта не е функция. Да кажем, че същите тези момчета разказаха за какви специалности са кандидатствали:

Тук имаме съвсем различна ситуация: един човек може лесно да кандидатства за една или няколко направления. Това е един елементкомплектите се поставят в кореспонденция множество елементикомплекти. респективно това не е функция.

Нека проверим знанията ви на практика.

Определете от снимките кое е функция и кое не:

Схванах го? И ето го отговори:

• Функцията е - B,E.
• Не е функция - A, B, D, D.

Питате защо? Да, ето защо:

Във всички фигури освен V)и д)има няколко за един!

Сигурен съм, че сега можете лесно да различите функция от нефункция, да кажете какво е аргумент и какво е зависима променлива, както и да определите обхвата на аргумента и обхвата на функцията. Нека да преминем към следващия раздел - как да дефинираме функция?

Начини за задаване на функция

Какво мислиш, че означават думите "задаване на функция"? Така е, значи да обясним на всички за каква функция говорим в случая. Освен това обяснявайте така, че всички да ви разбират правилно и графиките на функциите, начертани от хората според вашето обяснение, да са еднакви.

Как мога да направя това? Как да задам функция?Най-лесният начин, който вече е използван повече от веднъж в тази статия - използвайки формула.Пишем формула и като заменим стойност в нея, изчисляваме стойността. И както си спомняте, формулата е закон, правило, според което на нас и на друг човек става ясно как X се превръща в Y.

Обикновено те правят точно това - в задачите виждаме готови функции, дефинирани от формули, но има и други начини за задаване на функция, за която всички забравят, и следователно въпросът „как иначе можете да зададете функция?“ обърква. Нека да разгледаме всичко по ред и да започнем с аналитичния метод.

Аналитичен начин за дефиниране на функция

Аналитичният метод е задача на функция, използваща формула. Това е най-универсалният и изчерпателен и недвусмислен начин. Ако имате формула, тогава знаете абсолютно всичко за функцията - можете да направите таблица със стойности ​​на нея, можете да изградите графика, да определите къде функцията се увеличава и къде намалява, като цяло, проучете я изцяло.

Нека разгледаме функция. Какво значение има?

"Какво означава?" - ти питаш. сега ще обясня.

Нека ви напомня, че в нотацията изразът в скоби се нарича аргумент. И този аргумент може да бъде всякакъв израз, не непременно прост. Съответно, какъвто и да е аргументът (израз в скоби), вместо това ще го запишем в израза.

В нашия пример това ще изглежда така:

Помислете за друга задача, свързана с аналитичния метод за определяне на функция, която ще имате на изпита.

Намерете стойността на израза, at.

Сигурен съм, че в началото сте се уплашили, когато сте видели подобно изражение, но в него няма абсолютно нищо страшно!

Всичко е същото като в предишния пример: какъвто и да е аргументът (израз в скоби), вместо това ще го запишем в израза. Например за функция.

Какво трябва да се направи в нашия пример? Вместо това трябва да напишете и вместо -:

съкратете получения израз:

Това е всичко!

Самостоятелна работа

Сега се опитайте сами да намерите значението на следните изрази:

1. , ако
2. , ако

Справихте ли се? Нека сравним нашите отговори: Свикнали сме с факта, че функцията има формата

Дори в нашите примери ние дефинираме функцията по този начин, но аналитично е възможно функцията да се дефинира имплицитно, например.

Опитайте сами да изградите тази функция.

Справихте ли се?

Ето как го изградих.

С какво уравнение стигнахме?

Точно така! Линеен, което означава, че графиката ще бъде права линия. Нека направим таблица, за да определим кои точки принадлежат на нашата линия:

Точно за това говорихме... Едно отговаря на няколко.

Нека се опитаме да нарисуваме случилото се:

Функция ли е това, което имаме?

Точно така, не! Защо? Опитайте се да отговорите на този въпрос със снимка. Какво получи?

„Защото една стойност съответства на няколко стойности!“

Какъв извод можем да направим от това?

Точно така, функцията не винаги може да бъде изразена изрично и това, което е "маскирано" като функция, не винаги е функция!

Табличен начин за дефиниране на функция

Както подсказва името, този метод е проста плоча. Да да. Като този, който вече направихме. Например:

Тук веднага забелязахте модел - Y е три пъти по-голям от X. И сега задачата „Мисли много добре“: мислите ли, че дадена функция под формата на таблица е еквивалентна на функция?

