Mga formula para sa planimetry at stereometry para sa pagsusulit. Handbook na may mga pangunahing katotohanan ng stereometry

Kasama sa video course na "Kumuha ng A" ang lahat ng mga paksang kailangan para sa matagumpay na pagpasa ng pagsusulit sa matematika sa pamamagitan ng 60-65 puntos. Ganap ang lahat ng mga gawain 1-13 ng Profile USE sa matematika. Angkop din para sa pagpasa sa Basic USE sa matematika. Kung gusto mong pumasa sa pagsusulit na may 90-100 puntos, kailangan mong lutasin ang bahagi 1 sa loob ng 30 minuto at walang pagkakamali!

Paghahanda ng kurso para sa pagsusulit para sa mga baitang 10-11, pati na rin para sa mga guro. Lahat ng kailangan mo upang malutas ang bahagi 1 ng pagsusulit sa matematika (ang unang 12 problema) at problema 13 (trigonometry). At ito ay higit sa 70 puntos sa Unified State Examination, at hindi magagawa ng isang daang puntos na mag-aaral o isang humanist kung wala sila.

Lahat ng kinakailangang teorya. Mabilis na solusyon, bitag at sikreto ng pagsusulit. Ang lahat ng nauugnay na gawain ng bahagi 1 mula sa mga gawain ng Bank of FIPI ay nasuri. Ang kurso ay ganap na sumusunod sa mga kinakailangan ng USE-2018.

Ang kurso ay naglalaman ng 5 malalaking paksa, 2.5 oras bawat isa. Ang bawat paksa ay ibinigay mula sa simula, simple at malinaw.

Daan-daang mga gawain sa pagsusulit. Mga problema sa teksto at teorya ng posibilidad. Simple at madaling matandaan ang mga algorithm sa paglutas ng problema. Geometry. Teorya, sangguniang materyal, pagsusuri ng lahat ng uri ng mga gawain sa PAGGAMIT. Stereometry. Mga tusong trick para sa paglutas, kapaki-pakinabang na mga cheat sheet, pagbuo ng spatial na imahinasyon. Trigonometry mula sa simula - hanggang sa gawain 13. Pag-unawa sa halip na pag-cramming. Visual na pagpapaliwanag ng mga kumplikadong konsepto. Algebra. Mga ugat, kapangyarihan at logarithms, function at derivative. Base para sa paglutas ng mga kumplikadong problema ng ika-2 bahagi ng pagsusulit.

Ilang mga kahulugan:

Polyhedron ay isang geometric na katawan na napapaligiran ng isang may hangganang bilang ng mga flat polygon, alinman sa dalawa, na may isang karaniwang panig, ay hindi nakahiga sa parehong eroplano. Sa kasong ito, ang mga polygon mismo ay tinatawag na mga mukha, ang kanilang mga gilid ay ang mga gilid ng polyhedron, at ang kanilang mga vertices ay ang mga vertices ng polyhedron.
Ang pigura na nabuo ng lahat ng mga mukha ng isang polyhedron ay tinatawag na ibabaw nito ( buong ibabaw), at ang kabuuan ng mga lugar ng lahat ng mukha nito ay (buong) ibabaw na lugar.
ay isang polyhedron na may anim na mukha na pantay na mga parisukat. Ang mga gilid ng mga parisukat ay tinatawag na mga gilid ng kubo, at ang mga vertice ay tinatawag na mga vertice ng kubo.
ay isang polyhedron na may anim na mukha at bawat isa sa kanila ay isang paralelogram. Ang mga gilid ng parallelograms ay tinatawag na mga gilid ng parallelepiped, at ang kanilang mga vertices ay tinatawag na vertices ng parallelepiped. Ang dalawang panig ng isang parallelepiped ay tinatawag kabaligtaran, kung wala silang common edge, at ang mga may common edge ay tinatawag kaugnay. Minsan ang alinmang dalawang magkasalungat na mukha ng parallelepiped ay pinipili at tinatawag bakuran, pagkatapos ang iba pang mga mukha mga mukha sa gilid, at ang kanilang mga gilid, na nagkokonekta sa mga vertices ng mga base ng parallelepiped, ay nito gilid tadyang.
Kanang parallelepiped- ito ay isang parallelepiped na ang mga gilid na mukha ay parihaba. ay isang parallelepiped na ang mga mukha ay pawang parihaba. Tandaan na ang bawat cuboid ay isang cuboid, ngunit hindi bawat cuboid ay isang cuboid.
kabaligtaran. Tinatawag ang isang segment ng linya na nagkokonekta sa tapat ng mga vertices ng isang parallelepiped dayagonal parallelepiped. Ang parallelepiped ay mayroon lamang apat na diagonal.
Prisma ( n-uling) ay isang polyhedron na ang dalawang mukha ay magkapantay n-gons, at ang iba pa n ang mga mukha ay paralelogram. Pantay n-gons ang tawag bakuran, at ang mga paralelogram gilid na mukha ng prisma- ito ay tulad ng isang prisma, kung saan ang mga gilid na mukha ay mga parihaba. tama n- carbon prism- ito ay isang prisma, kung saan ang lahat ng mga gilid na mukha ay mga parihaba, at ang mga base nito ay regular n-gons.
Ang kabuuan ng mga lugar ng mga gilid na mukha ng prisma ay tinatawag lateral surface area nito(tinutukoy S gilid). Ang kabuuan ng mga lugar ng lahat ng mga mukha ng prisma ay tinatawag lugar sa ibabaw ng prisma(tinutukoy S puno).
Pyramid ( n-uling)- ito ay isang polyhedron, na may isang mukha - ang ilan n-gon, at ang iba pa n mga mukha - mga tatsulok na may isang karaniwang vertex; n-tawag si gon batayan; ang mga tatsulok na may karaniwang vertex ay tinatawag mga mukha sa gilid, at ang kanilang karaniwang vertex ay tinatawag tuktok ng pyramid. Ang mga gilid ng mga mukha ng isang pyramid ay tinatawag na nito tadyang, at ang mga gilid na nagtatagpo sa isang vertex ay tinatawag lateral.
Ang kabuuan ng mga lugar ng gilid na mukha ng pyramid ay tinatawag side surface area ng pyramid(tinutukoy S gilid). Ang kabuuan ng mga lugar ng lahat ng mga mukha ng pyramid ay tinatawag pyramid surface area(ang ibabaw na lugar ay tinutukoy S puno).
taman- pyramid ng karbon- ito ay tulad ng isang pyramid, ang base nito ay ang tama n-gon, at lahat ng gilid ng gilid ay pantay sa isa't isa. Ang mga gilid na mukha ng isang regular na pyramid ay isosceles triangles na katumbas ng bawat isa.
Ang tatsulok na pyramid ay tinatawag tetrahedron kung ang lahat ng mukha nito ay magkaparehong regular na tatsulok. Ang tetrahedron ay isang espesyal na kaso ng isang regular na triangular na pyramid (ibig sabihin, hindi lahat ng regular na triangular na pyramid ay magiging isang tetrahedron).

Mga Axiom ng stereometry:

Sa pamamagitan ng anumang tatlong puntos na hindi nakahiga sa parehong linya, mayroon lamang isang eroplano.
Kung ang dalawang punto ng isang linya ay nasa isang eroplano, ang lahat ng mga punto ng linya ay nasa eroplanong iyon.
Kung ang dalawang eroplano ay may isang karaniwang punto, kung gayon mayroon silang isang karaniwang linya kung saan ang lahat ng mga karaniwang punto ng mga eroplanong ito ay namamalagi.

Mga kahihinatnan mula sa mga axiom ng stereometry:

Teorama 1. Mayroon lamang isang eroplano sa pamamagitan ng isang linya at isang punto ay wala dito.
Teorama 2. Mayroon lamang isang eroplano sa pamamagitan ng dalawang intersecting na linya.
Teorama 3. Mayroon lamang isang eroplano sa pamamagitan ng dalawang parallel na linya.

Konstruksyon ng mga seksyon sa stereometry

Upang malutas ang mga problema sa stereometry, ito ay mapilit na kinakailangan upang makagawa ng mga seksyon ng polyhedra (halimbawa, isang pyramid, isang parallelepiped, isang kubo, isang prisma) sa isang pagguhit ng isang tiyak na eroplano. Magbigay tayo ng ilang mga kahulugan na nagpapaliwanag kung ano ang isang seksyon:

pagputol ng eroplano Ang isang pyramid (prism, parallelepiped, cube) ay tulad ng isang eroplano, sa magkabilang panig kung saan mayroong mga punto ng pyramid na ito (prism, parallelepiped, cube).
cross section ng isang pyramid(prism, parallelepiped, cube) ay isang figure na binubuo ng lahat ng mga punto na karaniwan sa pyramid (prism, parallelepiped, cube) at ang cutting plane.
Ang cutting plane ay nag-intersect sa mga mukha ng pyramid (parallelepiped, prism, cube) kasama ang mga segment, samakatuwid seksyon ay isang polygon na nakahiga sa secant plane, ang mga gilid nito ay ang mga ipinahiwatig na mga segment.

Upang makabuo ng isang seksyon ng isang pyramid (prism, parallelepiped, cube), posible at kinakailangan na bumuo ng mga intersection point ng secant plane na may mga gilid ng pyramid (prism, parallelepiped, cube) at ikonekta ang bawat dalawa sa kanila na nakahiga sa isang mukha. Tandaan na ang pagkakasunud-sunod ng pagbuo ng mga vertices at gilid ng seksyon ay hindi mahalaga. Ang pagtatayo ng mga seksyon ng polyhedra ay batay sa dalawang gawain para sa pagtatayo:

Mga linya ng intersection ng dalawang eroplano.

Upang bumuo ng isang linya kung saan ang ilang dalawang eroplano ay nagsalubong α At β (halimbawa, ang secant plane at ang eroplano ng mukha ng polyhedron), kailangan mong bumuo ng kanilang dalawang karaniwang mga punto, pagkatapos ang linya na dumadaan sa mga puntong ito ay ang linya ng intersection ng mga eroplano α At β .

Mga punto ng intersection ng isang linya at isang eroplano.

Upang bumuo ng isang punto ng intersection ng isang linya l at eroplano α iguhit ang punto ng intersection ng linya l at direktang l 1 , kung saan nagsa-intersect ang eroplano α at anumang eroplanong naglalaman ng linya l.

Mutual na pag-aayos ng mga tuwid na linya at eroplano sa stereometry

Kahulugan: Sa kurso ng paglutas ng mga problema sa stereometry, dalawang tuwid na linya sa espasyo ang tinatawag parallel kung nakahiga sila sa parehong eroplano at hindi nagsalubong. Kung diretso ngunit At b, o AB At CD ay parallel, isinusulat namin:

Ilang theorems:

Teorama 1. Sa pamamagitan ng anumang punto sa espasyo na hindi nakahiga sa isang ibinigay na linya, mayroon lamang isang linya na kahanay sa ibinigay na linya.
Teorama 2. Kung ang isa sa dalawang magkatulad na linya ay nag-intersect sa isang partikular na eroplano, ang kabilang linya ay nag-intersect sa eroplanong ito.
Teorama 3(sign of parallel lines). Kung ang dalawang linya ay parallel sa isang ikatlong linya, kung gayon sila ay parallel sa isa't isa.
Teorama 4(sa punto ng intersection ng mga diagonal ng isang parallelepiped). Ang mga diagonal ng parallelepiped ay nagsalubong sa isang punto at hinahati ang puntong iyon.

Mayroong tatlong mga kaso ng mutual arrangement ng isang tuwid na linya at isang eroplano sa stereometry:

Ang linya ay nasa eroplano (bawat punto ng linya ay nasa eroplano).
Ang linya at ang eroplano ay nagsalubong (may iisang karaniwang punto).
Ang isang linya at isang eroplano ay walang iisang karaniwang punto.

