Kakšna je površina stranske površine okrnjene piramide. Okrnjena piramida

- To je polieder, ki ga tvorita osnova piramide in prerez, ki je vzporeden z njo. Lahko rečemo, da je okrnjena piramida piramida z odrezanim vrhom. Ta številka ima številne edinstvene lastnosti:

• Stranske ploskve piramide so trapezi;
• Stranska rebra pravilne prisekane piramide so enake dolžine in nagnjena k podstavku pod enakim kotom;
• Osnove so podobni poligoni;
• V pravilni okrnjeni piramidi so ploskve enake enakokrake trapeze, katerih površina je enaka. Prav tako so pod enim kotom nagnjeni k podstavku.

Formula za površino stranske površine okrnjene piramide je vsota površin njenih stranic:

Ker so stranice okrnjene piramide trapezi, boste morali za izračun parametrov uporabiti formulo trapezno območje. Za pravilno okrnjeno piramido je mogoče uporabiti drugo formulo za izračun površine. Ker so vse njegove stranice, ploskve in koti pri bazi enaki, je mogoče uporabiti obode osnove in apotema ter tudi izpeljati površino skozi kot pri bazi.

Če sta glede na pogoje v pravilni okrnjeni piramidi podani apotem (višina stranice) in dolžine stranic osnove, potem lahko površino izračunamo s polovičnim produktom vsote obodov osnove in apotem:

Oglejmo si primer izračuna stranske površine okrnjene piramide.
Glede na pravilno peterokotno piramido. Apothem l\u003d 5 cm, dolžina obraza v veliki podlagi je a\u003d 6 cm, obraz pa je na manjši podlagi b\u003d 4 cm. Izračunajte površino okrnjene piramide.

Najprej poiščimo obode baz. Ker imamo peterokotno piramido, razumemo, da so osnove peterokotniki. To pomeni, da so osnove figura s petimi enakimi stranicami. Poiščite obseg večje osnove:

Na enak način najdemo obod manjše osnove:

Zdaj lahko izračunamo površino pravilne okrnjene piramide. Podatke nadomestimo s formulo:

Tako smo izračunali površino pravilne okrnjene piramide skozi obode in apotemo.

Drug način za izračun bočne površine pravilna piramida, to je formula skozi vogale na dnu in območje teh samih podlag.

Poglejmo si primer izračuna. Ne pozabite, da ta formula velja samo za običajno okrnjeno piramido.

Naj je podana pravilna štirikotna piramida. Face spodnje osnove je a = 6 cm, ploskve zgornje b = 4 cm. Diedrski kot pri bazi je β = 60°. Poiščite stransko površino pravilne okrnjene piramide.

Najprej izračunajmo površino baz. Ker je piramida pravilna, so vse ploskve osnov med seboj enake. Glede na to, da je osnova štirikotnik, razumemo, da bo treba izračunati kvadratna površina. Je zmnožek širine in dolžine, vendar so te vrednosti na kvadrat enake. Poiščite površino večje osnove:


Zdaj uporabimo najdene vrednosti za izračun bočne površine.

Ob poznavanju nekaj preprostih formul smo zlahka izračunali površino bočnega trapeza okrnjene piramide z različnimi vrednostmi.

V tej lekciji bomo obravnavali okrnjeno piramido, se seznanili s pravilno okrnjeno piramido in preučili njihove lastnosti.

Spomnimo se koncepta n-kotne piramide na primeru trikotne piramide. Podan je trikotnik ABC. Zunaj ravnine trikotnika se vzame točka P, povezana z oglišči trikotnika. Nastala poliedrska površina se imenuje piramida (slika 1).

riž. 1. Trikotna piramida

Piramido prerežemo z ravnino, ki je vzporedna z ravnino osnove piramide. Lik, ki ga dobimo med tema ravninama, imenujemo okrnjena piramida (slika 2).

riž. 2. Okrnjena piramida

Bistveni elementi:

Zgornja osnova;

Spodnja osnova ABC;

Stranski obraz;

Če je PH višina prvotne piramide, potem je višina okrnjene piramide.

Lastnosti okrnjene piramide izhajajo iz načina njene konstrukcije, in sicer iz vzporednosti ravnin osnov:

Vse stranske ploskve okrnjene piramide so trapezi. Upoštevajte na primer obraz. Ima lastnost vzporednih ravnin (ker sta ravnini vzporedni, sekajo stransko ploskev prvotne ABP piramide vzdolž vzporednih premic), hkrati pa niso vzporedne. Očitno je štirikotnik trapez, tako kot vse stranske strani okrnjene piramide.

