Каква е площта на страничната повърхност на пресечена пирамида. Пресечена пирамида

- Това е полиедър, който се образува от основата на пирамидата и успоредно на нея сечение. Можем да кажем, че пресечена пирамида е пирамида с отрязан връх. Тази фигура има много уникални свойства:

• Страничните лица на пирамидата са трапецоиди;
• Страничните ребра на правилната пресечена пирамида са с еднаква дължина и са наклонени към основата под същия ъгъл;
• Основите са подобни многоъгълници;
• В правилна пресечена пирамида лицата са идентични равнобедрени трапеци, чиято площ е равна. Те също са наклонени към основата под един ъгъл.

Формулата за площта на страничната повърхност на пресечена пирамида е сумата от площите на нейните страни:

Тъй като страните на пресечена пирамида са трапецоиди, ще трябва да използвате формулата, за да изчислите параметрите трапецовидна област. За обикновена пресечена пирамида може да се приложи друга формула за изчисляване на площта. Тъй като всичките му страни, лица и ъгли в основата са равни, е възможно да се прилагат периметрите на основата и апотема, както и да се изведе площта чрез ъгъла в основата.

Ако според условията в правилна пресечена пирамида са дадени апотемата (височина на страната) и дължините на страните на основата, тогава площта може да се изчисли чрез полупроизведението на сумата от периметрите на основите и апотемата:

Нека да разгледаме пример за изчисляване на страничната повърхност на пресечена пирамида.
Дадена е правилна петоъгълна пирамида. апотема л\u003d 5 см, дължината на лицето в голямата основа е а\u003d 6 см, а лицето е в по-малката основа б\u003d 4 см. Изчислете площта на пресечената пирамида.

Първо, нека намерим периметрите на основите. Тъй като ни е дадена петоъгълна пирамида, разбираме, че основите са петоъгълници. Това означава, че основите са фигура с пет еднакви страни. Намерете периметъра на по-голямата основа:

По същия начин намираме периметъра на по-малката основа:

Сега можем да изчислим площта на обикновена пресечена пирамида. Заместваме данните във формулата:

Така изчислихме площта на правилна пресечена пирамида през периметрите и апотема.

Друг начин за изчисляване на страничната повърхност правилна пирамида, това е формулата през ъглите в основата и площта на самите тези основи.

Нека разгледаме примерно изчисление. Не забравяйте, че тази формула се прилага само за обикновена пресечена пирамида.

Нека е дадена правилна четириъгълна пирамида. Лицето на долната основа е a = 6 см, а лицето на горната b = 4 см. Двугранният ъгъл при основата е β = 60°. Намерете страничната повърхност на правилна пресечена пирамида.

Първо, нека изчислим площта на основите. Тъй като пирамидата е правилна, всички лица на основите са равни една на друга. Като се има предвид, че основата е четириъгълник, разбираме, че ще е необходимо да се изчисли квадратна площ. Това е произведението на ширината и дължината, но на квадрат, тези стойности са еднакви. Намерете площта на по-голямата основа:


Сега използваме намерените стойности, за да изчислим страничната повърхност.

Познавайки няколко прости формули, лесно изчислихме площта на страничния трапец на пресечена пирамида чрез различни стойности.

В този урок ще разгледаме пресечена пирамида, ще се запознаем с правилната пресечена пирамида и ще изучим техните свойства.

Нека си припомним концепцията за n-ъгълна пирамида, използвайки примера на триъгълна пирамида. Даден е триъгълник ABC. Извън равнината на триъгълника се взема точка P, свързана с върховете на триъгълника. Получената полиедрична повърхност се нарича пирамида (фиг. 1).

Ориз. 1. Триъгълна пирамида

Нека отрежем пирамидата с равнина, успоредна на равнината на основата на пирамидата. Фигурата, получена между тези равнини, се нарича пресечена пирамида (фиг. 2).

Ориз. 2. Пресечена пирамида

Основни елементи:

Горна основа;

Долна база ABC;

Странично лице;

Ако PH е височината на оригиналната пирамида, тогава е височината на пресечената пирамида.

Свойствата на пресечена пирамида следват от метода на нейното изграждане, а именно от паралелизма на равнините на основите:

Всички странични лица на пресечена пирамида са трапецоиди. Помислете например за лице. Той има свойството на успоредни равнини (тъй като равнините са успоредни, те режат страничната повърхност на оригиналната пирамида ABP по успоредни линии), в същото време те не са успоредни. Очевидно четириъгълникът е трапец, както всички странични лица на пресечена пирамида.

