Кое е по-голямо, десетична или стотна. Сравнение на крайни и безкрайни десетични знаци: правила, примери, решения

В тази статия ще покрием темата десетично сравнение". Първо, нека обсъдим общия принцип на сравняване на десетични дроби. След това ще разберем кои десетични дроби са равни и кои са неравни. След това ще се научим как да определим коя десетична дроб е по-голяма и коя е по-малка. За да направим това, ще изучим правилата за сравняване на крайни, безкрайни периодични и безкрайни непериодични дроби. Ще снабдим цялата теория с примери с подробни решения. В заключение, нека се спрем на сравнението на десетични дроби с естествени числа, обикновени дроби и смесени числа.

Да кажем веднага, че тук ще говорим само за сравняване на положителни десетични дроби (вижте положителни и отрицателни числа). Останалите случаи са анализирани в статиите, сравняващи рационални числа и сравнение на реални числа.

Навигация в страницата.

Общ принцип за сравняване на десетични дроби

Въз основа на този принцип на сравнение се извеждат правилата за сравняване на десетични дроби, които позволяват да се направи без преобразуване на сравняваните десетични дроби в обикновени дроби. Тези правила, както и примери за тяхното прилагане, ще анализираме в следващите параграфи.

По подобен принцип окончателно десетични знациили безкрайни периодични десетични дроби с естествени числа, обикновени дроби и смесени числа: сравняваните числа се заменят със съответните им обикновени дроби, след което обикновените дроби се сравняват.

Относно сравнения на безкрайни неповтарящи се десетични знаци, тогава обикновено се свежда до сравняване на крайните десетични дроби. За това се счита такъв брой знаци на сравняваните безкрайни непериодични десетични дроби, който ви позволява да получите резултата от сравнението.

Равни и неравни десетични знаци

Първо се представяме дефиниции на равни и неравни крайни десетични знаци.

Определение.

Извикват се двата последващи десетични знака равниако съответните им обикновени дроби са равни, в противен случай тези десетични дроби се наричат неравностойно.

Въз основа на това определение е лесно да се обоснове следното твърдение: ако в края на дадена десетична дроб припишем или изхвърлим няколко цифри 0, тогава получаваме десетична дроб, равна на нея. Например, 0,3=0,30=0,300=… и 140,000=140,00=140,0=140 .

Всъщност добавянето или изхвърлянето на нула в края на десетична дроб вдясно съответства на умножаване или разделяне на 10 на числителя и знаменателя на съответната обикновена дроб. И ние знаем основното свойство на дроба, което казва, че умножаването или разделянето на числителя и знаменателя на дроб на едно и също естествено число дава дроб, равна на първоначалната. Това доказва, че добавянето или отхвърлянето на нули вдясно в дробната част на десетична дроб дава дроб, равна на първоначалната.

Например, десетична дроб 0,5 съответства на обикновена дроб 5/10, след добавяне на нула вдясно се получава десетична дроб 0,50, което съответства на обикновена дроб 50/100, и. Значи 0,5=0,50. Обратно, ако в десетична дроб 0,50 изхвърлим 0 вдясно, тогава получаваме дроб 0,5, така че от обикновена дроб 50/100 ще стигнем до дроб 5/10, но . Следователно 0,50=0,5.

Да преминем към дефиниция на равни и неравни безкрайни периодични десетични дроби.

Определение.

Две безкрайни периодични дроби равни, ако съответстващите им обикновени дроби са равни; ако обикновените дроби, съответстващи на тях, не са равни, то сравнимите периодични дроби също са не е равно.