Kahulugan: Tinatawag na linya at eroplano parallel kung wala silang common points. Kung diretso ngunit parallel sa eroplano β , pagkatapos ay isusulat nila:

Theorems:

Teorama 1(isang tanda ng parallelism ng isang tuwid na linya at isang eroplano). Kung ang isang linya na hindi nakahiga sa isang naibigay na eroplano ay parallel sa ilang linya na nakahiga sa eroplanong ito, kung gayon ito ay parallel sa ibinigay na eroplano.
Teorama 2. Kung ang eroplano (sa figure - α ) dumadaan sa isang tuwid na linya (sa figure - mula sa), parallel sa isa pang eroplano (sa figure - β ), at intersect ang eroplanong ito, pagkatapos ay ang linya ng intersection ng mga eroplano (sa figure - d) ay kahanay sa ibinigay na linya:

Kung ang dalawang magkaibang linya ay nasa parehong eroplano, kung gayon sila ay magsalubong o magkatulad. Gayunpaman, sa espasyo (i.e., sa stereometry), posible rin ang pangatlong kaso, kapag walang eroplano kung saan nakahiga ang dalawang linya (sa kasong ito, hindi sila nagsalubong o magkatulad).

Kahulugan: Ang dalawang linya ay tinatawag interbreeding, kung walang eroplanong nakahiga silang dalawa.

Theorems:

Teorama 1(isang tanda ng mga intersecting na linya). Kung ang isa sa dalawang linya ay nasa isang tiyak na eroplano, at ang kabilang linya ay nagsalubong sa eroplanong ito sa isang punto na hindi kabilang sa unang linya, kung gayon ang mga linyang ito ay liko.
Teorama 2. Sa bawat isa sa dalawang intersecting na linya ay may isang eroplanong kahanay sa kabilang linya.

Ngayon ipinakilala namin ang konsepto ng anggulo sa pagitan ng mga skew na linya. Hayaan a At b O sa espasyo at gumuhit ng mga tuwid na linya sa pamamagitan nito. a 1 at b 1 parallel sa mga tuwid na linya a At b ayon sa pagkakabanggit. Anggulo sa pagitan ng mga skew na linya a At b tinatawag na anggulo sa pagitan ng mga constructed intersecting lines a 1 at b 1 .

Gayunpaman, sa pagsasanay ang punto O mas madalas pumili upang ito ay kabilang sa isa sa mga tuwid na linya. Ito ay karaniwang hindi lamang elementarya na mas maginhawa, ngunit mas makatwiran at tama sa mga tuntunin ng pagbuo ng isang pagguhit at paglutas ng isang problema. Samakatuwid, para sa anggulo sa pagitan ng mga skew na linya, binibigyan namin ang sumusunod na kahulugan:

Kahulugan: Hayaan a At b ay dalawang magkasalubong na linya. Kumuha ng isang arbitrary na punto O sa isa sa kanila (sa aming kaso, sa isang tuwid na linya b) at gumuhit ng isang linya sa pamamagitan nito parallel sa isa pa sa kanila (sa aming kaso a 1 parallel a). Anggulo sa pagitan ng mga skew na linya a At b ay ang anggulo sa pagitan ng itinayong linya at ang linyang naglalaman ng punto O(sa aming kaso, ito ang anggulo β sa pagitan ng mga tuwid na linya a 1 at b).

Kahulugan: Ang dalawang linya ay tinatawag kapwa patayo(perpendicular) kung ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay 90°. Ang mga tumatawid na linya ay maaaring patayo, gayundin ang mga linyang nakahiga at nagsalubong sa parehong eroplano. Kung diretso a patayo sa linya b, pagkatapos ay isusulat nila:

Kahulugan: Tinatawag ang dalawang eroplano parallel, kung hindi sila magsalubong, i.e. walang mga karaniwang puntos. Kung dalawang eroplano α At β parallel, pagkatapos, gaya ng dati, isulat:

Theorems:

Teorama 1(sign of parallel planes). Kung ang dalawang intersecting na linya ng isang eroplano ay magkatulad na parallel sa dalawang linya ng isa pang eroplano, kung gayon ang mga eroplanong ito ay parallel.
Teorama 2(sa pag-aari ng magkasalungat na mukha ng isang parallelepiped). Ang mga magkasalungat na mukha ng isang parallelepiped ay nakahiga sa magkatulad na mga eroplano.
Teorama 3(sa mga linya ng intersection ng dalawang parallel na eroplano ng ikatlong eroplano). Kung ang dalawang magkatulad na eroplano ay intersected ng isang pangatlo, pagkatapos ang kanilang mga linya ng intersection ay parallel sa bawat isa.
Teorama 4. Ang mga segment ng parallel na linya na matatagpuan sa pagitan ng parallel planes ay pantay.
Teorama 5(sa pagkakaroon ng isang natatanging eroplano na parallel sa isang naibigay na eroplano at dumadaan sa isang punto sa labas nito). Sa pamamagitan ng isang puntong hindi nakahiga sa isang naibigay na eroplano, mayroon lamang isang eroplanong parallel sa ibinigay na isa.

Kahulugan: Ang isang linya na bumabagtas sa isang eroplano ay sinasabing patayo sa eroplano kung ito ay patayo sa bawat linya sa eroplanong iyon. Kung diretso a patayo sa eroplano β , pagkatapos ay isulat, gaya ng dati:

Theorems:

Teorama 1. Kung ang isa sa dalawang magkatulad na linya ay patayo sa ikatlong linya, ang kabilang linya ay patayo din sa linyang ito.
Teorama 2. Kung ang isa sa dalawang magkatulad na linya ay patayo sa isang eroplano, ang kabilang linya ay patayo din sa eroplanong iyon.
Teorama 3(sa parallelism ng mga linya na patayo sa eroplano). Kung ang dalawang linya ay patayo sa parehong eroplano, kung gayon sila ay parallel.
Teorama 4(isang tanda ng perpendicularity ng isang tuwid na linya at isang eroplano). Kung ang isang linya ay patayo sa dalawang intersecting na linya na nakahiga sa isang eroplano, kung gayon ito ay patayo sa eroplanong iyon.
Teorama 5(tungkol sa isang eroplanong dumadaan sa isang ibinigay na punto at patayo sa isang ibinigay na linya). Sa pamamagitan ng anumang punto sa espasyo mayroon lamang isang eroplanong patayo sa ibinigay na linya.
Teorama 6(tungkol sa isang tuwid na linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto at patayo sa isang partikular na eroplano). Sa pamamagitan ng anumang punto sa espasyo mayroon lamang isang linya na patayo sa ibinigay na eroplano.
Teorama 7(sa ari-arian ng dayagonal ng isang parihabang parallelepiped). Ang parisukat ng haba ng dayagonal ng isang parihabang parallelepiped ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga haba ng tatlong gilid nito na may isang karaniwang vertex:

Bunga: Ang lahat ng apat na diagonal ng isang parihabang parallelepiped ay katumbas ng bawat isa.

Tatlong perpendicular theorem

Hayaan ang punto PERO hindi nakahiga ng patag α . Dumaan tayo sa punto PERO tuwid na linya patayo sa eroplano α , at ipahiwatig sa pamamagitan ng titik TUNGKOL SA ang punto ng intersection ng linyang ito sa eroplano α . Isang patayo na iginuhit mula sa isang punto PERO papunta sa eroplano α , ay tinatawag na segment JSC, tuldok TUNGKOL SA tinatawag na base ng patayo. Kung JSC- patayo sa eroplano α , ngunit M ay isang arbitrary na punto ng eroplanong ito, naiiba sa punto TUNGKOL SA, pagkatapos ay ang segment AM ay tinatawag na slope na iginuhit mula sa isang punto PERO papunta sa eroplano α , at ang punto M- hilig na base. Seksyon OM- orthogonal projection (o, sa madaling salita, projection) pahilig AM papunta sa eroplano α . Ngayon ay nagpapakita kami ng isang teorama na gumaganap ng isang mahalagang papel sa paglutas ng maraming mga problema.

Theorem 1 (tungkol sa tatlong patayo): Ang isang tuwid na linya na iginuhit sa isang eroplano at patayo sa projection ng isang hilig na eroplano papunta sa eroplanong ito ay patayo din sa mismong hilig na eroplano. Totoo rin ang kabaligtaran:

Theorem 2 (mga tatlong perpendicular): Ang isang tuwid na linya na iginuhit sa isang eroplano at patayo sa isang hilig ay patayo din sa projection nito sa eroplanong ito. Ang mga teorema na ito, para sa notasyon mula sa pagguhit sa itaas, ay maaaring maikli na mabalangkas tulad ng sumusunod:

Teorama: Kung mula sa isang punto, na kinuha sa labas ng eroplano, ang isang patayo at dalawang pahilig na linya ay iguguhit sa eroplanong ito, kung gayon:

dalawang pahilig, pagkakaroon ng pantay na projection, ay pantay;
sa dalawang hilig, ang isa na ang projection ay mas malaki ay mas malaki.

Mga kahulugan ng mga distansya ng mga bagay sa kalawakan:

Ang distansya mula sa isang punto patungo sa isang eroplano ay ang haba ng patayo na iginuhit mula sa puntong iyon hanggang sa eroplanong iyon.
Ang distansya sa pagitan ng magkatulad na mga eroplano ay ang distansya mula sa isang arbitrary na punto ng isa sa mga parallel na eroplano patungo sa isa pang eroplano.
Ang distansya sa pagitan ng isang linya at isang eroplanong parallel dito ay ang distansya mula sa isang arbitrary na punto sa linya patungo sa eroplano.
Ang distansya sa pagitan ng mga linya ng skew ay ang distansya mula sa isa sa mga linya ng skew patungo sa isang eroplano na dumadaan sa kabilang linya at kahanay sa unang linya.

Kahulugan: Sa stereometry, orthogonal projection ng isang tuwid na linya a papunta sa eroplano α ay tinatawag na projection ng linyang ito papunta sa isang eroplano α kung ang tuwid na linya na tumutukoy sa direksyon ng disenyo ay patayo sa eroplano α .

Komento: Tulad ng nakikita mo mula sa nakaraang kahulugan, maraming mga projection. Ang iba pang (maliban sa orthogonal) na mga projection ng isang tuwid na linya papunta sa isang eroplano ay maaaring gawin kung ang tuwid na linya na tumutukoy sa direksyon ng projection ay hindi patayo sa eroplano. Gayunpaman, ito ay ang orthogonal projection ng isang tuwid na linya papunta sa isang eroplano na makakatagpo natin sa mga problema sa hinaharap. At tatawagin natin ang orthogonal projection na isang projection lamang (tulad ng sa pagguhit).

Kahulugan: Ang anggulo sa pagitan ng isang tuwid na linya na hindi patayo sa isang eroplano at ang eroplanong ito ay ang anggulo sa pagitan ng isang tuwid na linya at ang orthogonal projection nito sa isang partikular na eroplano (ang anggulo AOA' sa drawing sa itaas).

Teorama: Ang anggulo sa pagitan ng isang linya at isang eroplano ay ang pinakamaliit sa lahat ng mga anggulo na binubuo ng isang linya na may mga linya na nakahiga sa isang partikular na eroplano at dumadaan sa punto ng intersection ng linya at ng eroplano.

Mga Kahulugan:

dihedral na anggulo Ang figure ay tinatawag na figure na nabuo ng dalawang kalahating eroplano na may karaniwang boundary line at isang bahagi ng espasyo kung saan ang mga kalahating eroplano ay nagsisilbing hangganan.
Linear dihedral na anggulo Tinatawag ang isang anggulo, ang mga gilid nito ay mga sinag na may karaniwang pinagmulan sa gilid ng dihedral na anggulo, na iginuhit sa mga mukha nito patayo sa gilid.