Да не говорим дълго, а да рисуваме!

Така. Начертаваме функция, дадена по двата начина:

Виждате ли разликата? Не става дума за отбелязаните точки! Погледни отблизо:

Видяхте ли го сега? Когато задаваме функцията в табличен начин, ние отразяваме на графиката само онези точки, които имаме в таблицата и линията (както в нашия случай) минава само през тях. Когато дефинираме функция по аналитичен начин, можем да вземем всякакви точки и нашата функция не е ограничена до тях. Ето такава характеристика. Помня!

Графичен начин за изграждане на функция

Графичният начин за конструиране на функция е не по-малко удобен. Начертаваме нашата функция и друг заинтересован човек може да намери на какво е равно y при определено x и т.н. Графичните и аналитичните методи са сред най-разпространените.

Тук обаче трябва да си спомните за какво говорихме в самото начало - не всяка начертана в координатната система „свивка“ е функция! Запомни ли си? За всеки случай ще копирам тук дефиницията на това какво е функция:

Като правило хората обикновено назовават точно тези три начина за определяне на функция, които сме анализирали - аналитичен (с помощта на формула), табличен и графичен, като напълно забравят, че една функция може да бъде описана устно. Като този? Да, много лесно!

Словесно описание на функцията

Как да опишем функцията устно? Да вземем нашия скорошен пример - . Тази функция може да бъде описана като „всяка реална стойност на x съответства на нейната тройна стойност“. Това е всичко. Нищо сложно. Разбира се, ще възразите - „има толкова сложни функции, че е просто невъзможно да се зададат устно!“ Да, има някои, но има функции, които е по-лесно да се опишат устно, отколкото да се задават с формула. Например: "всяка естествена стойност на х съответства на разликата между цифрите, от които се състои, докато най-голямата цифра, съдържаща се в записа на числото, се приема като минус." Сега помислете как нашите устно описаниефункции се изпълняват на практика:

Най-голямата цифра в дадено число - съответно - се намалява, тогава:

Основни видове функции

Сега да преминем към най-интересното - ще разгледаме основните типове функции, с които сте работили / работите и ще работите в хода на училищната и институтската математика, тоест ще ги опознаем, така да се каже, и дай им Кратко описание. Прочетете повече за всяка функция в съответния раздел.

Линейна функция

Функция на формата, където са реални числа.

Графиката на тази функция е права линия, така че изграждането на линейна функция се свежда до намиране на координатите на две точки.

Положението на правата линия в координатната равнина зависи от наклона.

Обхват на функцията (известен още като диапазон на аргументи) - .

Диапазонът от стойности е.

квадратична функция

Функция на формата, където

Графиката на функцията е парабола, когато клоните на параболата са насочени надолу, когато - нагоре.

Много свойства на квадратична функция зависят от стойността на дискриминанта. Дискриминантът се изчислява по формулата

Положението на параболата в координатната равнина спрямо стойността и коефициента е показано на фигурата:

домейн

Обхватът на стойностите зависи от екстремума на дадената функция (върхът на параболата) и коефициента (посоката на клоните на параболата)

Обратна пропорционалност

Функцията, дадена от формулата, където

Числото се нарича коефициент на обратна пропорционалност. В зависимост от това каква стойност клоните на хиперболата са в различни квадрати:

Домейн - .

Диапазонът от стойности е.

ОБОБЩЕНИЕ И ОСНОВНА ФОРМУЛА

1. Функцията е правило, според което на всеки елемент от множество се приписва уникален елемент от множеството.

• - това е формула, обозначаваща функция, тоест зависимостта на една променлива от друга;
• - променлива или аргумент;
• - зависима стойност - променя се при промяна на аргумента, тоест според някаква специфична формула, която отразява зависимостта на една стойност от друга.

2. Валидни стойности на аргумента, или обхватът на функция, е това, което е свързано с възможното, при което функцията има смисъл.

3. Обхват от стойности на функциите- това са стойностите, които приема, с валидни стойности.

4. Има 4 начина за настройка на функцията:

• аналитични (с помощта на формули);
• табличен;
• графичен
• устно описание.

5. Основни видове функции:

• : , където, са реални числа;
• : , където;
• : , където.

Учениците са изправени пред задачата да построят функционална графика в самото начало на изучаването на алгебра и продължават да ги изграждат от година на година. Като се започне от графиката на линейна функция, за чието изграждане трябва да знаете само две точки, до парабола, за която вече са ви необходими 6 точки, хипербола и синусоида. Всяка година функциите стават все по-сложни и вече не е възможно да се начертаят графиките им по шаблон, необходимо е да се провеждат по-сложни изследвания с помощта на производни и лимити.

