Mga gawain para sa logarithms na may solusyon. Ano ang logarithm? Solusyon ng logarithms. Mga halimbawa. Mga katangian ng logarithms

Tulad ng alam mo, kapag nagpaparami ng mga expression na may mga kapangyarihan, ang kanilang mga exponents ay palaging nagdaragdag (a b * a c = a b + c). Ang batas sa matematika na ito ay hinango ni Archimedes, at nang maglaon, noong ika-8 siglo, ang mathematician na si Virasen ay lumikha ng isang talahanayan ng mga integer indicator. Sila ang nagsilbi para sa karagdagang pagtuklas ng logarithms. Ang mga halimbawa ng paggamit ng function na ito ay matatagpuan halos kahit saan kung saan kinakailangan na gawing simple ang masalimuot na multiplikasyon sa simpleng karagdagan. Kung gumugugol ka ng 10 minuto sa pagbabasa ng artikulong ito, ipapaliwanag namin sa iyo kung ano ang mga logarithms at kung paano gamitin ang mga ito. Simple at naa-access na wika.

Kahulugan sa matematika

Ang logarithm ay isang expression ng sumusunod na anyo: log ab=c, iyon ay, ang logarithm ng anumang hindi negatibong numero (iyon ay, anumang positibo) "b" sa pamamagitan ng base nito na "a" ay itinuturing na kapangyarihan ng "c" , kung saan dapat itaas ang base na "a", upang sa huli ay makuha ang halagang "b". Suriin natin ang logarithm gamit ang mga halimbawa, sabihin nating mayroong expression log 2 8. Paano mahahanap ang sagot? Ito ay napaka-simple, kailangan mong makahanap ng ganoong antas na mula 2 hanggang sa kinakailangang antas ay makakakuha ka ng 8. Matapos magawa ang ilang mga kalkulasyon sa iyong isip, nakuha namin ang numero 3! At tama, dahil ang 2 sa kapangyarihan ng 3 ay nagbibigay ng numero 8 sa sagot.

Mga uri ng logarithms

Para sa maraming mga mag-aaral at mag-aaral, ang paksang ito ay tila kumplikado at hindi maintindihan, ngunit sa katunayan, ang mga logarithms ay hindi nakakatakot, ang pangunahing bagay ay upang maunawaan ang kanilang pangkalahatang kahulugan at tandaan ang kanilang mga katangian at ilang mga patakaran. May tatlong natatanging uri ng logarithmic expression:

Natural logarithm ln a, kung saan ang base ay ang Euler number (e = 2.7).
Decimal a, kung saan ang base ay 10.
Ang logarithm ng anumang numero b sa base a>1.

Ang bawat isa sa kanila ay nalutas sa isang karaniwang paraan, kabilang ang pagpapagaan, pagbabawas at kasunod na pagbabawas sa isang logarithm gamit ang logarithmic theorems. Upang makuha ang tamang mga halaga ng logarithms, dapat isa tandaan ang kanilang mga katangian at ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon sa kanilang mga desisyon.

Mga panuntunan at ilang mga paghihigpit

Sa matematika, mayroong ilang mga tuntunin-limitasyon na tinatanggap bilang isang axiom, iyon ay, hindi sila napapailalim sa talakayan at totoo. Halimbawa, imposibleng hatiin ang mga numero sa zero, at imposible ring kunin ang ugat ng pantay na antas mula sa mga negatibong numero. Ang logarithms ay mayroon ding sariling mga panuntunan, na sumusunod kung saan madali mong matutunan kung paano magtrabaho kahit na may mahaba at malawak na logarithmic na expression:

ang base na "a" ay dapat palaging mas malaki kaysa sa zero, at sa parehong oras ay hindi katumbas ng 1, kung hindi man mawawala ang kahulugan ng expression, dahil ang "1" at "0" sa anumang antas ay palaging katumbas ng kanilang mga halaga;
kung a > 0, pagkatapos ay a b > 0, lumalabas na ang "c" ay dapat na mas malaki sa zero.

Paano malutas ang mga logarithms?