Kaya, ang linear na anggulo ng isang dihedral angle ay ang anggulo na nabuo sa pamamagitan ng intersection ng dihedral angle na may isang eroplanong patayo sa gilid nito. Ang lahat ng mga linear na anggulo ng isang dihedral na anggulo ay pantay sa bawat isa. Ang sukat ng antas ng isang dihedral na anggulo ay ang sukat ng antas ng linear na anggulo nito.

Ang isang dihedral na anggulo ay tinatawag na right (acute, obtuse) kung ang degree measure nito ay 90° (mas mababa sa 90°, higit sa 90°). Sa hinaharap, kapag nilulutas ang mga problema sa stereometry, sa pamamagitan ng isang dihedral na anggulo, lagi nating mauunawaan ang linear na anggulo na iyon, ang sukat ng antas na nakakatugon sa kondisyon:

Mga Kahulugan:

Ang isang dihedral na anggulo sa isang gilid ng isang polyhedron ay isang dihedral na anggulo na ang gilid ay naglalaman ng gilid ng polyhedron, at ang mga mukha ng dihedral na anggulo ay naglalaman ng mga mukha ng polyhedron na bumalandra sa kahabaan ng ibinigay na gilid ng polyhedron.
Ang anggulo sa pagitan ng mga intersecting na eroplano ay ang anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya na iginuhit ayon sa pagkakabanggit sa mga eroplanong ito na patayo sa kanilang linya ng intersection sa pamamagitan ng ilan sa mga punto nito.
Ang dalawang eroplano ay sinasabing patayo kung ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay 90°.

Theorems:

Teorama 1(isang tanda ng perpendicularity ng mga eroplano). Kung ang isa sa dalawang eroplano ay dumaan sa isang linya na patayo sa kabilang eroplano, ang mga eroplanong ito ay patayo.
Teorama 2. Ang isang linya na nakahiga sa isa sa dalawang patayo na eroplano at patayo sa linya kung saan sila nag-intersect ay patayo sa kabilang eroplano.

Symmetry ng mga figure

Mga Kahulugan:

puntos M At M 1 ang tinatawag simetriko tungkol sa isang punto O , kung O ay ang midpoint ng segment MM 1 .
puntos M At M 1 ang tinatawag simetriko tungkol sa isang tuwid na linya l kung tuwid l MM 1 at patayo dito.
puntos M At M 1 ang tinatawag simetriko tungkol sa eroplano α kung ang eroplano α dumadaan sa gitna ng segment MM 1 at patayo sa segment na ito.
Dot O(tuwid l, eroplano α ) ay tinatawag na sentro (axis, eroplano) ng simetrya figure, kung ang bawat punto ng figure ay simetriko tungkol sa isang punto O(tuwid l, eroplano α ) sa ilang punto ng parehong figure.
Ang isang convex polyhedron ay tinatawag tama, kung ang lahat ng mukha nito ay mga regular na polygon na katumbas ng bawat isa at ang parehong bilang ng mga gilid ay nagtatagpo sa bawat tuktok.

Prisma

Mga Kahulugan:

Prisma- isang polyhedron, ang dalawang mukha nito ay magkapantay na mga polygon na nakahiga sa magkatulad na mga eroplano, at ang natitirang mga mukha ay mga parallelogram na may magkatulad na panig sa mga polygon na ito.
Grounds - ito ay dalawang mukha na magkaparehong mga polygon na nakahiga sa magkatulad na mga eroplano. Sa pagguhit ito ay: ABCDE At KLMNP.
Mga mukha sa gilid- lahat ng mukha maliban sa mga base. Ang bawat panig na mukha ay kinakailangang isang paralelogram. Sa pagguhit ito ay: ABLK, BCML, CDNM, DEPN At EAKP.
Ibabaw sa gilid- unyon ng mga gilid na mukha.
Buong ibabaw- ang unyon ng mga base at ang lateral surface.
Mga tadyang sa gilid ay ang karaniwang mga gilid ng mga gilid na mukha. Sa pagguhit ito ay: AK, BL, CM, DN At EP.
taas- isang segment na nagkokonekta sa mga base ng prisma at patayo sa kanila. Sa pagguhit, halimbawa, KR.
dayagonal- isang segment na nag-uugnay sa dalawang vertices ng isang prisma na hindi kabilang sa parehong mukha. Sa pagguhit, halimbawa, BP.
Diagonal na eroplano ay ang eroplanong dumadaan sa lateral edge ng prism at ang dayagonal ng base. Iba pang kahulugan: diagonal na eroplano- isang eroplanong dumadaan sa dalawang gilid na gilid ng prisma na hindi kabilang sa iisang mukha.
Diagonal na seksyon- ang intersection ng prism at ang diagonal na eroplano. Ang isang paralelogram ay nabuo sa seksyon, kabilang, kung minsan, ang mga espesyal na kaso nito - isang rhombus, isang parihaba, isang parisukat. Sa pagguhit, halimbawa, EBLP.
Perpendicular (orthogonal) na seksyon- ang intersection ng prism at ang eroplano na patayo sa gilid ng gilid nito.

Mga katangian at formula para sa isang prisma:

Ang mga base ng prisma ay pantay na polygons.
Ang mga gilid na mukha ng prisma ay parallelograms.
Ang mga gilid na gilid ng prism ay parallel at pantay.
Dami ng Prisma katumbas ng produkto ng taas nito at ang lugar ng base:

saan: S base - ang lugar ng base (sa pagguhit, halimbawa, ABCDE), h- taas (sa drawing ito ay MN).

Kabuuang lugar ng ibabaw ng prisma ay katumbas ng kabuuan ng lugar ng lateral surface nito at dalawang beses ang lugar ng base:

Ang perpendikular na seksyon ay patayo sa lahat ng gilid na gilid ng prisma (sa pagguhit sa ibaba, ang patayo na seksyon ay A 2 B 2 C 2 D 2 E 2).
Ang mga anggulo ng isang patayong seksyon ay ang mga linear na anggulo ng dihedral na mga anggulo sa kaukulang mga gilid ng gilid.
Ang isang patayo (orthogonal) na seksyon ay patayo sa lahat ng panig na mukha.
Dami ng isang inclined prism ay katumbas ng produkto ng lugar ng perpendikular na seksyon at ang haba ng gilid na tadyang:

saan: S sec - ang lugar ng perpendikular na seksyon, l- ang haba ng tadyang sa gilid (sa pagguhit sa ibaba, halimbawa, AA 1 o BB 1 at iba pa).

Lateral surface area ng isang di-makatwirang prisma ay katumbas ng produkto ng perimeter ng perpendikular na seksyon at ang haba ng gilid ng gilid:

saan: P sec - ang perimeter ng isang patayong seksyon, l ay ang haba ng lateral edge.

Mga uri ng prisma sa stereometry:

Kung ang mga gilid ng gilid ay hindi patayo sa base, kung gayon ang naturang prisma ay tinatawag pahilig(nakalarawan sa itaas). Ang mga base ng naturang prisma, gaya ng dati, ay matatagpuan sa magkatulad na mga eroplano, ang mga gilid ng gilid ay hindi patayo sa mga eroplanong ito, ngunit parallel sa bawat isa. Ang mga gilid na mukha ay paralelograms.
- isang prisma kung saan ang lahat ng lateral edge ay patayo sa base. Sa isang kanang prisma, ang mga gilid ng gilid ay ang taas. Ang mga gilid na mukha ng isang tuwid na prisma ay mga parihaba. At ang lugar at perimeter ng base ay pantay, ayon sa pagkakabanggit, sa lugar at perimeter ng patayo na seksyon (para sa isang tuwid na prisma, sa pangkalahatan, ang buong patayo na seksyon ay ang parehong figure bilang base). Samakatuwid, ang lugar ng lateral surface ng isang tuwid na prisma ay katumbas ng produkto ng perimeter ng base at ang haba ng lateral edge (o, sa kasong ito, ang taas ng prisma):

saan: P base - ang perimeter ng base ng isang tuwid na prisma, l- ang haba ng lateral edge, katumbas ng isang tuwid na prisma sa taas ( h). Ang dami ng isang tuwid na prisma ay matatagpuan sa pangkalahatang pormula: V = S pangunahing ∙ h = S pangunahing ∙ l.

Tamang prisma- isang prisma sa base kung saan matatagpuan ang isang regular na polygon (iyon ay, isa kung saan ang lahat ng panig at lahat ng mga anggulo ay pantay sa bawat isa), at ang mga gilid ng gilid ay patayo sa mga eroplano ng base. Mga halimbawa ng tamang prisma:

Mga katangian ng tamang prisma:

Ang mga base ng isang regular na prisma ay mga regular na polygon.
Ang mga gilid na mukha ng isang regular na prisma ay pantay na mga parihaba.
Ang mga gilid na gilid ng isang regular na prisma ay pantay sa bawat isa.
Ang tamang prisma ay tuwid.

Kahulugan: Parallelepiped - Ito ay isang prisma na ang mga base ay parallelograms. Sa kahulugang ito, ang pangunahing salita ay "prisma". Kaya, ang isang parallelepiped ay isang espesyal na kaso ng isang prisma, na naiiba lamang sa pangkalahatang kaso dahil ang base nito ay hindi isang arbitrary na polygon, ngunit isang paralelogram. Samakatuwid, ang lahat ng mga katangian sa itaas, mga formula at mga kahulugan tungkol sa prisma ay nananatiling may kaugnayan para sa parallelepiped. Gayunpaman, mayroong ilang mga karagdagang katangian na katangian ng parallelepiped.

Iba pang mga katangian at kahulugan:

Dalawang mukha ng parallelepiped na walang karaniwang gilid ay tinatawag kabaligtaran, at pagkakaroon ng isang karaniwang gilid - kaugnay.
Dalawang vertices ng parallelepiped na hindi kabilang sa parehong mukha ay tinatawag kabaligtaran.
Tinatawag ang isang segment ng linya na nagdudugtong sa tapat ng mga vertex dayagonal parallelepiped.
Ang parallelepiped ay may anim na mukha at lahat ng mga ito ay parallelograms.
Ang kabaligtaran ng mga mukha ng parallelepiped ay pantay at parallel sa mga pares.
Ang parallelepiped ay may apat na diagonal; lahat sila ay bumalandra sa isang punto, at bawat isa sa kanila ay nahahati sa puntong iyon.
Kung ang apat na gilid na mukha ng isang parallelepiped ay mga parihaba (at ang mga base ay arbitrary parallelograms), kung gayon ito ay tinatawag na direkta(sa kasong ito, tulad ng sa isang tuwid na prisma, ang lahat ng mga gilid na gilid ay patayo sa mga base). Ang lahat ng mga katangian at formula para sa isang tuwid na prisma ay may kaugnayan para sa isang kanang parallelepiped.
Ang parallelepiped ay tinatawag pahilig kung hindi lahat ng side face nito ay parihaba.
Dami ng isang tuwid o pahilig na kahon ay kinakalkula ng pangkalahatang formula para sa dami ng isang prisma, i.e. ay katumbas ng produkto ng lugar ng base ng parallelepiped at ang taas nito ( V = S pangunahing ∙ h).
Ang kanang parallelepiped, kung saan ang lahat ng anim na mukha ay mga parihaba (ibig sabihin, bilang karagdagan sa mga gilid na mukha, ang mga base ay parihaba din), ay tinatawag na hugis-parihaba. Para sa isang cuboid, ang lahat ng mga katangian ng isang cuboid ay may kaugnayan, pati na rin ang:
- d at ang kanyang tadyang a, b, c nauugnay sa ratio:

d 2 = a 2 + b 2 + c 2 .