Нека да разберем как да намерим графиката на функция? За да направите това, нека започнем с най-простите функции, чиито графики са изградени по точки, и след това разгледаме план за конструиране на по-сложни функции.

Начертаване на линейна функция

За изграждане на най-простите графики се използва таблица със стойности на функциите. Графиката на линейна функция е права линия. Нека се опитаме да намерим точките от графиката на функцията y=4x+5.

1. За да направите това, вземаме две произволни стойности на променливата x, заменяме ги една по една във функцията, намираме стойността на променливата y и поставяме всичко в таблицата.
2. Нека вземем стойността x=0 и я заместим във функцията вместо x - 0. Получаваме: y=4*0+5, тоест y=5 запишем тази стойност в таблицата под 0. По същия начин вземете x= 0 получаваме y=4*1+5 , y=9.
3. Сега, за да изградите функционална графика, трябва да начертаете тези точки в координатната равнина. След това трябва да нарисувате права линия.

Построяване на квадратична функция

Квадратната функция е функция от вида y=ax 2 +bx +c, където x е променлива, a,b,c са числа (a не е равно на 0). Например: y=x 2 , y=x 2 +5, y=(x-3) 2 , y=2x 2 +3x+5.

За изграждане на най-простата квадратична функция y=x 2 обикновено се вземат 5-7 точки. Да вземем стойностите за променливата x: -2, -1, 0, 1, 2 и да намерим стойностите на y по същия начин, както при изграждането на първата графика.

Графиката на квадратична функция се нарича парабола. След конструиране на функционални графики, учениците имат нови задачи, свързани с графиката.

Пример 1: намерете абсцисата на точката на графиката на функцията y=x 2, ако ординатата е 9. За да решите задачата, трябва да заместите нейната стойност 9 вместо y във функцията. Получаваме 9=x 2 и решаваме това уравнение . x=3 и x=-3. Това може да се види и на графиката на функцията.

Изследване на функция и изграждане на нейната графика

За да начертаете по-сложни функции, трябва да изпълните няколко стъпки, насочени към неговото изучаване. За това ви трябва:

1. Намерете обхвата на функцията. Обхватът е всички стойности, които x може да приеме. От областта на дефиницията трябва да се изключат онези точки, в които знаменателят става 0 или радикалният израз става отрицателен.
2. Задайте четна или нечетна функция. Припомнете си, че четната е функцията, която отговаря на условието f(-x)=f(x). Неговата графика е симетрична спрямо Oy. Функцията ще бъде нечетна, ако отговаря на условието f(-x)=-f(x). В този случай графиката е симетрична спрямо началото.
3. Намерете пресечни точки с координатни оси. За да се намери абсцисата на пресечната точка с оста x, е необходимо да се реши уравнението f(x)=0 (ординатата е 0). За да се намери ординатата на пресечната точка с оста Oy, е необходимо да се замести 0 във функцията вместо променливата x (абсцисата е 0).
4. Намерете асимптотите на функцията. Асимптота е линия, към която графиката се приближава за неопределено време, но никога не пресича. Нека да разберем как да намерим асимптотите на графиката на функция.
   • Вертикална асимптотна права линия от вида x=a
   • Хоризонтална асимптота - права линия с формата y \u003d a
   • Наклонена асимптота - права линия от вида y=kx+b
5. Намерете точките на екстремум на функцията, интервалите на нарастване и намаляване на функцията. Намерете точките на екстремум на функцията. За да направите това, трябва да намерите първата производна и да я приравните на 0. Именно в тези точки функцията може да се промени от нарастваща към намаляваща. Нека определим знака на производната на всеки интервал. Ако производната е положителна, тогава графиката на функцията се увеличава; ако е отрицателна, тя намалява.
6. Намерете точките на огъване на графиката на функцията, интервалите на изпъкналост нагоре и надолу.

Намирането на точки на огъване вече е по-лесно от всякога. Просто трябва да намерите втората производна и след това да я приравните на нула. След това намираме знака на втората производна на всеки интервал. Ако е положителна, тогава графиката на функцията е изпъкнала надолу, ако е отрицателна - нагоре.

знание основни елементарни функции, техните свойства и графикине по-малко важно от познаването на таблицата за умножение. Те са като основа, всичко се основава на тях, всичко е изградено от тях и всичко се свежда до тях.