Halimbawa, ibinigay ang gawain upang mahanap ang sagot sa equation na 10 x \u003d 100. Napakadali, kailangan mong pumili ng gayong kapangyarihan sa pamamagitan ng pagtaas ng numero ng sampu kung saan nakakakuha tayo ng 100. Ito, siyempre, ay 10 2 \u003d 100.

Ngayon, katawanin natin ang expression na ito bilang isang logarithmic. Nakukuha namin ang log 10 100 = 2. Kapag nag-solve ng logarithms, halos lahat ng aksyon ay nagsasama-sama sa paghahanap ng antas kung saan dapat ilagay ang base ng logarithm upang makakuha ng isang naibigay na numero.

Upang tumpak na matukoy ang halaga ng isang hindi kilalang degree, dapat mong matutunan kung paano magtrabaho sa isang talahanayan ng mga degree. Mukhang ganito:

Tulad ng nakikita mo, ang ilang mga exponent ay maaaring mahulaan nang intuitive kung mayroon kang teknikal na mindset at kaalaman sa talahanayan ng multiplikasyon. Gayunpaman, ang mas malalaking halaga ay mangangailangan ng power table. Maaari itong magamit kahit na sa mga hindi nakakaintindi ng kahit ano sa kumplikadong mga paksa sa matematika. Ang kaliwang column ay naglalaman ng mga numero (base a), ang pinakamataas na hilera ng mga numero ay ang halaga ng power c, kung saan itinataas ang numero a. Sa intersection sa mga cell, ang mga halaga ng mga numero ay tinutukoy, na kung saan ay ang sagot (a c = b). Kunin natin, halimbawa, ang pinakaunang cell na may numerong 10 at parisukat ito, nakukuha natin ang halaga na 100, na ipinahiwatig sa intersection ng ating dalawang cell. Ang lahat ay napakasimple at madali na kahit ang pinakatunay na humanist ay mauunawaan!

Mga equation at hindi pagkakapantay-pantay

Ito ay lumalabas na sa ilalim ng ilang mga kundisyon, ang exponent ay ang logarithm. Samakatuwid, ang anumang mathematical numerical expression ay maaaring isulat bilang isang logarithmic equation. Halimbawa, ang 3 4 =81 ay maaaring isulat bilang logarithm ng 81 hanggang base 3, na apat (log 3 81 = 4). Para sa mga negatibong kapangyarihan, ang mga patakaran ay pareho: 2 -5 = 1/32 isinulat namin bilang isang logarithm, nakukuha namin ang log 2 (1/32) = -5. Isa sa mga pinakakaakit-akit na seksyon ng matematika ay ang paksa ng "logarithms". Isasaalang-alang namin ang mga halimbawa at solusyon ng mga equation na medyo mas mababa, kaagad pagkatapos pag-aralan ang kanilang mga katangian. Ngayon tingnan natin kung ano ang hitsura ng mga hindi pagkakapantay-pantay at kung paano makilala ang mga ito mula sa mga equation.

Ang isang expression ng sumusunod na form ay ibinigay: log 2 (x-1) > 3 - ito ay isang logarithmic inequality, dahil ang hindi kilalang halaga na "x" ay nasa ilalim ng sign ng logarithm. At din sa expression ng dalawang dami ay inihambing: ang logarithm ng nais na numero sa base ng dalawa ay mas malaki kaysa sa numero tatlo.

Ang pinakamahalagang pagkakaiba sa pagitan ng mga logarithmic equation at hindi pagkakapantay-pantay ay ang mga equation na may logarithms (halimbawa, ang logarithm ng 2 x = √9) ay nagpapahiwatig ng isa o higit pang tiyak na mga numerical value sa sagot, habang kapag nilulutas ang hindi pagkakapantay-pantay, parehong saklaw ng mga katanggap-tanggap na halaga at ang mga puntos na lumalabag sa pagpapaandar na ito. Bilang resulta, ang sagot ay hindi isang simpleng hanay ng mga indibidwal na numero, tulad ng sa sagot ng equation, ngunit isang tuluy-tuloy na serye o hanay ng mga numero.