Razmerje baz je enako za vse trapeze:

Imamo več parov podobnih trikotnikov z enakim koeficientom podobnosti. Na primer, trikotniki in RAB so podobna zaradi vzporednosti ravnin in koeficienta podobnosti:

Hkrati so trikotniki in RCS podobni s koeficientom podobnosti:

Očitno so koeficienti podobnosti za vse tri pare podobnih trikotnikov enaki, zato je razmerje baz enako za vse trapeze.

Pravilna okrnjena piramida je okrnjena piramida, ki jo dobimo z razrezom pravilne piramide z ravnino, vzporedno z osnovo (slika 3).

riž. 3. Pravilno okrnjeno piramido

Opredelitev.

Pravilna piramida se imenuje piramida, na dnu katere leži pravilen n-kotnik, oglišče pa je projicirano v središče tega n-kotnika (središče vpisanega in opisanega kroga).

V tem primeru kvadrat leži na dnu piramide, vrh pa je projiciran na točko presečišča njegovih diagonal. Nastala pravilna štirikotna okrnjena piramida ima ABCD - spodnjo osnovo, - zgornjo osnovo. Višina prvotne piramide - RO, okrnjena piramida - (slika 4).

riž. 4. Pravilna štirikotna prirezana piramida

Opredelitev.

Višina okrnjene piramide je pravokotnica, potegnjena iz katere koli točke ene osnove na ravnino druge osnove.

Apotem prvotne piramide je RM (M je sredina AB), apotem okrnjene piramide je (slika 4).

Opredelitev.

Apotem okrnjene piramide je višina katere koli stranske ploskve.

Jasno je, da so vsi stranski robovi okrnjene piramide enaki drug drugemu, to pomeni, da so stranske ploskve enaki enakokraki trapezi.

Površina stranske površine pravilne okrnjene piramide je enaka zmnožku polovice vsote obodov osnov in apotema.

Dokaz (za pravilno štirikotno okrnjeno piramido - slika 4):

Torej moramo dokazati:

Bočna površina bo tukaj sestavljena iz vsote površin stranskih ploskev - trapezov. Ker so trapezi enaki, imamo:

Površina enakokrakega trapeza je zmnožek polovice vsote osnov in višine, apotem je višina trapeza. Imamo:

Q.E.D.

Za n-kotno piramido:

Kjer je n število stranskih ploskov piramide, a in b sta bazi trapeza, je apotem.

Stranice osnove pravilne prirezane štirikotne piramide so enaki 3 cm in 9 cm, višina - 4 cm. Poiščite površino stranske površine.

riž. 5. Ilustracija za problem 1

Rešitev. Ponazorimo pogoj:

Glede na: , ,

Skozi točko O narišite premo črto MN, vzporedno z obema stranicama spodnje osnove, podobno narišite ravno črto skozi točko (slika 6). Ker so kvadrati in konstrukcije vzporedni na osnovah okrnjene piramide, dobimo trapez, enak stranskim ploskvam. Poleg tega bo njegova stranska stran potekala skozi sredino zgornjih in spodnjih reber stranskih ploskev in bo utelešenje okrnjene piramide.

riž. 6. Dodatne konstrukcije

Upoštevajte nastali trapez (slika 6). V tem trapezu so znane zgornja osnova, spodnja osnova in višina. Treba je najti stransko stran, ki je apotem dane okrnjene piramide. Nariši pravokotno na MN. Spustimo pravokotno NQ iz točke. Dobimo, da je večja osnova razdeljena na segmente po tri centimetre (). Razmislite o pravokotnem trikotniku, noge v njem so znane, to je egipčanski trikotnik, po Pitagorejevem izreku določimo dolžino hipotenuze: 5 cm.

Zdaj obstajajo vsi elementi za določanje površine stranske površine piramide:

Piramido prečka ravnina, ki je vzporedna z osnovo. Na primeru trikotne piramide dokaži, da sta stranska robova in višina piramide razdeljena s to ravnino na sorazmerne dele.