- Mula sa pangkalahatang formula para sa dami ng isang prisma, ang sumusunod na formula ay maaaring makuha para sa dami ng isang cuboid:

Ang isang parihabang parallelepiped na ang lahat ng mga mukha ay pantay na mga parisukat ay tinatawag kubo. Sa iba pang mga bagay, ang kubo ay isang regular na quadrangular prism, at sa pangkalahatan ay isang regular na polyhedron. Para sa isang kubo, ang lahat ng mga katangian ng isang parihabang parallelepiped at ang mga katangian ng mga regular na prism ay wasto, pati na rin ang:
- Ganap na lahat ng mga gilid ng isang kubo ay pantay-pantay sa bawat isa.
- kubo pahilis d at ang haba ng gilid nito a nauugnay sa ratio:

Mula sa formula para sa dami ng isang parihabang parallelepiped, maaaring makuha ng isa ang sumusunod na formula para sa dami ng kubo:

Pyramid

Mga Kahulugan:

Pyramid ay isang polyhedron na ang base ay isang polygon at ang natitirang mga mukha ay mga tatsulok na may isang karaniwang vertex. Ayon sa bilang ng mga sulok ng base, ang mga pyramids ay triangular, quadrangular, at iba pa. Ang figure ay nagpapakita ng mga halimbawa: quadrangular at hexagonal pyramids.

Base ay isang polygon kung saan hindi nabibilang ang vertex ng pyramid. Sa pagguhit, ang base ay BCDE.
Ang mga mukha maliban sa base ay tinatawag lateral. Sa pagguhit ito ay: ABC, ACD, ADE At AEB.
Ang karaniwang vertex ng mga gilid na mukha ay tinatawag tuktok ng pyramid(tumpak na tuktok ng buong pyramid, at hindi lamang tuktok, tulad ng lahat ng iba pang mga taluktok). Sa pagguhit nito A.
Ang mga gilid na nag-uugnay sa tuktok ng pyramid sa tuktok ng base ay tinatawag lateral. Sa pagguhit ito ay: AB, AC, AD At AE.
Tinutukoy ang pyramid, una nilang tinawag ang tuktok nito, at pagkatapos - ang mga tuktok ng base. Para sa isang pyramid mula sa isang guhit, ang pagtatalaga ay ang mga sumusunod: ABCDE.

taasmga pyramid tinatawag na perpendikular na iginuhit mula sa tuktok ng pyramid hanggang sa base nito. Ang haba ng perpendikular na ito ay tinutukoy ng titik H. Sa drawing, ang taas ay AG. Tandaan: lamang kung ang pyramid ay isang regular na quadrangular pyramid (tulad ng sa pagguhit), ang taas ng pyramid ay bumaba sa dayagonal ng base. Sa ibang mga kaso, hindi ito ang kaso. Sa pangkalahatang kaso, para sa isang arbitrary na pyramid, ang punto ng intersection ng taas at base ay maaaring kahit saan.
Apothem - taas ng gilid ng gilid tama pyramid na iginuhit mula sa tuktok nito. Sa pagguhit, halimbawa, AF.
Diagonal na seksyon ng isang pyramid- seksyon ng pyramid, na dumadaan sa tuktok ng pyramid at ang dayagonal ng base. Sa pagguhit, halimbawa, ACE.

Isa pang stereometric drawing na may mga simbolo para sa mas mahusay na pagsasaulo(sa figure, ang tamang triangular pyramid):

Kung lahat ng gilid ng gilid ( SA, SB, SC, SD sa pagguhit sa ibaba) ang mga pyramid ay pantay, pagkatapos:

Ang isang bilog ay maaaring ilarawan malapit sa base ng pyramid, at ang tuktok ng pyramid ay inaasahang papunta sa gitna nito (punto O). Sa ibang salita, taas (linya KAYA), ibinaba mula sa tuktok ng naturang pyramid hanggang sa base ( A B C D), ay bumabagsak sa gitna ng circumscribed na bilog sa paligid ng base, i.e. sa punto ng intersection ng perpendicular midpoints ng base.
Ang mga tadyang sa gilid ay bumubuo ng pantay na mga anggulo sa base plane (sa pagguhit sa ibaba, ito ang mga anggulo SAO, SBO, SCO, SDO).

Mahalaga: Totoo rin ang kabaligtaran, iyon ay, kung ang mga gilid ng gilid ay bumubuo ng pantay na mga anggulo sa base plane, o kung ang isang bilog ay maaaring ilarawan malapit sa base ng pyramid, at ang tuktok ng pyramid ay inaasahang papunta sa gitna nito, pagkatapos ay ang lahat ng panig. ang mga gilid ng pyramid ay pantay.

Kung ang mga gilid na mukha ay nakahilig sa base plane sa isang anggulo (ang mga sulok DMN, DKN, DLN sa pagguhit sa ibaba ay pantay-pantay), pagkatapos:

Ang isang bilog ay maaaring nakasulat sa base ng pyramid, at ang tuktok ng pyramid ay ipapakita sa gitna nito (punto N). Sa ibang salita, taas (linya DN), na ibinaba mula sa tuktok ng naturang pyramid hanggang sa base, ay nahuhulog sa gitna ng bilog na nakasulat sa base, i.e. hanggang sa punto ng intersection ng mga bisector ng base.
Ang taas ng mga gilid na mukha (apothems) ay pantay. Sa guhit sa ibaba DK, DL, DM- pantay na apothems.
Ang lateral surface area ng naturang pyramid katumbas ng kalahati ng produkto ng perimeter ng base at ang taas ng gilid na mukha (apothem).

saan: P- perimeter ng base, a- haba ng apothem.

Mahalaga: Totoo rin ang kabaligtaran, iyon ay, kung ang isang bilog ay maaaring nakasulat sa base ng pyramid, at ang tuktok ng pyramid ay ipapakita sa gitna nito, kung gayon ang lahat ng mga gilid na mukha ay nakakiling sa base na eroplano sa parehong anggulo at ang ang taas ng mga gilid na mukha (apothem) ay pantay.

Tamang pyramid

Kahulugan: Ang pyramid ay tinatawag tama, kung ang base nito ay isang regular na polygon, at ang vertex ay inaasahang papunta sa gitna ng base. Pagkatapos ay mayroon itong mga sumusunod na katangian:

Ang lahat ng gilid na gilid ng isang regular na pyramid ay pantay.
Ang lahat ng mga gilid na mukha ng isang regular na pyramid ay nakakiling sa eroplano ng base sa isang anggulo.

Mahalagang paalaala: Gaya ng nakikita mo, ang mga regular na pyramids ay isa sa mga pyramids na kinabibilangan ng mga katangiang inilarawan sa itaas. Sa katunayan, kung ang base ng isang regular na pyramid ay isang regular na polygon, kung gayon ang gitna ng naka-inscribe at circumscribed na mga bilog nito ay nag-tutugma, at ang tuktok ng isang regular na pyramid ay tiyak na inaasahang papunta sa sentro na ito (sa kahulugan). Gayunpaman, mahalagang maunawaan iyon hindi lang tama Ang mga pyramid ay maaaring magkaroon ng mga katangiang nabanggit sa itaas.

Sa isang regular na pyramid, ang lahat ng mga gilid na mukha ay pantay na isosceles triangles.
Sa anumang regular na pyramid, maaari mong isulat ang isang globo at ilarawan ang isang globo sa paligid nito.
Ang lugar ng lateral surface ng isang regular na pyramid ay katumbas ng kalahati ng produkto ng perimeter ng base at ang apothem.

Mga formula para sa dami at lugar ng isang pyramid

Teorama(sa dami ng mga pyramids na may pantay na taas at pantay na lugar ng mga base). Ang dalawang pyramid na may pantay na taas at pantay na lugar ng mga base ay may pantay na volume (siyempre, malamang na alam mo na ang formula para sa volume ng isang pyramid, mabuti, o nakikita mo ito ng ilang linya sa ibaba, at ang pahayag na ito ay tila halata sa iyo, ngunit sa katunayan, ang paghusga "sa mata", kung gayon ang teorama na ito ay hindi masyadong halata (tingnan ang figure sa ibaba). Sa pamamagitan ng paraan, ito ay nalalapat din sa iba pang polyhedra at geometric na mga hugis: ang kanilang hitsura ay mapanlinlang, samakatuwid, sa katunayan, sa matematika mo kailangang magtiwala lamang sa mga formula at tamang kalkulasyon).

dami ng pyramid maaaring kalkulahin gamit ang formula:

saan: S base ay ang lugar ng base ng pyramid, h ay ang taas ng pyramid.

Lateral na ibabaw ng pyramid ay katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng mga gilid na mukha. Para sa lugar ng lateral surface ng pyramid, maaaring pormal na isulat ng isa ang sumusunod na stereometric formula:

saan: S side-side surface area, S 1 , S 2 , S 3 - mga lugar ng mga gilid na mukha.

Buong ibabaw ng pyramid katumbas ng kabuuan ng lugar ng lateral surface at ang lugar ng base:

Mga Kahulugan:

- ang pinakasimpleng polyhedron, ang mga mukha nito ay apat na tatsulok, sa madaling salita, isang tatsulok na pyramid. Para sa isang tetrahedron, alinman sa mga mukha nito ay maaaring magsilbing base. Sa kabuuan, ang isang tetrahedron ay may 4 na mukha, 4 na vertex at 6 na gilid.
Ang tetrahedron ay tinatawag tama kung ang lahat ng mukha nito ay equilateral triangles. Para sa isang regular na tetrahedron:
1. Ang lahat ng mga gilid ng isang regular na tetrahedron ay pantay.
2. Ang lahat ng mga mukha ng isang regular na tetrahedron ay pantay sa bawat isa.
3. Ang mga perimeter, lugar, taas at lahat ng iba pang elemento ng lahat ng mukha ay pantay-pantay sa bawat isa.

Ang pagguhit ay nagpapakita ng isang regular na tetrahedron, habang ang mga tatsulok ABC, ADC, CBD, masama ay pantay-pantay. Mula sa pangkalahatang mga formula para sa dami at mga lugar ng pyramid, pati na rin ang kaalaman mula sa planimetry, hindi mahirap makakuha ng mga formula para sa dami at lugar ng isang regular na tetrahedron(ngunit- haba ng tadyang):

Kahulugan: Kapag nilulutas ang mga problema sa stereometry, tinatawag ang pyramid hugis-parihaba, kung ang isa sa mga gilid na gilid ng pyramid ay patayo sa base. Sa kasong ito, ang gilid na ito ay ang taas ng pyramid. Nasa ibaba ang mga halimbawa ng triangular at pentagonal rectangular pyramids. Ang larawan sa kaliwa SA ay isang gilid na isa ding taas.

Pinutol na pyramid

Mga kahulugan at katangian:

pinutol na pyramid ay tinatawag na polyhedron na nakapaloob sa pagitan ng base ng pyramid at isang cutting plane na parallel sa base nito.
Ang figure na nakuha sa intersection ng cutting plane at ang orihinal na pyramid ay tinatawag din batayan pinutol na pyramid. Kaya, ang pinutol na pyramid sa pagguhit ay may dalawang base: ABC At A 1 B 1 C 1 .
Ang mga gilid na mukha ng pinutol na pyramid ay mga trapezoid. Sa pagguhit, halimbawa, AA 1 B1B.
Ang mga lateral na gilid ng pinutol na pyramid ay tinatawag na mga bahagi ng mga gilid ng orihinal na pyramid, na nakapaloob sa pagitan ng mga base. Sa pagguhit, halimbawa, AA 1 .
Ang taas ng isang pinutol na pyramid ay isang patayo (o ang haba ng patayo na ito) na iginuhit mula sa isang punto sa eroplano ng isang base hanggang sa eroplano ng kabilang base.
Ang pinutol na pyramid ay tinatawag tama, kung ito ay isang polyhedron na pinutol ng isang eroplanong parallel sa base tama mga pyramid.
Ang mga base ng isang regular na pinutol na pyramid ay mga regular na polygon.
Ang mga gilid na mukha ng isang regular na pinutol na pyramid ay isosceles trapezoids.
apothem ang isang regular na pinutol na pyramid ay tinatawag na taas ng lateral na mukha nito.
Ang lugar ng lateral surface ng truncated pyramid ay ang kabuuan ng mga lugar ng lahat ng lateral faces nito.