Mga pangunahing teorema tungkol sa logarithms

Kapag nilulutas ang mga primitive na gawain sa paghahanap ng mga halaga ng logarithm, maaaring hindi alam ang mga katangian nito. Gayunpaman, pagdating sa logarithmic equation o inequalities, una sa lahat, kinakailangan na malinaw na maunawaan at mailapat sa pagsasanay ang lahat ng mga pangunahing katangian ng logarithms. Makikilala natin ang mga halimbawa ng mga equation mamaya, suriin muna natin ang bawat pag-aari nang mas detalyado.

Ang pangunahing pagkakakilanlan ay ganito ang hitsura: a logaB =B. Nalalapat lamang ito kung ang a ay mas malaki sa 0, hindi katumbas ng isa, at ang B ay mas malaki sa zero.
Ang logarithm ng produkto ay maaaring katawanin sa sumusunod na formula: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Sa kasong ito, ang paunang kinakailangan ay: d, s 1 at s 2 > 0; a≠1. Maaari kang magbigay ng patunay para sa formula na ito ng logarithms, na may mga halimbawa at solusyon. Hayaang mag-log bilang 1 = f 1 at mag-log bilang 2 = f 2 , pagkatapos ay a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Nakukuha namin na s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (degree properties ), at higit pa sa kahulugan: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log bilang 2, na dapat patunayan.
Ang logarithm ng quotient ay ganito ang hitsura: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
Ang theorem sa anyo ng isang formula ay tumatagal ng sumusunod na anyo: log a q b n = n/q log a b.

Ang formula na ito ay tinatawag na "property of the degree of the logarithm". Ito ay kahawig ng mga katangian ng mga ordinaryong degree, at ito ay hindi nakakagulat, dahil ang lahat ng matematika ay nakasalalay sa mga regular na postulates. Tingnan natin ang patunay.

Hayaang mag-log a b \u003d t, ito ay lumabas na t \u003d b. Kung itataas mo ang parehong bahagi sa kapangyarihan m: a tn = b n ;

ngunit dahil a tn = (a q) nt/q = b n , kaya mag-log a q b n = (n*t)/t, pagkatapos ay mag-log a q b n = n/q log a b. Napatunayan na ang theorem.

Mga halimbawa ng mga problema at hindi pagkakapantay-pantay

Ang pinakakaraniwang uri ng mga problema sa logarithm ay mga halimbawa ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay. Ang mga ito ay matatagpuan sa halos lahat ng mga libro ng problema, at kasama rin sa ipinag-uutos na bahagi ng mga pagsusulit sa matematika. Upang makapasok sa isang unibersidad o makapasa sa mga pagsusulit sa pasukan sa matematika, kailangan mong malaman kung paano lutasin nang tama ang mga naturang gawain.

Sa kasamaang palad, walang iisang plano o pamamaraan para sa paglutas at pagtukoy ng hindi kilalang halaga ng logarithm, gayunpaman, ang ilang mga patakaran ay maaaring ilapat sa bawat hindi pagkakapantay-pantay ng matematika o logarithmic equation. Una sa lahat, dapat mong malaman kung ang expression ay maaaring gawing simple o bawasan sa isang pangkalahatang anyo. Maaari mong pasimplehin ang mahabang logarithmic expression kung gagamitin mo nang tama ang mga katangian ng mga ito. Kilalanin natin sila sa lalong madaling panahon.

Kapag nilulutas ang mga logarithmic equation, kinakailangan upang matukoy kung anong uri ng logarithm ang mayroon tayo sa harap natin: ang isang halimbawa ng isang expression ay maaaring maglaman ng natural na logarithm o isang decimal.

Narito ang mga halimbawa ln100, ln1026. Ang kanilang solusyon ay bumababa sa katotohanan na kailangan mong matukoy ang antas kung saan ang base 10 ay magiging katumbas ng 100 at 1026, ayon sa pagkakabanggit. Para sa mga solusyon ng natural na logarithms, dapat isalapat ang logarithmic na pagkakakilanlan o ang kanilang mga katangian. Tingnan natin ang mga halimbawa ng paglutas ng mga problemang logarithmic ng iba't ibang uri.