Съотношението на основите е еднакво за всички трапеци:

Имаме няколко двойки подобни триъгълници със същия коефициент на подобие. Например, триъгълниците и RAB са сходни поради паралелизма на равнините и , коефициента на подобие:

В същото време триъгълниците и RCS са подобни с коефициент на подобие:

Очевидно коефициентите на подобие и за трите двойки подобни триъгълници са равни, така че съотношението на основите е еднакво за всички трапеци.

Правилна пресечена пирамида е пресечена пирамида, получена чрез разрязване на правилна пирамида с равнина, успоредна на основата (фиг. 3).

Ориз. 3. Правилна пресечена пирамида

Определение.

Правилна пирамида се нарича пирамида, в основата на която лежи правилен n-ъгълник, а върхът е проектиран в центъра на този n-ъгъл (центърът на вписаната и описана окръжност).

В този случай квадратът лежи в основата на пирамидата, а върхът се проектира до точката на пресичане на неговите диагонали. Получената правилна четириъгълна пресечена пирамида има ABCD - долната основа, - горната основа. Височината на оригиналната пирамида - RO, пресечена пирамида - (фиг. 4).

Ориз. 4. Правилна четириъгълна пресечена пирамида

Определение.

Височината на пресечена пирамида е перпендикуляр, изтеглен от всяка точка на една основа към равнината на втората основа.

Апотемата на оригиналната пирамида е RM (M е средата на AB), апотемата на пресечената пирамида е (фиг. 4).

Определение.

Апотемата на пресечена пирамида е височината на всяка странична повърхност.

Ясно е, че всички странични ръбове на пресечена пирамида са равни една на друга, тоест страничните повърхности са равни равнобедрени трапеци.

Площта на страничната повърхност на правилна пресечена пирамида е равна на произведението на половината от сбора на периметрите на основите и апотема.

Доказателство (за правилна четириъгълна пресечена пирамида - фиг. 4):

И така, трябва да докажем:

Площта на страничната повърхност тук ще се състои от сбора от площите на страничните повърхности - трапеци. Тъй като трапецоидите са еднакви, имаме:

Площта на равнобедрен трапец е произведението на половината от сбора на основите и височината, апотемата е височината на трапеца. Ние имаме:

Q.E.D.

За n-ъгълна пирамида:

Където n е броят на страничните лица на пирамидата, a и b са основите на трапеца, е апотемът.

Страни на основата на правилна пресечена четириъгълна пирамида са равни на 3 см и 9 см, височина - 4 см. Намерете площта на страничната повърхност.

Ориз. 5. Илюстрация за проблем 1

Решение. Нека илюстрираме условието:

Като се има предвид: , ,

Начертайте права линия MN през точка O, успоредна на двете страни на долната основа, по същия начин начертайте права линия през точката (фиг. 6). Тъй като квадратите и конструкциите са успоредни в основите на пресечената пирамида, получаваме трапец, равен на страничните повърхности. Освен това страничната му страна ще преминава през средата на горния и долния ръб на страничните повърхности и ще бъде олицетворение на пресечена пирамида.

Ориз. 6. Допълнителни конструкции

Помислете за получения трапец (фиг. 6). В този трапец са известни горната основа, долната основа и височината. Необходимо е да се намери страничната страна, която е апотема на дадената пресечена пирамида. Начертайте перпендикулярно на MN. Нека пуснем перпендикуляра NQ от точката. Получаваме, че по-голямата основа е разделена на сегменти от три сантиметра (). Помислете за правоъгълен триъгълник, краката в него са известни, това е египетски триъгълник, по теоремата на Питагор определяме дължината на хипотенузата: 5 cm.

Сега има всички елементи за определяне на площта на страничната повърхност на пирамидата:

Пирамидата се пресича от равнина, успоредна на основата. Като използвате примера на триъгълна пирамида, докажете, че страничните ръбове и височината на пирамидата са разделени от тази равнина на пропорционални части.