Dokaz. Naj ponazorimo:

riž. 7. Ilustracija za problem 2

Podana je piramida RABC. RO je višina piramide. Piramido razrežemo z ravnino, poleg tega dobimo okrnjeno piramido. Točka - točka presečišča višine RO z ravnino osnove okrnjene piramide. Treba je dokazati:

Ključ do rešitve je lastnost vzporednih ravnin. Dve vzporedni ravnini sekata katero koli tretjo ravnino, tako da sta presečnici vzporedni. Od tod: . Vzporednost ustreznih premic pomeni prisotnost štirih parov podobnih trikotnikov:

Iz podobnosti trikotnikov sledi sorazmernost ustreznih stranic. Pomembna značilnost je, da so koeficienti podobnosti za te trikotnike enaki:

Q.E.D.

Pravilno trikotno piramido RABC z višino in stranjo osnove secira ravnina, ki poteka skozi sredino višine PH vzporedno z osnovo ABC. Poiščite površino stranske površine nastale okrnjene piramide.

Rešitev. Naj ponazorimo:

riž. 8. Ilustracija za problem 3

DIA je pravilen trikotnik, H je središče tega trikotnika (središče vpisanega in opisanega kroga). RM je apotem dane piramide. - apotem okrnjene piramide. Glede na lastnost vzporednih ravnin (dve vzporedni ravnini sekata katero koli tretjo ravnino, tako da sta presečnici vzporedni) imamo več parov podobnih trikotnikov z enakim koeficientom podobnosti. Predvsem nas zanima razmerje:

Najdimo NM. To je polmer kroga, vpisanega v osnovo, poznamo ustrezno formulo:

Zdaj iz pravokotnega trikotnika РНМ po Pitagorovem izreku najdemo РМ - apotem prvotne piramide:

Od začetnega razmerja:

Zdaj poznamo vse elemente za iskanje stranske površine okrnjene piramide:

Tako smo se seznanili s pojmoma okrnjene piramide in pravilne okrnjene piramide, dali osnovne definicije, obravnavali lastnosti in dokazali izrek o stranski površini. Naslednja lekcija se bo osredotočila na reševanje problemov.

Bibliografija

1. I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. Geometrija. 10-11 razred: učbenik za študente izobraževalnih ustanov (osnovne in profilne ravni) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. izd., Rev. in dodatno - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 str.: ilustr.
2. Sharygin I. F. Geometrija. 10-11 razred: Učbenik za splošne izobraževalne ustanove / Sharygin I. F. - M .: Bustard, 1999. - 208 str.: ilustr.
3. E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. Geometrija. 10. razred: Učbenik za splošno izobraževalne ustanove s poglobljenim in profilnim študijem matematike / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. izd., stereotip. - M.: Droha, 2008. - 233 str.: ilustr.

1. Uztest.ru ().
2. Fmclass.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru().

Domača naloga

• 29.05.2016

  Oscilatorno vezje je električni tokokrog, ki vsebuje induktor, kondenzator in vir električne energije. Pri serijski povezavi elementov vezja se nihajno vezje imenuje serijsko, pri vzporednem - vzporedno. Oscilatorno vezje je najpreprostejši sistem, v katerem se lahko pojavijo prosta elektromagnetna nihanja. Resonančna frekvenca vezja je določena s tako imenovano Thomsonovo formulo: ƒ = 1/(2π√(LC)) Za …

• 20.09.2014

  Sprejemnik je zasnovan za sprejemanje signalov v območju LW (150 kHz ... 300 kHz). Glavna značilnost sprejemnika je antena, ki ima večjo induktivnost kot običajna magnetna antena. To vam omogoča, da uporabite kapacitivnost nastavitvenega kondenzatorja v območju 4 ... 20pF, pa tudi tak sprejemnik ima sprejemljivo občutljivost in majhen dobiček v RF poti. Sprejemnik za slušalke (slušalke) deluje, napaja ga ...

• 24.09.2014

  Ta naprava je zasnovana za nadzor nivoja tekočine v rezervoarjih takoj, ko tekočina naraste uveljavljena raven naprava bo začela dovajati neprekinjeno zvočni signal ko nivo tekočine doseže kritično raven, bo naprava začela oddajati prekinitveni signal. Indikator je sestavljen iz 2 generatorjev, ki jih krmili senzorski element E. Postavljen je v rezervoar na nivoju do ...

• 22.09.2014

  KR1016VI1 je digitalni večprogramski časovnik, zasnovan za delo z indikatorjem ILTs3-5\7. Omogoča štetje in prikaz trenutnega časa v urah in minutah, dneva v tednu in številke krmilnega kanala (9 budilk). Shema budilke je prikazana na sliki. Mikrovezje je taktno. resonator Q1 pri 32768 Hz. moč je negativna, skupni plus gre ...