Paano Gumamit ng Mga Logarithm Formula: May Mga Halimbawa at Solusyon

Kaya, tingnan natin ang mga halimbawa ng paggamit ng mga pangunahing theorems sa logarithms.

Ang pag-aari ng logarithm ng produkto ay maaaring gamitin sa mga gawain kung saan kinakailangan upang mabulok ang isang malaking halaga ng bilang b sa mas simpleng mga kadahilanan. Halimbawa, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Ang sagot ay 9.
log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - tulad ng nakikita mo, sa pamamagitan ng paglalapat ng ikaapat na katangian ng antas ng logarithm, nalutas namin sa unang tingin ang isang kumplikado at hindi malulutas na expression. Kinakailangan lamang na i-factor ang base at pagkatapos ay alisin ang mga halaga ng exponent mula sa tanda ng logarithm.

Mga gawain mula sa pagsusulit

Ang mga logarithm ay madalas na matatagpuan sa mga pagsusulit sa pasukan, lalo na ang maraming problema sa logarithmic sa Pinag-isang Estado na Pagsusulit (pagsusulit ng estado para sa lahat ng nagtapos sa paaralan). Kadalasan ang mga gawaing ito ay naroroon hindi lamang sa bahagi A (ang pinakamadaling bahagi ng pagsusulit ng pagsusulit), kundi pati na rin sa bahagi C (ang pinakamahirap at napakaraming gawain). Ang pagsusulit ay nagpapahiwatig ng tumpak at perpektong kaalaman sa paksang "Natural logarithms".

Ang mga halimbawa at paglutas ng problema ay kinuha mula sa mga opisyal na bersyon ng pagsusulit. Tingnan natin kung paano nalutas ang mga naturang gawain.

Ibinigay na log 2 (2x-1) = 4. Solusyon:
isulat muli natin ang expression, pinasimple ito ng kaunting log 2 (2x-1) = 2 2 , sa pamamagitan ng kahulugan ng logarithm nakukuha natin na 2x-1 = 2 4 , samakatuwid 2x = 17; x = 8.5.

Ang lahat ng logarithms ay pinakamahusay na bawasan sa parehong base upang ang solusyon ay hindi masalimuot at nakakalito.
Ang lahat ng mga expression sa ilalim ng sign ng logarithm ay ipinahiwatig bilang positibo, samakatuwid, kapag kinuha ang exponent ng exponent ng expression, na nasa ilalim ng sign ng logarithm at bilang base nito, ang expression na natitira sa ilalim ng logarithm ay dapat na positibo.

Logarithmic expression, solusyon ng mga halimbawa. Sa artikulong ito, isasaalang-alang natin ang mga problemang nauugnay sa paglutas ng mga logarithms. Ang mga gawain ay nagtataas ng tanong ng paghahanap ng halaga ng expression. Dapat pansinin na ang konsepto ng logarithm ay ginagamit sa maraming mga gawain at napakahalaga na maunawaan ang kahulugan nito. Tulad ng para sa USE, ang logarithm ay ginagamit sa paglutas ng mga equation, sa mga inilapat na problema, at gayundin sa mga gawain na may kaugnayan sa pag-aaral ng mga function.

Narito ang mga halimbawa upang maunawaan ang mismong kahulugan ng logarithm:

Pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan:

Mga katangian ng logarithms na dapat mong laging tandaan:

*Ang logarithm ng produkto ay katumbas ng kabuuan ng logarithm ng mga salik.

* * *

* Ang logarithm ng quotient (fraction) ay katumbas ng pagkakaiba ng logarithms ng mga salik.

* * *

* Ang logarithm ng degree ay katumbas ng produkto ng exponent at ang logarithm ng base nito.

* * *

*Transition sa bagong base

* * *

Higit pang mga katangian:

* * *

Ang computing logarithms ay malapit na nauugnay sa paggamit ng mga katangian ng mga exponent.