Mga formula para sa pinutol na pyramid

Ang dami ng pinutol na pyramid ay:

saan: S 1 at S 2 - base na lugar, h ay ang taas ng pinutol na pyramid. Gayunpaman, sa pagsasagawa, ito ay mas maginhawa upang maghanap para sa dami ng isang pinutol na pyramid tulad ng sumusunod: maaari mong kumpletuhin ang pinutol na pyramid sa pyramid, pagpapalawak ng mga gilid na gilid sa intersection. Pagkatapos ang dami ng pinutol na pyramid ay makikita bilang ang pagkakaiba sa pagitan ng mga volume ng buong pyramid at ang nakumpletong bahagi. Ang lateral surface area ay maaari ding matagpuan bilang ang pagkakaiba sa pagitan ng lateral surface area ng buong pyramid at ang nakumpletong bahagi. Lateral surface area ng isang regular na pinutol na pyramid ay katumbas ng kalahating produkto ng kabuuan ng mga perimeter ng mga base nito at ang apothem:

saan: P 1 at P 2 - base perimeter tama pinutol na pyramid, ngunit- haba ng apothem. Ang kabuuang lugar sa ibabaw ng anumang pinutol na pyramid ay malinaw na matatagpuan bilang ang kabuuan ng mga lugar ng mga base at ang lateral surface:

Pyramid at bola (sphere)

Teorama: Sa paligid ng pyramid ilarawan ang saklaw kapag nasa base ng pyramid ang isang nakasulat na polygon (i.e., isang polygon sa paligid kung saan maaaring ilarawan ang isang globo). Ang kundisyong ito ay kailangan at sapat. Ang gitna ng globo ay magiging punto ng intersection ng mga eroplano na dumadaan sa mga midpoint ng mga gilid ng pyramid na patayo sa kanila.

Puna: Ito ay sumusunod mula sa teorem na ito na ang isang globo ay maaaring ilarawan kapwa sa paligid ng anumang tatsulok at sa paligid ng anumang regular na pyramid. Gayunpaman, ang listahan ng mga pyramids na malapit sa kung saan maaaring ilarawan ang isang globo ay hindi limitado sa mga ganitong uri ng pyramids. Sa drawing sa kanan, sa taas SH kailangang pumili ng isang punto TUNGKOL SA, katumbas ng layo mula sa lahat ng vertices ng pyramid: KAYA = OB = OS = OD = OA. Pagkatapos ang punto TUNGKOL SA ay ang sentro ng circumscribed sphere.

Teorama: Kaya mo sa pyramid isulat ang isang globo kapag ang mga bisector plane ng panloob na dihedral na anggulo ng pyramid ay nagsalubong sa isang punto (isang kinakailangan at sapat na kondisyon). Ang puntong ito ang magiging sentro ng globo.

Komento: Halatang hindi mo naintindihan ang nabasa mo sa linya sa itaas. Gayunpaman, mahalagang tandaan iyon anumang regular na pyramid ay isa kung saan maaaring isulat ang isang globo. Kasabay nito, ang listahan ng mga pyramids kung saan maaaring isulat ang isang globo ay hindi nauubos ng mga tama.

Kahulugan: Bisector plane hinahati ang dihedral angle sa kalahati, at ang bawat punto ng bisector plane ay equidistant mula sa mga mukha na bumubuo ng dihedral angle. Ang pigura sa kanang eroplano γ ay ang bisector plane ng dihedral angle na nabuo ng mga eroplano α At β .

Ang stereometric drawing sa ibaba ay nagpapakita ng isang bola na nakasulat sa isang pyramid (o isang pyramid na inilarawan malapit sa bola), habang ang punto TUNGKOL SA ay ang sentro ng inscribed na globo. Ang puntong ito TUNGKOL SA katumbas ng layo mula sa lahat ng mukha ng bola, halimbawa:

OM = OO 1

pyramid at kono

Sa stereometry ang isang kono ay tinatawag na nakasulat sa isang pyramid, kung ang kanilang mga vertices ay nag-tutugma, at ang base nito ay nakasulat sa base ng pyramid. Bukod dito, posible na mag-inscribe ng isang kono sa isang pyramid lamang kapag ang mga apothems ng pyramid ay katumbas ng bawat isa (isang kinakailangan at sapat na kondisyon).

Ang kono ay tinatawag na nakasulat malapit sa pyramid kapag ang kanilang mga vertices ay nag-tutugma, at ang base nito ay inilarawan malapit sa base ng pyramid. Bukod dito, posible na ilarawan ang isang kono malapit sa pyramid lamang kapag ang lahat ng mga gilid na gilid ng pyramid ay pantay sa bawat isa (isang kinakailangan at sapat na kondisyon).

Mahalagang ari-arian:

pyramid at silindro

Sinasabing ang silindro ay nakasulat sa isang pyramid, kung ang isa sa mga base nito ay tumutugma sa bilog ng isang eroplano na nakasulat sa seksyon ng pyramid, parallel sa base, at ang isa pang base ay kabilang sa base ng pyramid.

Ang silindro ay sinasabing nakapaligid malapit sa pyramid, kung ang tuktok ng pyramid ay kabilang sa isa sa mga base nito, at ang iba pang base nito ay inilalarawan malapit sa base ng pyramid. Bukod dito, posible lamang na ilarawan ang isang silindro malapit sa pyramid kapag may nakasulat na polygon sa base ng pyramid (isang kinakailangan at sapat na kondisyon).

Sphere at bola

Mga Kahulugan:

Sphere- isang saradong ibabaw, ang locus ng mga puntos sa espasyo na katumbas ng layo mula sa isang naibigay na punto, na tinatawag ang sentro ng globo. Ang sphere ay isa ring katawan ng rebolusyon na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng kalahating bilog sa palibot ng diameter nito. radius ng globo ay tinatawag na segment na nag-uugnay sa gitna ng globo sa anumang punto ng globo.
Chordoy Ang globo ay isang segment na nag-uugnay sa dalawang punto sa globo.
diameter ang globo ay tinatawag na chord na dumadaan sa gitna nito. Hinahati ng gitna ng isang globo ang alinman sa mga diyametro nito sa dalawang pantay na bahagi. Anumang sphere diameter na may radius R ay 2 R.
bola- geometric na katawan; ang hanay ng lahat ng mga punto sa espasyo na nasa layo na hindi hihigit sa isang tinukoy na distansya mula sa isang tiyak na sentro. Ang distansyang ito ay tinatawag radius ng bola. Ang isang bola ay nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng kalahating bilog sa paligid ng nakapirming diameter nito. Tandaan: ang ibabaw (o hangganan) ng isang globo ay tinatawag na isang globo. Posibleng ibigay ang sumusunod na kahulugan ng isang bola: ang isang geometric na katawan ay tinatawag na isang bola, na binubuo ng isang globo at isang bahagi ng espasyo na nakatali sa globo na ito.
Radius, chord At diameter Ang bola ay tinatawag na radius, chord at diameter ng sphere, na siyang hangganan ng bolang ito.
Ang pagkakaiba sa pagitan ng isang bola at isang globo ay katulad ng pagkakaiba sa pagitan ng isang bilog at isang bilog. Ang bilog ay isang linya, at ang bilog ay lahat din ng mga punto sa loob ng linyang ito. Ang sphere ay isang shell, at ang bola ay ang lahat ng mga punto sa loob ng shell na ito.
Ang eroplano na dumadaan sa gitna ng globo (bola) ay tinatawag diametral na eroplano.
Ang isang seksyon ng isang globo (bola) sa pamamagitan ng isang diametral na eroplano ay tinatawag malaking bilog (malaking bilog).

Theorems:

Teorama 1(sa seksyon ng isang globo sa pamamagitan ng isang eroplano). Ang seksyon ng isang sphere sa pamamagitan ng isang eroplano ay isang bilog. Tandaan na ang assertion ng theorem ay nananatiling totoo kahit na ang eroplano ay dumaan sa gitna ng globo.
Teorama 2(sa seksyon ng isang globo sa pamamagitan ng isang eroplano). Ang seksyon ng isang bola sa pamamagitan ng isang eroplano ay isang bilog, at ang base ng patayo na iginuhit mula sa gitna ng bola hanggang sa eroplano ng seksyon ay ang sentro ng bilog na nakuha sa seksyon.

Ang pinakamalaking bilog, mula sa mga maaaring makuha sa isang seksyon ng isang ibinigay na bola sa pamamagitan ng isang eroplano, ay nasa isang seksyon na dumadaan sa gitna ng bola. TUNGKOL SA. Ito ay tinatawag na malaking bilog. Ang radius nito ay katumbas ng radius ng globo. Anumang dalawang malalaking bilog ay nagsalubong sa diameter ng bola AB. Ang diameter na ito ay ang diameter din ng mga intersecting na malalaking bilog. Sa pamamagitan ng dalawang punto ng isang spherical na ibabaw na matatagpuan sa mga dulo ng parehong diameter (sa Fig. A At B), maaari kang gumuhit ng walang katapusang bilang ng mga mahuhusay na bilog. Halimbawa, ang isang walang katapusang bilang ng mga meridian ay maaaring iguhit sa pamamagitan ng mga pole ng Earth.

Mga Kahulugan:

Padaplis na eroplano sa sphere ay tinatawag na isang eroplano na mayroon lamang isang karaniwang punto sa globo, at ang kanilang karaniwang punto ay tinatawag na punto ng kontak ng eroplano at ng globo.
Padaplis na eroplano sa bola ay tinatawag na tangent plane sa sphere, na siyang hangganan ng bolang ito.
Anumang linya na nakahiga sa tangent plane ng sphere (bola) at dumadaan sa punto ng contact ay tinatawag padaplis sa isang tuwid na linya sa isang globo (bola). Sa pamamagitan ng kahulugan, ang tangent plane ay mayroon lamang isang karaniwang punto sa globo, samakatuwid, ang tangent line ay mayroon ding isang karaniwang punto sa globo - ang punto ng contact.

Theorems:

Teorama 1(sign ng tangent plane sa globo). Ang isang eroplanong patayo sa radius ng globo at dumadaan sa dulo nito na nakahiga sa globo ay nakadikit sa globo.
Teorama 2(sa pag-aari ng tangent plane sa globo). Ang tangent plane sa sphere ay patayo sa radius na iginuhit sa punto ng contact.

Polyhedra at ang globo

Kahulugan: Sa stereometry, tinatawag ang polyhedron (tulad ng pyramid o prism). nakasulat sa saklaw kung ang lahat ng vertex nito ay nasa isang globo. Sa kasong ito, ang globo ay tinatawag na circumscribed malapit sa isang polyhedron (pyramids, prisms). Katulad nito: tinatawag ang polyhedron nakasulat sa isang bola kung ang lahat ng vertices nito ay nasa hangganan ng bolang ito. Sa kasong ito, ang bola ay sinasabing naka-inscribe malapit sa polyhedron.

Mahalagang ari-arian: Ang gitna ng globo na nakapaligid sa polyhedron ay nasa layo na katumbas ng radius R spheres, mula sa bawat vertex ng polyhedron. Narito ang mga halimbawa ng polyhedra na nakasulat sa globo:

Kahulugan: Ang polyhedron ay tinatawag inilarawan tungkol sa globo (bola), kung ang globo (bola) ay dumampi lahat mga mukha ng polyhedron. Sa kasong ito, ang globo at ang bola ay tinatawag na nakasulat sa polyhedron.