В тази статия изброяваме всички основни елементарни функции, даваме техните графики и ги даваме без извеждане и доказателства. свойства на основните елементарни функциипо схемата:

• поведение на функцията на границите на областта на дефиниция, вертикални асимптоти (ако е необходимо, вижте класификацията на точките на прекъсване на функция);
• четно и нечетно;
• изпъкналост (изпъкналост нагоре) и вдлъбнатина (изпъкналост надолу) интервали, точки на огъване (ако е необходимо, вижте функцията артикул изпъкналост, посока на изпъкналост, точки на изпъкналост, условия на изпъкналост и флексия);
• наклонени и хоризонтални асимптоти;
• единични точки на функции;
• специални свойства на някои функции (например най-малкият положителен период за тригонометрични функции).

Ако се интересувате от или, тогава можете да отидете до тези раздели на теорията.

Основни елементарни функцииса: постоянна функция (константа), корен от n-та степен, степенна функция, експоненциална, логаритмична функция, тригонометрични и обратни тригонометрични функции.

Навигация в страницата.

Постоянна функция.

Постоянна функция се дава на множеството от всички реални числа с формулата , където C е някакво реално число. Константната функция приписва на всяка реална стойност на независимата променлива x една и съща стойност на зависимата променлива y - стойността С. Постоянната функция се нарича още константа.

Графиката на константна функция е права линия, успоредна на оста x и минаваща през точка с координати (0,C). Например, нека покажем графики на константни функции y=5, y=-2 и , които на фигурата по-долу съответстват на черните, червените и сините линии, съответно.

Свойства на постоянна функция.

• Област на дефиниция: целият набор от реални числа.
• Постоянната функция е четна.
• Диапазон от стойности: набор, състоящ се от едно число C .
• Постоянната функция е ненарастваща и ненамаляваща (затова е постоянна).
• Няма смисъл да говорим за изпъкналостта и вдлъбнатината на константата.
• Няма асимптота.
• Функцията преминава през точката (0,C) на координатната равнина.

Корен от n-та степен.

Помислете за основната елементарна функция, която се дава от формулата , където n е естествено число, по-голямо от едно.

Коренът от n-та степен, n е четно число.

Нека започнем с n-тата коренна функция за четни стойности на коренния показател n.

Например, ние даваме картина с изображения на графики на функции и , те съответстват на черни, червени и сини линии.

Графиките на функциите на корена от четна степен имат подобна форма за други стойности на индикатора.

Свойства на корена от n-та степен за четно n .

Коренът от n-та степен, n е нечетно число.

Функцията корен от n-та степен с нечетен показател на корен n е дефинирана върху цялото множество реални числа. Например, ние представяме графики на функции и , черните, червените и сините криви отговарят на тях.

За други нечетни стойности на експонента на корена, графиките на функцията ще имат подобен вид.

Свойства на корена от n-та степен за нечетно n .

Функция за захранване.

Степента функция се дава с формула от вида .

Помислете за вида на графиките на степенна функция и свойствата на степенната функция в зависимост от стойността на степенната функция.

Нека започнем със степенна функция с целочислен показател a . В този случай формата на графиките на степенните функции и свойствата на функциите зависят от четния или нечетния показател, както и от неговия знак. Следователно първо разглеждаме степенните функции за нечетни положителни стойности на експонента a , след това за четни положителни, след това за нечетни отрицателни показатели и накрая, за четни отрицателни a .

Свойствата на степенните функции с дробни и ирационални показатели (както и вида на графиките на такива степенни функции) зависят от стойността на степента a. Ще ги разгледаме, първо, когато a е от нула до единица, второ, когато a е по-голямо от едно, трето, когато a е от минус едно до нула, и четвърто, когато a е по-малко от минус едно.

В заключение на този подраздел, за пълнота, ние описваме степенна функция с нулева степен.

Силова функция с нечетен положителен степен.

Да разгледаме степенна функция с нечетен положителен показател, тоест с a=1,3,5,… .

Фигурата по-долу показва графики на функциите на мощността - черна линия, - синя линия, - червена линия, - зелена линия. За a=1 имаме линейна функция y=x .

Свойства на степенна функция с нечетен положителен показател.

Силова функция с дори положителна степен.

Да разгледаме степенна функция с четен положителен показател, тоест за a=2,4,6,… .