Inilista namin ang ilan sa kanila:

Ang kakanyahan ng ari-arian na ito ay kapag inilipat ang numerator sa denominator at kabaligtaran, ang tanda ng exponent ay nagbabago sa kabaligtaran. Halimbawa:

Bunga ng ari-arian na ito:

* * *

Kapag nagtataas ng isang kapangyarihan sa isang kapangyarihan, ang base ay nananatiling pareho, ngunit ang mga exponent ay pinarami.

* * *

Tulad ng makikita mo, ang mismong konsepto ng logarithm ay simple. Ang pangunahing bagay ay ang mahusay na kasanayan ay kinakailangan, na nagbibigay ng isang tiyak na kasanayan. Tiyak na ang kaalaman sa mga formula ay obligado. Kung ang kasanayan sa pag-convert ng elementarya na logarithms ay hindi nabuo, kung gayon kapag ang paglutas ng mga simpleng gawain, ang isang tao ay madaling magkamali.

Magsanay, lutasin muna ang pinakasimpleng mga halimbawa mula sa kurso sa matematika, pagkatapos ay lumipat sa mas kumplikado. Sa hinaharap, tiyak na ipapakita ko kung paano nalutas ang mga "pangit" na logarithms, walang mga ganyan sa pagsusulit, ngunit interesado sila, huwag palampasin ito!

Iyon lang! Good luck sa iyo!

Taos-puso, Alexander Krutitskikh

P.S: Magpapasalamat ako kung sasabihin mo ang tungkol sa site sa mga social network.

Mahalaga sa amin ang iyong privacy. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Mangyaring basahin ang aming patakaran sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga katanungan.

Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala ang isang partikular na tao o makipag-ugnayan sa kanya.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

Ang mga sumusunod ay ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, email address, atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

Ang personal na impormasyong kinokolekta namin ay nagpapahintulot sa amin na makipag-ugnayan sa iyo at ipaalam sa iyo ang tungkol sa mga natatanging alok, promosyon at iba pang mga kaganapan at paparating na mga kaganapan.
Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala sa iyo ng mahahalagang paunawa at mensahe.
Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin, tulad ng pagsasagawa ng mga pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pananaliksik upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
Kung sasali ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na insentibo, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag sa mga ikatlong partido

Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

Mga pagbubukod:

Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, utos ng hudisyal, sa mga ligal na paglilitis, at / o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga katawan ng estado sa teritoryo ng Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang nasabing pagsisiwalat ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang layunin ng pampublikong interes.
Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa may-katuturang kahalili ng third party.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin mula sa hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Pagpapanatili ng iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga kasanayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.

Ano ang logarithm?

Pansin!
May mga karagdagang
materyal sa Espesyal na Seksyon 555.
Para sa mga malakas na "hindi masyadong..."
At para sa mga "sobra...")

Ano ang logarithm? Paano malutas ang mga logarithms? Ang mga tanong na ito ay nakalilito sa maraming nagtapos. Ayon sa kaugalian, ang paksa ng logarithms ay itinuturing na kumplikado, hindi maintindihan at nakakatakot. Lalo na - mga equation na may logarithms.

Ito ay ganap na hindi totoo. Ganap! ayaw maniwala? Sige. Ngayon, sa loob ng mga 10 - 20 minuto:

1. Intindihin ano ang logarithm.

2. Matutong lutasin ang isang buong klase ng mga exponential equation. Kahit na hindi mo pa naririnig ang tungkol sa kanila.

3. Matutong magkalkula ng mga simpleng logarithms.

Bukod dito, para dito kakailanganin mo lamang malaman ang talahanayan ng pagpaparami, at kung paano itataas ang isang numero sa isang kapangyarihan ...

Pakiramdam ko ay nagdududa ka ... Well, panatilihin ang oras! Go!

Una, lutasin ang sumusunod na equation sa iyong isip:

Kung gusto mo ang site na ito...

Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Pag-aaral - nang may interes!)

maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.