Mahalaga: Ang gitna ng isang sphere na nakasulat sa isang polyhedron ay nasa layo na katumbas ng radius r mga sphere, mula sa bawat isa sa mga eroplano na naglalaman ng mga mukha ng polyhedron. Narito ang mga halimbawa ng polyhedra na inilarawan malapit sa globo:

Dami at lugar ng ibabaw ng isang globo

Theorems:

Teorama 1(tungkol sa lugar ng globo). Ang lugar ng isang globo ay:

saan: R ay ang radius ng globo.

Teorama 2(tungkol sa dami ng bola). Ang dami ng isang globo na may radius R kinakalkula ng formula:

Bahagi ng bola, layer, sektor

Sa stereometry segment ng bola tinatawag na bahagi ng bola na pinutol ng cutting plane. Sa kasong ito, ang ratio sa pagitan ng taas, ang radius ng base ng segment at ang radius ng bola:

saan: h− taas ng segment, r− segment base radius, R− radius ng bola. Ang lugar ng base ng spherical segment:

Ang lugar ng panlabas na ibabaw ng spherical segment:

Buong ibabaw ng bahagi ng bola:

Dami ng bahagi ng bola:

Sa stereometry spherical layer Ang bahagi ng isang globo na nakapaloob sa pagitan ng dalawang magkatulad na eroplano ay tinatawag. Ang lugar ng panlabas na ibabaw ng spherical layer:

saan: h ay ang taas ng spherical layer, R− radius ng bola. Buong ibabaw na lugar ng spherical layer:

saan: h ay ang taas ng spherical layer, R− radius ng bola, r 1 , r Ang 2 ay ang radii ng mga base ng spherical layer, S 1 , S 2 ang mga lugar ng mga baseng ito. Ang volume ng isang spherical layer ay pinakasimpleng makikita bilang ang pagkakaiba sa pagitan ng mga volume ng dalawang spherical na segment.

Sa stereometry sektor ng bola tinatawag na bahagi ng bola, na binubuo ng isang spherical segment at isang kono na may vertex sa gitna ng bola at isang base na tumutugma sa base ng spherical segment. Dito ipinapalagay na ang segment ng bola ay mas mababa sa kalahati ng bola. Buong ibabaw na lugar ng spherical sector:

saan: h ay ang taas ng kaukulang spherical segment, r ay ang radius ng base ng spherical segment (o cone), R− radius ng bola. Ang dami ng spherical sector ay kinakalkula ng formula:

Mga Kahulugan:

Sa ilang eroplano, isaalang-alang ang isang bilog na may gitna O at radius R. Sa bawat punto ng bilog ay gumuhit kami ng isang linya na patayo sa eroplano ng bilog. Cylindrical na ibabaw ang pigura na nabuo ng mga linyang ito ay tinatawag, at ang mga linya mismo ay tinatawag na bumubuo ng isang cylindrical na ibabaw. Ang lahat ng mga generator ng isang cylindrical na ibabaw ay parallel sa bawat isa, dahil sila ay patayo sa eroplano ng bilog.

Tuwid na pabilog na silindro o simple lang silindro tinatawag na isang geometric na katawan na napapalibutan ng isang cylindrical na ibabaw at dalawang parallel na eroplano na patayo sa mga generator ng cylindrical na ibabaw. Sa di-pormal, maaari mong isipin ang isang silindro bilang isang tuwid na prisma na may bilog sa base. Makakatulong ito upang madaling maunawaan at, kung kinakailangan, makakuha ng mga formula para sa dami at lugar ng lateral surface ng cylinder.
Gilid na ibabaw ng silindro ang bahagi ng cylindrical na ibabaw na matatagpuan sa pagitan ng mga cutting plane na patayo sa generatrix nito ay tinatawag, at ang mga bahagi (bilog) na pinutol ng cylindrical na ibabaw sa parallel na mga eroplano ay tinatawag mga base ng silindro. Ang mga base ng silindro ay dalawang pantay na bilog.
Cylinder generatrix tinatawag na isang segment (o ang haba ng segment na ito) ng generatrix ng isang cylindrical na ibabaw, na matatagpuan sa pagitan ng mga parallel na eroplano kung saan ang mga base ng cylinder ay namamalagi. Ang lahat ng mga generator ng silindro ay parallel at pantay sa bawat isa, at patayo din sa mga base.
Cylinder axis tinatawag na segment na nag-uugnay sa mga sentro ng mga bilog na mga base ng silindro.
taas ng silindro tinatawag na patayo (o ang haba ng patayo na ito), na iginuhit mula sa isang punto sa eroplano ng isang base ng silindro hanggang sa eroplano ng kabilang base. Sa isang silindro, ang taas ay katumbas ng generatrix.
Radius ng silindro ay tinatawag na radius ng mga base nito.
Ang silindro ay tinatawag equilateral kung ang taas nito ay katumbas ng diameter ng base.
Ang isang silindro ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang parihaba sa paligid ng isa sa mga gilid nito nang 360°.
Kung ang cutting plane ay parallel sa axis ng cylinder, kung gayon ang seksyon ng cylinder ay isang rectangle, ang dalawang gilid nito ay mga generator, at ang iba pang dalawa ay ang mga chord ng mga base ng cylinder.
Seksyon ng axial Ang silindro ay isang seksyon ng isang silindro sa pamamagitan ng isang eroplanong dumadaan sa axis nito. Ang seksyon ng axial ng isang silindro ay isang parihaba, ang dalawang gilid nito ay mga generator ng silindro, at ang iba pang dalawa ay ang mga diameter ng mga base nito.
Kung ang cutting plane ay patayo sa axis ng silindro, kung gayon ang isang bilog ay nabuo sa seksyon na katumbas ng mga base. Sa pagguhit sa ibaba: sa kaliwa - seksyon ng ehe; sa gitna - isang seksyon na kahanay sa axis ng silindro; sa kanan - isang seksyon na kahanay sa base ng silindro.

Silindro at prisma

Sinasabing ang isang prisma ay nakasulat sa isang silindro kung ang mga base nito ay nakasulat sa mga base ng silindro. Sa kasong ito, ang silindro ay sinasabing circumscribed tungkol sa isang prisma. Ang taas ng prisma at ang taas ng silindro sa kasong ito ay magiging pantay. Ang lahat ng mga gilid na gilid ng prisma ay kabilang sa gilid na ibabaw ng silindro at nag-tutugma sa mga generator nito. Dahil sa isang silindro ang ibig nating sabihin ay isang tuwid na silindro lamang, isang tuwid na prisma lamang ang maaari ding isulat sa naturang silindro. Mga halimbawa:

Ang isang prisma ay sinasabing nakapaligid sa isang silindro, kung ang mga base nito ay inilarawan malapit sa mga base ng silindro. Sa kasong ito, ang silindro ay sinasabing nakasulat sa isang prisma. Ang taas ng prisma at ang taas ng silindro sa kasong ito ay magiging pantay din. Ang lahat ng gilid na gilid ng prism ay magiging parallel sa generatrix ng cylinder. Dahil ang ibig sabihin ng isang silindro ay isang tuwid na silindro lamang, ang gayong silindro ay maaari lamang isulat sa isang tuwid na prisma. Mga halimbawa:

Silindro at globo

Ang isang sphere (bola) ay tinatawag na nakasulat sa isang silindro kung hinawakan nito ang mga base ng silindro at bawat isa sa mga generator nito. Sa kasong ito, ang silindro ay tinatawag na circumscribed tungkol sa isang globo (bola). Ang isang sphere ay maaaring isulat sa isang silindro kung ito ay isang equilateral na silindro, i.e. ang base diameter at taas nito ay pantay. Ang gitna ng inscribed sphere ay ang gitna ng axis ng cylinder, at ang radius ng sphere na ito ay mag-tutugma sa radius ng cylinder. Halimbawa:

Sinasabing ang silindro ay nakasulat sa isang sphere, kung ang mga bilog ng mga base ng silindro ay mga seksyon ng globo. Ang isang silindro ay sinasabing naka-inscribe sa isang sphere kung ang mga base ng cylinder ay mga seksyon ng sphere. Sa kasong ito, ang bola (sphere) ay tinatawag na nakasulat malapit sa silindro. Ang isang globo ay maaaring ilarawan sa paligid ng anumang silindro. Ang gitna ng inilarawang globo ay magiging gitna din ng axis ng silindro. Halimbawa:

Batay sa Pythagorean theorem, madaling patunayan ang sumusunod na formula na nauugnay sa radius ng circumscribed sphere ( R), taas ng silindro ( h) at radius ng silindro ( r):

Dami at lugar ng lateral at buong ibabaw ng silindro

Teorama 1(tungkol sa lugar ng lateral surface ng isang cylinder): Ang lugar ng lateral surface ng isang cylinder ay katumbas ng produkto ng circumference ng base nito at ang taas:

saan: R ay ang radius ng base ng silindro, h- ang kanyang mataas. Ang formula na ito ay madaling makuha (o napatunayan) batay sa formula para sa lateral surface area ng isang tuwid na prisma.

Buong ibabaw na lugar ng silindro, gaya ng dati sa stereometry, ay ang kabuuan ng mga lugar ng lateral surface at ang dalawang base. Ang lugar ng bawat base ng silindro (i.e. ang lugar lamang ng isang bilog) ay kinakalkula ng formula:

Samakatuwid, ang kabuuang lugar ng ibabaw ng silindro S puno na Ang silindro ay kinakalkula ng formula:

Teorama 2(tungkol sa dami ng isang silindro): Ang dami ng isang silindro ay katumbas ng produkto ng lugar ng base at ang taas:

saan: R At h ay ang radius at taas ng silindro, ayon sa pagkakabanggit. Ang formula na ito ay madaling makuha (napatunayan) batay sa pormula para sa dami ng isang prisma.

Teorama 3(Archimedes): Ang volume ng isang sphere ay isa at kalahating beses na mas mababa kaysa sa volume ng silindro na inilarawan sa paligid nito, at ang surface area ng naturang bola ay isa at kalahating beses na mas mababa kaysa sa kabuuang surface area ng ang parehong silindro:

Cone

Mga Kahulugan:

Isang kono (mas tiyak, isang pabilog na kono) tinatawag na katawan, na binubuo ng isang bilog (tinatawag na base ng kono), isang punto na hindi nakahiga sa eroplano ng bilog na ito (tinatawag na tuktok ng kono) at lahat ng posibleng mga segment na nagkokonekta sa tuktok ng kono sa mga punto ng base. Impormal, maaari mong malasahan ang kono bilang isang regular na pyramid, na may bilog sa base. Makakatulong ito upang madaling maunawaan, at kung kinakailangan, kumuha ng mga formula para sa dami at lugar ng lateral surface ng kono.

Ang mga segment (o ang kanilang mga haba) na nag-uugnay sa tuktok ng kono sa mga punto ng bilog ng base ay tinatawag bumubuo ng isang kono. Ang lahat ng mga generator ng isang kanang pabilog na kono ay katumbas ng bawat isa.
Ang ibabaw ng isang kono ay binubuo ng base ng kono (ang bilog) at ang gilid na ibabaw (binubuo ng lahat ng posibleng generator).
Ang unyon ng mga generator ng isang kono ay tinatawag generatrix (o gilid) na ibabaw ng kono. Ang generatrix ng isang cone ay isang conical surface.
Ang kono ay tinatawag direkta kung ang linya na nagkokonekta sa vertex ng kono sa gitna ng base ay patayo sa eroplano ng base. Sa mga sumusunod, isasaalang-alang lamang natin ang tamang kono, na tinatawag itong simpleng kono para sa kaiklian.
Sa paningin, ang isang tuwid na pabilog na kono ay maaaring isipin bilang isang katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang tamang tatsulok sa paligid ng binti nito bilang isang axis. Sa kasong ito, ang lateral surface ng kono ay nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng hypotenuse, at ang base ay nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng binti, na hindi isang axis.
radius ng kono tinatawag na radius ng base nito.
taas ng kono tinatawag na patayo (o ang haba nito), na ibinaba mula sa tuktok nito hanggang sa eroplano ng base. Para sa isang kanang kono, ang base ng taas ay tumutugma sa gitna ng base. Ang axis ng isang right circular cone ay isang tuwid na linya na naglalaman ng taas nito, i.e. isang tuwid na linya na dumadaan sa gitna ng base at sa itaas.
Kung ang cutting plane ay dumaan sa axis ng cone, kung gayon ang seksyon ay isang isosceles triangle, ang base nito ay ang diameter ng base ng cone, at ang mga gilid ay ang generatrix ng cone. Ang ganitong hiwa ay tinatawag ng ehe.