Като пример, нека вземем графики на степенните функции - черна линия, - синя линия, - червена линия. За a=2 имаме квадратична функция, чиято графика е квадратна парабола.

Свойства на степенна функция с четен положителен показател.

Силова функция с нечетен отрицателен степен.

Погледнете графиките на експоненциалната функция за нечетни отрицателни стойности на експонента, тоест за \u003d -1, -3, -5, ....

Фигурата показва графики на експоненциални функции като примери - черна линия, - синя линия, - червена линия, - зелена линия. За a=-1 имаме обратна пропорционалност, чиято графика е хипербола.

Свойства на степенна функция с нечетен отрицателен показател.

Силова функция с четен отрицателен показател.

Нека да преминем към степенната функция при a=-2,-4,-6,….

Фигурата показва графики на функциите на мощността - черна линия, - синя линия, - червена линия.

Свойства на степенна функция с четен отрицателен показател.

Степенна функция с рационален или ирационален показател, чиято стойност е по-голяма от нула и по-малка от единица.

Забележка!Ако a е положителна дроб с нечетен знаменател, тогава някои автори считат интервала за домейн на степенната функция. В същото време е уговорено, че степента a е неприводима дроб. Сега авторите на много учебници по алгебра и началото на анализа НЕ ДЕФИНИРАТ степенните функции с експонента под формата на дроб с нечетен знаменател за отрицателни стойности на аргумента. Ние ще се придържаме точно към такъв възглед, тоест ще считаме областите на степенните функции с дробни положителни експоненти за множество. Насърчаваме учениците да разберат гледната точка на вашия учител по този тънък момент, за да избегнат разногласия.

Помислете за степенна функция с рационален или ирационален експонент a , и .

Представяме графики на степенните функции при a=11/12 (черна линия), a=5/7 (червена линия), (синя линия), a=2/5 (зелена линия).

Степенна функция с нецелочислен рационален или ирационален показател, по-голям от един.

Помислете за степенна функция с нецелочислен рационален или ирационален експонент a , и .

Нека представим графиките на степенните функции, дадени от формулите (съответно черни, червени, сини и зелени линии).

>

За други стойности на експонента a графиките на функцията ще имат подобен вид.

Свойства на функцията за мощност за .

Степенна функция с реален показател, който е по-голям от минус едно и по-малък от нула.

Забележка!Ако a е отрицателна дроб с нечетен знаменател, тогава някои автори разглеждат интервала . В същото време е уговорено, че степента a е неприводима дроб. Сега авторите на много учебници по алгебра и началото на анализа НЕ ДЕФИНИРАТ степенните функции с експонента под формата на дроб с нечетен знаменател за отрицателни стойности на аргумента. Ние ще се придържаме точно към такъв възглед, тоест ще считаме областите на степенните функции с дробни дробни отрицателни експоненти за множество, съответно. Насърчаваме учениците да разберат гледната точка на вашия учител по този тънък момент, за да избегнат разногласия.

Преминаваме към степенната функция , където .

За да имаме добра представа за вида на графиките на степенните функции за , даваме примери за графики на функции (черни, червени, сини и зелени криви, съответно).

Свойства на степенна функция с степен a , .

Степенна функция с нецелочислен реален експонент, който е по-малък от минус едно.

Нека дадем примери за графики на степенни функции за , те са изобразени съответно с черни, червени, сини и зелени линии.

Свойства на степенна функция с нецелочислена отрицателна степен, по-малка от минус една.

Когато a=0 и имаме функция - това е права линия, от която точката (0; 1) е изключена (изразът 0 0 е договорено да не придава никакво значение).

Експоненциална функция.

Една от основните елементарни функции е експоненциалната функция.

Графика на експоненциалната функция , където и взема различен видв зависимост от стойността на основата а. Нека го разберем.

Първо, разгледайте случая, когато основата на експоненциалната функция приема стойност от нула до единица, тоест.

Например, ние представяме графиките на експоненциалната функция за a = 1/2 - синята линия, a = 5/6 - червената линия. Графиките на експоненциалната функция имат подобен вид за други стойности на основата от интервала.

Свойства на експоненциална функция с основа по-малка от единица.

Обръщаме се към случая, когато основата на експоненциалната функция е по-голяма от единица, тоест.

Като илюстрация представяме графики на експоненциални функции - синята линия и - червената линия. За други стойности на основата, по-големи от една, графиките на експоненциалната функция ще имат подобен вид.

Свойства на експоненциална функция с основа по-голяма от единица.