Доказателство. Нека илюстрираме:

Ориз. 7. Илюстрация за проблем 2

Дадена е пирамидата RABC. RO е височината на пирамидата. Пирамидата се разчленява от равнина, освен това се получава пресечена пирамида. Точка - точката на пресичане на височината на RO с равнината на основата на пресечена пирамида. Необходимо е да се докаже:

Ключът към решението е свойството на успоредните равнини. Две успоредни равнини пресичат всяка трета равнина, така че пресечните линии да са успоредни. Оттук: . Паралелизмът на съответните линии предполага наличието на четири двойки подобни триъгълници:

От сходството на триъгълниците следва пропорционалността на съответните страни. Важна характеристика е, че коефициентите на подобие за тези триъгълници са еднакви:

Q.E.D.

Правилна триъгълна пирамида RABC с височина и страна на основата се разчленява от равнина, минаваща през средата на височината PH, успоредна на основата ABC. Намерете площта на страничната повърхност на получената пресечена пирамида.

Решение. Нека илюстрираме:

Ориз. 8. Илюстрация за проблем 3

DIA е правилен триъгълник, H е центърът на този триъгълник (центърът на вписаната и описаната окръжност). RM е апотема на дадената пирамида. - апотема на пресечена пирамида. Според свойството на успоредни равнини (две успоредни равнини режат всяка трета равнина, така че пресечните линии да са успоредни), имаме няколко двойки подобни триъгълници с еднакъв коефициент на подобие. По-специално, ние се интересуваме от връзката:

Да намерим NM. Това е радиусът на окръжност, вписана в основата, знаем съответната формула:

Сега, от правоъгълния триъгълник РНМ, според Питагоровата теорема, намираме РМ - апотема на оригиналната пирамида:

От първоначалното съотношение:

Сега знаем всички елементи за намиране на страничната повърхност на пресечена пирамида:

И така, ние се запознахме с понятията за пресечена пирамида и правилна пресечена пирамида, дадохме основни дефиниции, разгледахме свойствата и доказахме теоремата за площта на страничната повърхност. Следващият урок ще се фокусира върху решаването на проблеми.

Библиография

1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 клас: учебник за ученици от образователни институции (основни и профилни нива) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-то изд., преп. и допълнителни - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.
2. Шаригин И. Ф. Геометрия. 10-11 клас: Учебник за общообразователни институции / Шаригин И. Ф. - М .: Дропла, 1999. - 208 с.: ил.
3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 клас: Учебник за общообразователни институции със задълбочено и профилно изучаване на математика / Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. - 6-то изд., стереотип. - М.: Дропла, 2008. - 233 с.: ил.

1. Uztest.ru ().
2. Fmclass.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru().

Домашна работа

• 29.05.2016

  Осцилаторната верига е електрическа верига, съдържаща индуктор, кондензатор и източник на електрическа енергия. Когато елементите на веригата са свързани последователно, осцилаторната верига се нарича последователна, когато е паралелна - успоредна. Осцилаторната верига е най-простата система, в която могат да възникнат свободни електромагнитни трептения. Резонансната честота на веригата се определя от така наречената формула на Томсън: ƒ = 1/(2π√(LC)) За …

• 20.09.2014

  Приемникът е проектиран да приема сигнали в LW обхвата (150 kHz ... 300 kHz). Основната характеристика на приемника е антената, която има по-голяма индуктивност от конвенционалната магнитна антена. Това ви позволява да използвате капацитета на тримерния кондензатор в диапазона от 4 ... 20pF, както и такъв приемник има приемлива чувствителност и малко усилване в RF пътя. Приемникът за слушалки (слушалки) работи, захранва се от ...

• 24.09.2014

  Това устройство е предназначено да контролира нивото на течността в резервоарите веднага щом течността се повиши до установено нивоустройството ще започне да захранва непрекъснато звуков сигналкогато нивото на течността достигне критично ниво, устройството ще започне да дава прекъсващ сигнал. Индикаторът се състои от 2 генератора, те се управляват от сензорния елемент E. Поставя се в резервоара на ниво до ...

• 22.09.2014

  KR1016VI1 е цифров многопрограмен таймер, предназначен да работи с индикатор ILTs3-5\7. Осигурява отчитане и показване на текущото време в часове и минути, деня от седмицата и номера на контролния канал (9 будилника). Схемата на будилника е показана на фигурата. Микросхемата е синхронизирана. резонатор Q1 при 32768 Hz. мощността е отрицателна, общият плюс е...