Kung ang cutting plane ay dumaan sa panloob na punto ng taas ng kono at patayo dito, kung gayon ang seksyon ng kono ay isang bilog, ang gitna nito ay ang punto ng intersection ng taas at ang eroplanong ito.
taas ( h), radius ( R) at ang haba ng generatrix ( l) ng isang kanang pabilog na kono ay nakakatugon sa malinaw na kaugnayan:

Dami at lugar ng lateral at buong ibabaw ng kono

Teorama 1(sa lugar ng lateral surface ng kono). Ang lugar ng lateral surface ng kono ay katumbas ng produkto ng kalahati ng circumference ng base at generatrix:

saan: R ay ang radius ng base ng kono, l ay ang haba ng generatrix ng kono. Ang formula na ito ay madaling nakuha (o napatunayan) batay sa formula para sa lateral surface area ng isang regular na pyramid.

Buong ibabaw na lugar ng kono ay ang kabuuan ng lateral surface area at ang base area. Ang lugar ng base ng kono (i.e. ang lugar lamang ng bilog) ay: S base = πR 2. Samakatuwid, ang kabuuang lugar sa ibabaw ng kono S puno na ang kono ay kinakalkula ng formula:

Teorama 2(sa dami ng isang kono). Ang dami ng isang kono ay katumbas ng 1/3 ng base area na pinarami ng taas:

saan: R ay ang radius ng base ng kono, h- ang kanyang mataas. Ang formula na ito ay madaling makuha (napatunayan) batay sa formula para sa dami ng pyramid.

Mga Kahulugan:

Ang isang eroplanong parallel sa base ng isang kono at intersecting ang kono ay pumutol ng isang mas maliit na kono mula dito. Ang natitira ay tinatawag pinutol na kono.

Ang base ng orihinal na kono at ang bilog na nakuha sa seksyon ng kono na ito ng isang eroplano ay tinatawag bakuran, at ang segment na nagkokonekta sa kanilang mga sentro - pinutol na taas ng kono.
Ang tuwid na linya na dumadaan sa taas ng pinutol na kono (i.e. sa mga sentro ng mga base nito) ay ang aksis.
Ang bahagi ng lateral surface ng kono na nagbubuklod sa pinutol na kono ay tinatawag na nito ibabaw ng gilid, at ang mga segment ng generatrix ng kono na matatagpuan sa pagitan ng mga base ng pinutol na kono ay tinatawag nito pagbuo.
Ang lahat ng mga generator ng isang pinutol na kono ay katumbas ng bawat isa.
Ang pinutol na kono ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang hugis-parihaba na trapezoid sa pamamagitan ng 360° sa paligid ng gilid nito na patayo sa mga base.

Mga formula para sa pinutol na kono:

Ang volume ng isang pinutol na kono ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng mga volume ng isang buong kono at isang kono na pinutol ng isang eroplanong parallel sa base ng kono. Ang dami ng pinutol na kono ay kinakalkula ng formula:

saan: S 1 = π r 1 2 at S 2 = π r 2 2 - mga lugar ng mga base, h ay ang taas ng pinutol na kono, r 1 at r 2 - radii ng upper at lower bases ng truncated cone. Gayunpaman, sa pagsasagawa, mas maginhawa pa rin na hanapin ang dami ng pinutol na kono bilang pagkakaiba sa pagitan ng mga volume ng orihinal na kono at ang pinutol na bahagi. Ang lateral surface area ng isang truncated cone ay maaari ding matagpuan bilang pagkakaiba sa pagitan ng lateral surface area ng orihinal na cone at ang cut off na bahagi.

Sa katunayan, ang lugar ng lateral surface ng isang truncated cone ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng mga lugar ng lateral surfaces ng isang full cone at isang cone na pinutol ng isang plane parallel sa base ng cone. Lateral surface area ng isang pinutol na kono kinakalkula ng formula:

saan: P 1 = 2π r 1 at P 2 = 2π r 2 - mga perimeter ng mga base ng isang pinutol na kono, l- ang haba ng generatrix. Kabuuang lugar ng ibabaw ng isang pinutol na kono, malinaw naman, ay matatagpuan bilang kabuuan ng mga lugar ng mga base at ang lateral surface:

Pakitandaan na ang mga formula para sa volume at lugar ng lateral surface ng isang pinutol na kono ay nagmula sa mga formula para sa mga katulad na katangian ng isang regular na pinutol na pyramid.

Kono at globo

Sinasabing ang isang kono ay nakasulat sa isang globo(bola), kung ang vertex nito ay kabilang sa globo (ang hangganan ng bola), at ang circumference ng base (ang base mismo) ay isang seksyon ng globo (bola). Sa kasong ito, ang globo (bola) ay tinatawag na circumscribed malapit sa kono. Ang isang globo ay palaging maaaring ilarawan sa paligid ng isang kanang pabilog na kono. Ang gitna ng circumscribed sphere ay makikita sa isang tuwid na linya na naglalaman ng taas ng cone, at ang radius ng sphere na ito ay magiging katumbas ng radius ng bilog na nakapaligid sa axial section ng cone (ang seksyon na ito ay isang isosceles triangle) . Mga halimbawa:

Ang isang globo (bola) ay tinatawag na nakasulat sa isang kono, kung ang globo (bola) ay dumampi sa base ng kono at bawat isa sa mga generator nito. Sa kasong ito, ang kono ay tinatawag na nakasulat malapit sa globo (bola). Ang isang globo ay maaaring palaging nakasulat sa isang kanang pabilog na kono. Ang sentro nito ay nasa taas ng kono, at ang radius ng inscribed na sphere ay magiging katumbas ng radius ng bilog na nakasulat sa axial section ng cone (ang seksyong ito ay isosceles triangle). Mga halimbawa:

Cone at pyramid

Ang isang kono ay tinatawag na inscribed sa isang pyramid (isang pyramid ay inilalarawan malapit sa isang kono) kung ang base ng kono ay nakasulat sa base ng pyramid, at ang mga vertices ng kono at pyramid ay nagtutugma.
Ang isang pyramid ay tinatawag na nakasulat sa isang kono (ang isang kono ay inilarawan malapit sa isang pyramid) kung ang base nito ay nakasulat sa base ng kono, at ang mga gilid sa gilid ay mga generator ng kono.
Ang taas ng naturang mga cone at pyramids ay pantay-pantay sa bawat isa.

Tandaan: Higit pang mga detalye tungkol sa kung paano sa solid geometry ang isang kono ay umaangkop sa isang pyramid o inilarawan malapit sa isang pyramid ay tinalakay na sa

Paano matagumpay na maghanda para sa CT sa Physics at Mathematics?

Upang matagumpay na makapaghanda para sa CT sa Physics at Mathematics, bukod sa iba pang mga bagay, tatlong kritikal na kondisyon ang dapat matugunan:

Pag-aralan ang lahat ng mga paksa at kumpletuhin ang lahat ng mga pagsusulit at gawain na ibinigay sa mga materyales sa pag-aaral sa site na ito. Upang gawin ito, wala ka talagang kailangan, lalo na: maglaan ng tatlo hanggang apat na oras araw-araw sa paghahanda para sa CT sa pisika at matematika, pag-aaral ng teorya at paglutas ng mga problema. Ang katotohanan ay ang CT ay isang pagsusulit kung saan hindi sapat na malaman lamang ang pisika o matematika, kailangan mo ring mabilis at walang kabiguan na malutas ang isang malaking bilang ng mga problema sa iba't ibang mga paksa at iba't ibang kumplikado. Ang huli ay matututuhan lamang sa pamamagitan ng paglutas ng libu-libong problema.
Alamin ang lahat ng mga formula at batas sa pisika, at mga formula at pamamaraan sa matematika. Sa katunayan, napakasimple rin nitong gawin, mayroon lamang humigit-kumulang 200 na kinakailangang mga pormula sa pisika, at mas kaunti pa sa matematika. Sa bawat isa sa mga paksang ito mayroong humigit-kumulang isang dosenang mga karaniwang pamamaraan para sa paglutas ng mga problema ng isang pangunahing antas ng pagiging kumplikado, na maaari ding matutunan, at sa gayon, ganap na awtomatiko at walang kahirapan, lutasin ang karamihan sa digital na pagbabago sa tamang oras. Pagkatapos nito, kailangan mo lamang isipin ang pinakamahirap na gawain.
Dumalo sa lahat ng tatlong yugto ng rehearsal testing sa physics at mathematics. Ang bawat RT ay maaaring bisitahin ng dalawang beses upang malutas ang parehong mga pagpipilian. Muli, sa DT, bilang karagdagan sa kakayahang mabilis at mahusay na malutas ang mga problema, at kaalaman sa mga pormula at pamamaraan, kinakailangan din na maayos na makapagplano ng oras, mamahagi ng mga puwersa, at higit sa lahat ay punan nang tama ang form ng sagot, nang hindi nalilito ang alinman sa mga bilang ng mga sagot at problema, o ang iyong sariling pangalan. Gayundin, sa panahon ng RT, mahalagang masanay sa istilo ng pagtatanong sa mga gawain, na maaaring mukhang hindi pangkaraniwan sa isang hindi handa na tao sa DT.

Ang matagumpay, masigasig at responsableng pagpapatupad ng tatlong puntong ito ay magbibigay-daan sa iyo na magpakita ng isang mahusay na resulta sa CT, ang maximum ng kung ano ang iyong kaya.

May nakitang error?

Kung ikaw, tulad ng sa tingin mo, ay nakakita ng isang error sa mga materyales sa pagsasanay, mangyaring isulat ang tungkol dito sa pamamagitan ng koreo. Maaari ka ring sumulat tungkol sa error sa social network (). Sa liham, ipahiwatig ang paksa (physics o matematika), ang pangalan o numero ng paksa o pagsusulit, ang bilang ng gawain, o ang lugar sa teksto (pahina) kung saan, sa iyong palagay, mayroong isang pagkakamali. Ilarawan din kung ano ang sinasabing error. Ang iyong liham ay hindi mapapansin, ang pagkakamali ay itatama, o ipapaliwanag sa iyo kung bakit ito ay hindi isang pagkakamali.

\((\color(red)(\textbf(Fact 1. About parallel lines)))\)
\(\bullet\) Dalawang linya sa kalawakan ay parallel kung nakahiga sila sa parehong eroplano at hindi magsalubong.
\(\bullet\) May isang eroplano lamang na dumadaan sa dalawang magkatulad na linya.
\(\bullet\) Kung ang isa sa dalawang parallel na linya ay nag-intersect sa isang eroplano, ang kabilang linya ay nag-intersect din sa eroplanong ito.
\(\bullet\) Kung ang linya \(a\) ay parallel sa linya \(b\) , na kung saan ay parallel sa linya \(c\) , pagkatapos ay \(a\parallel c\) .
\(\bullet\) Hayaang magsalubong ang eroplano \(\alpha\) at \(\beta\) sa kahabaan ng linya \(a\) , ang mga eroplanong \(\beta\) at \(\pi\) ay magsalubong sa kahabaan ng linya \(b \) , ang mga eroplano \(\pi\) at \(\alpha\) ay nagsalubong sa linya \(p\) . Pagkatapos kung \(a\parallel b\) , pagkatapos ay \(p\parallel a\) (o \(p\parallel b\) ):

\((\color(red)(\textbf(Fact 2. About the parallelism of a line and a plane)))\)
\(\bullet\) May tatlong uri ng mutual arrangement ng isang linya at isang eroplano:
1. ang linya ay may dalawang karaniwang mga punto sa eroplano (iyon ay, ito ay namamalagi sa eroplano);
2. ang linya ay may eksaktong isang karaniwang punto sa eroplano (iyon ay, intersects ito sa eroplano);
3. ang linya ay walang karaniwang mga punto sa eroplano (iyon ay, ito ay parallel sa eroplano).
\(\bullet\) Kung ang isang linyang \(a\) ay hindi nakahiga sa eroplano \(\pi\) ay parallel sa ilang linya \(p\) na nakahiga sa eroplano \(\pi\) , kung gayon ito ay parallel sa ibinigay na eroplano.