Логаритмична функция.

Следващата основна елементарна функция е логаритмичната функция , където , . Логаритмичната функция се дефинира само за положителни стойности на аргумента, тоест за .

Графиката на логаритмичната функция придобива различен вид в зависимост от стойността на основата a.

Да започнем със случая, когато .

Например, ние представяме графиките на логаритмичната функция за a = 1/2 - синята линия, a = 5/6 - червената линия. За други стойности на основата, не повече от една, графиките на логаритмичната функция ще имат подобен вид.

Свойства на логаритмична функция с основа по-малка от единица.

Нека да преминем към случая, когато основата на логаритмичната функция е по-голяма от единица ().

Нека покажем графики на логаритмични функции - синя линия, - червена линия. За други стойности на основата, по-големи от една, графиките на логаритмичната функция ще имат подобен вид.

Свойства на логаритмична функция с основа по-голяма от единица.

Тригонометрични функции, техните свойства и графики.

Всички тригонометрични функции (синус, косинус, тангенс и котангенс) са основни елементарни функции. Сега ще разгледаме техните графики и ще изброим техните свойства.

Тригонометричните функции имат концепцията периодичност(повтаряне на стойности на функцията за различни стойности на аргумента, които се различават една от друга по стойността на периода , където T е периодът), следователно към списъка със свойствата на тригонометричните функции е добавен елемент "най-малкият положителен период". Също така, за всяка тригонометрична функция ще посочим стойностите на аргумента, при който съответната функция изчезва.

Сега нека се занимаваме с всички тригонометрични функции по ред.

Функцията синус y = sin(x) .

Нека начертаем графика на функцията синус, тя се нарича "синусоида".

Свойства на функцията синус y = sinx .

Косинус функция y = cos(x) .

Графиката на косинусовата функция (нарича се "косинус") изглежда така:

Свойства на косинус функция y = cosx.

Допирателна функция y = tg(x) .

Графиката на допирателната функция (тя се нарича "тангентоид") изглежда така:

Свойства на функцията допирателна y = tgx .

Котангентна функция y = ctg(x) .

Нека начертаем графика на котангенсната функция (тя се нарича "котангентоид"):

Свойства на котангенсната функция y = ctgx .

Обратни тригонометрични функции, техните свойства и графики.

Обратните тригонометрични функции (арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс) са основните елементарни функции. Често, поради префикса "дъга", обратните тригонометрични функции се наричат ​​дъгови функции. Сега ще разгледаме техните графики и ще изброим техните свойства.

Функция арксинус y = arcsin(x) .

Нека начертаем функцията арксинус:

Свойства на функцията арккотангенс y = arcctg(x) .

Библиография.

• Колмогоров A.N., Абрамов A.M., Дудницин Ю.П. Алгебра и началото на анализа: учеб. за 10-11 клетки. образователни институции.
• Вигодски М.Я. Наръчник по елементарна математика.
• Новоселов С.И. Алгебра и елементарни функции.
• Туманов S.I. Елементарна алгебра. Ръководство за самообразование.

Изградете функция

Предлагаме на вашето внимание услуга за изчертаване на функционални графики онлайн, всички права върху която принадлежат на компанията Десмос. Използвайте лявата колона, за да въведете функции. Можете да въведете ръчно или с помощта на виртуалната клавиатура в долната част на прозореца. За да увеличите прозореца на диаграмата, можете да скриете както лявата колона, така и виртуалната клавиатура.

Предимства на онлайн диаграмите

• Визуален дисплей на въведените функции
• Изграждане на много сложни графики
• Начертаване на имплицитно дефинирани графики (напр. елипса x^2/9+y^2/16=1)
• Възможността за запазване на диаграми и получаване на връзка към тях, която става достъпна за всички в Интернет
• Контрол на мащаба, цвят на линията
• Възможност за начертаване на графики по точки, използване на константи
• Изграждане на няколко графики на функции едновременно
• Начертаване в полярни координати (използвайте r и θ(\theta))

С нас е лесно да се изграждат графики с различна сложност онлайн. Строителството се извършва моментално. Услугата е търсена за намиране на пресечни точки на функции, за показване на графики за по-нататъшното им прехвърляне в документ на Word като илюстрации за решаване на проблеми, за анализиране на поведенческите характеристики на функционалните графики. Оптималният браузър за работа с диаграми на тази страница на сайта е Google Chrome. Когато използвате други браузъри, правилната работа не е гарантирана.