\(\bullet\) Hayaang ang linya \(p\) ay parallel sa eroplano \(\mu\) . Kung ang eroplano \(\pi\) ay dumaan sa linya \(p\) at nag-intersect sa eroplano \(\mu\) , pagkatapos ay ang linya ng intersection ng mga eroplano \(\pi\) at \(\mu\) ay ang linyang \(m\) - parallel sa linyang \(p\) .

\((\color(red)(\textbf(Fact 3. About parallel planes)))\)
\(\bullet\) Kung ang dalawang eroplano ay walang karaniwang mga punto, kung gayon ang mga ito ay tinatawag na parallel na eroplano.
\(\bullet\) Kung ang dalawang intersecting na linya mula sa isang eroplano ay magkakasunod na parallel sa dalawang intersecting na linya mula sa isa pang eroplano, kung gayon ang mga nasabing eroplano ay magiging parallel.

\(\bullet\) Kung ang dalawang magkatulad na eroplano \(\alpha\) at \(\beta\) ay intersected ng isang ikatlong eroplano \(\gamma\) , kung gayon ang mga intersection na linya ng mga eroplano ay parallel din: \[\alpha\parallel \beta, \ \alpha\cap \gamma=a, \ \beta\cap\gamma=b \Longrightarrow a\parallel b\]

\(\bullet\) Ang mga segment ng parallel lines na nakapaloob sa pagitan ng parallel planes ay katumbas ng: \[\alpha\parallel \beta, \ a\parallel b \Longrightarrow A_1B_1=A_2B_2\]

\((\color(red)(\textbf(Fact 4. Tungkol sa intersecting lines)))\)
\(\bullet\) Dalawang tuwid na linya sa kalawakan ay tinatawag na intersecting kung hindi sila nakahiga sa parehong eroplano.
\(\bullet\) Sign:
Hayaang ang linyang \(l\) ay nasa eroplano \(\lambda\) . Kung ang linyang \(s\) ay nag-intersect sa eroplano \(\lambda\) sa isang puntong \(S\) hindi nakahiga sa linya \(l\) , ang mga linyang \(l\) at \(s\) bumalandra.

\(\bullet\) algorithm para sa paghahanap ng anggulo sa pagitan ng mga skew na linya \(a\) at \(b\):

Hakbang 2. Sa eroplano \(\pi\) hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga linya \(a\) at \(p\) (\(p\parallel b\) ). Ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay magiging katumbas ng anggulo sa pagitan ng mga skew na linya \(a\) at \(b\) .

\((\color(red)(\textbf(Fact 5. Tungkol sa perpendicularity ng isang linya at isang eroplano)))\)
\(\bullet\) Ang isang linya ay sinasabing patayo sa isang eroplano kung ito ay patayo sa alinmang linya sa eroplanong iyon.
\(\bullet\) Kung ang dalawang linya ay patayo sa isang eroplano, kung gayon sila ay parallel.
\(\bullet\) Sign: kung ang isang linya ay patayo sa dalawang intersecting na linya na nakahiga sa isang partikular na eroplano, kung gayon ito ay patayo sa eroplanong ito.

\((\color(red)(\textbf(Fact 6. Tungkol sa mga distansya)))\)
\(\bullet\) Upang mahanap ang distansya sa pagitan ng mga parallel na linya, kailangan mong mag-drop ng patayo mula sa anumang punto ng isang linya patungo sa isa pang linya. Ang haba ng patayo ay ang distansya sa pagitan ng mga linyang ito.
\(\bullet\) Upang mahanap ang distansya sa pagitan ng isang eroplano at isang linya na parallel dito, kailangan mong mag-drop ng isang patayo sa eroplanong ito mula sa anumang punto sa linya. Ang haba ng patayo ay ang distansya sa pagitan ng linyang ito at ng eroplano.
\(\bullet\) Upang mahanap ang distansya sa pagitan ng mga parallel na eroplano, kailangan mong ibaba ang patayo sa kabilang eroplano mula sa anumang punto ng isang eroplano. Ang haba ng patayo na ito ay ang distansya sa pagitan ng mga parallel na eroplano.
\(\bullet\) algorithm para sa paghahanap ng distansya sa pagitan ng mga skew na linya \(a\) at \(b\):
Hakbang 1. Sa pamamagitan ng isa sa dalawang intersecting na linya \(a\) gumuhit ng eroplano \(\pi\) parallel sa kabilang linya \(b\) . Paano ito gawin: iguhit ang eroplano \(\beta\) sa pamamagitan ng linya \(b\) upang ito ay mag-intersect sa linya \(a\) sa punto \(P\) ; gumuhit ng linya sa puntong \(P\) \(p\parallel b\) ; pagkatapos ay ang eroplanong dumadaan sa \(a\) at \(p\) ay ang eroplano \(\pi\) .
Hakbang 2. Hanapin ang distansya mula sa anumang punto ng linya \(b\) hanggang sa eroplano \(\pi\) . Ang distansyang ito ay ang distansya sa pagitan ng mga skew na linya \(a\) at \(b\) .

\((\color(red)(\textbf(Fact 7. About the Three Perpendicular Theorem (TTP))))\)
\(\bullet\) Hayaang ang \(AH\) ay patayo sa eroplano \(\beta\) . Hayaang maging pahilig ang \(AB, BH\) at ang projection nito sa eroplano \(\beta\) . Pagkatapos ang linyang \(x\) sa eroplano \(\beta\) ay magiging patayo sa pahilig kung at kung ito ay patayo sa projection: \[\begin(aligned) &1. AH\perp \beta, \AB\perp x\quad \Rightarrow\quad BH\perp x\\ &2. AH\perp \beta, \ BH\perp x\quad\Rightarrow\quad AB\perp x\end(aligned)\]

Tandaan na ang linyang \(x\) ay hindi kailangang dumaan sa puntong \(B\) . Kung hindi ito dumaan sa puntong \(B\) , ang isang linyang \(x"\) ay bubuuin na dumadaan sa puntong \(B\) at kahanay ng \(x\) . Kung, halimbawa, \( x"\perp BH\ ) , at gayon din ang \(x\perp BH\) .

\((\color(red)(\textbf(Fact 8. Tungkol sa anggulo sa pagitan ng isang linya at isang eroplano, pati na rin ang anggulo sa pagitan ng mga eroplano)))\)
\(\bullet\) Ang anggulo sa pagitan ng isang pahilig na linya at isang eroplano ay ang anggulo sa pagitan ng linyang ito at ang projection nito sa ibinigay na eroplano. Kaya, ang anggulong ito ay kumukuha ng mga halaga mula sa pagitan \((0^\circ;90^\circ)\) .
Kung ang linya ay nasa isang eroplano, ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay itinuturing na katumbas ng \(0^\circ\) . Kung ang linya ay patayo sa eroplano, kung gayon, batay sa kahulugan, ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay \(90^\circ\) .
\(\bullet\) Upang mahanap ang anggulo sa pagitan ng isang pahilig na linya at isang eroplano, kinakailangang markahan ang ilang punto \(A\) sa linyang ito at gumuhit ng patayo \(AH\) sa eroplano. Kung ang \(B\) ay ang punto ng intersection ng linya sa eroplano, kung gayon ang \(\angle ABH\) ay ang gustong anggulo.

\(\bullet\) Upang mahanap ang anggulo sa pagitan ng mga eroplano \(\alpha\) at \(\beta\) , maaari mong gamitin ang sumusunod na algorithm:
Markahan ang isang arbitrary point \(A\) sa eroplano \(\alpha\) .
Iguhit ang \(AH\perp h\) , kung saan ang \(h\) ay ang linya ng intersection ng mga eroplano.
Gumuhit ng \(AB\) patayo sa eroplano \(\beta\) .
Pagkatapos ay ang \(AB\) ay patayo sa eroplano \(\beta\) , ang \(AH\) ay pahilig, kaya ang \(HB\) ay isang projection. Pagkatapos ay sa pamamagitan ng TTP \(HB\perp h\) .
Samakatuwid, ang \(\angle AHB\) ay ang linear na anggulo ng dihedral angle sa pagitan ng mga eroplano. Ang sukat ng antas ng anggulong ito ay ang sukat ng antas ng anggulo sa pagitan ng mga eroplano.

Tandaan na nakakuha kami ng tamang tatsulok \(\triangle AHB\) (\(\angle B=90^\circ\) ). Bilang isang tuntunin, ito ay maginhawa upang mahanap ang \(\angle AHB\) mula dito.

\((\color(red)(\textbf(Fact 9. Tungkol sa perpendicularity ng mga eroplano)))\)
\(\bullet\) Sign: kung ang isang eroplano ay dumaan sa isang linya na patayo sa isa pang eroplano, kung gayon ito ay patayo sa eroplanong ito. \

\(\bullet\) Tandaan na dahil walang katapusan na maraming mga eroplano sa pamamagitan ng \(a\) , mayroong walang katapusan na maraming mga eroplano na patayo sa \(\beta\) (at dumadaan sa \(a\) ).

Upang sapat na malutas ang pagsusulit sa matematika, una sa lahat, kinakailangan na pag-aralan ang teoretikal na materyal, na nagpapakilala ng maraming theorems, formula, algorithm, atbp. Sa unang sulyap, maaaring mukhang ito ay medyo simple. Gayunpaman, ang paghahanap ng isang mapagkukunan kung saan ang teorya para sa Pinag-isang Estado na Pagsusuri sa matematika ay ipinakita sa isang madali at naiintindihan na paraan para sa mga mag-aaral na may anumang antas ng paghahanda, sa katunayan, ay isang medyo mahirap na gawain. Ang mga aklat-aralin sa paaralan ay hindi laging nasa kamay. At ang paghahanap ng mga pangunahing formula para sa pagsusulit sa matematika ay maaaring maging mahirap kahit sa Internet.

Bakit napakahalagang mag-aral ng teorya sa matematika, hindi lamang para sa mga kumukuha ng pagsusulit?

Dahil pinalalawak nito ang iyong pananaw. Ang pag-aaral ng teoretikal na materyal sa matematika ay kapaki-pakinabang para sa sinumang gustong makakuha ng mga sagot sa malawak na hanay ng mga tanong na may kaugnayan sa kaalaman ng mundo. Lahat ng bagay sa kalikasan ay maayos at may malinaw na lohika. Ito ay tiyak kung ano ang makikita sa agham, kung saan posible na maunawaan ang mundo.
Dahil ito ay nagpapaunlad ng talino. Ang pag-aaral ng mga sangguniang materyales para sa pagsusulit sa matematika, pati na rin ang paglutas ng iba't ibang mga problema, ang isang tao ay natututong mag-isip at mangatuwiran nang lohikal, upang bumalangkas ng mga kaisipan nang tama at malinaw. Nabubuo niya ang kakayahang pag-aralan, gawing pangkalahatan, gumawa ng mga konklusyon.

Inaanyayahan ka naming personal na suriin ang lahat ng mga pakinabang ng aming diskarte sa systematization at pagtatanghal ng mga materyal na pang-edukasyon.