От това определениеследват три заключения:

• Ако записите на периодичните десетични дроби са абсолютно еднакви, тогава такива безкрайни периодични десетични дроби са равни. Например, периодичните десетични знаци 0,34(2987) и 0,34(2987) са равни.
• Ако периодите на сравнените десетични периодични дроби започват от една и съща позиция, първата дроб има период от 0 , втората има период от 9 , а стойността на цифрата, предхождаща период 0, е една повече от стойността на цифрата предхождащ период 9 , то такива безкрайни периодични десетични дроби са равни. Например, периодичните дроби 8.3(0) и 8.2(9) са равни, а дробите 141,(0) и 140,(9) също са равни.
• Всякакви две други периодични дроби не са равни. Ето примери за неравностойни безкрайни периодични десетични дроби: 9.0(4) и 7,(21) , 0,(12) и 0,(121) , 10,(0) и 9.8(9) .

Остава да се справим равни и неравни безкрайни непериодични десетични дроби. Както знаете, такива десетични дроби не могат да бъдат превърнати в обикновени дроби (такива десетични дроби представляват ирационални числа), така че сравнението на безкрайни непериодични десетични дроби не може да се сведе до сравнение на обикновени дроби.

Определение.

Два безкрайни единични десетични знака равниако техните записи съвпадат точно.

Но има едно предупреждение: невъзможно е да се види „завършения“ запис на безкрайни непериодични десетични дроби, следователно е невъзможно да сме сигурни в пълното съвпадение на техните записи. Как да бъде?

При сравняване на безкрайни непериодични десетични дроби се разглеждат само краен брой знаци на сравняваните дроби, което ни позволява да направим необходимите изводи. По този начин сравнението на безкрайни непериодични десетични дроби се свежда до сравнение на крайни десетични дроби.

С този подход можем да говорим за равенство на безкрайни непериодични десетични дроби само до разглежданата цифра. Да дадем примери. Безкрайните непериодични десетични дроби 5,45839 ... и 5,45839 ... са равни в рамките на сто хилядни, тъй като крайните десетични дроби 5,45839 и 5,45839 са равни; неповтарящи се десетични дроби 19,54 ... и 19,54810375 ... са равни на най-близката стотна, тъй като дробите 19,54 и 19,54 са равни.

Неравенството на безкрайните непериодични десетични дроби с този подход е установено съвсем категорично. Например, безкрайните непериодични десетични дроби 5,6789… и 5,67732… не са равни, тъй като разликите в техните записи са очевидни (крайните десетични дроби 5,6789 и 5,6773 не са равни). Безкрайните десетични числа 6,49354... и 7,53789... също не са равни.

Правила за сравняване на десетични дроби, примери, решения

След установяване на факта, че две десетични дроби не са равни, често е необходимо да се установи коя от тези дроби е по-голяма и коя е по-малка от другата. Сега ще анализираме правилата за сравняване на десетични дроби, което ни позволява да отговорим на поставения въпрос.

В много случаи е достатъчно да се сравнят целите части на сравняваните десетични знаци. Следното е вярно правило за десетично сравнение: по-голямо от десетичната дроб, чиято цяла част е по-голяма, и по-малка от десетичната дроб, цялата част на която е по-малка.

Това правило важи както за крайни, така и за безкрайни десетични знаци. Нека разгледаме примери.

Пример.

Сравнете десетичните числа 9,43 и 7,983023….

Решение.

Очевидно тези десетични дроби не са равни. Цялата част на крайната десетична дроб 9.43 е равна на 9, а цялата част на безкрайната непериодична дроб 7.983023 ... е равна на 7. Тъй като 9>7 (виж сравнение на естествени числа), то 9,43>7,983023.

Отговор:

9,43>7,983023 .

Пример.

Кое от десетичните десетични числа 49.43(14) и 1,045.45029... е по-малко?

Решение.

Цялата част на периодичната дроб 49.43(14) е по-малка от цялата част на безкрайната непериодична десетична дроб 1 045.45029..., следователно, 49.43(14)<1 045,45029… .

Отговор:

49,43(14) .

Ако целите части на сравняваните десетични дроби са равни, тогава, за да разберете коя от тях е по-голяма и коя е по-малка, трябва да сравните дробните части. Сравнението на дробни части от десетични дроби се извършва бит по бит- от категорията на десетките към по-младите.

Първо, нека да разгледаме пример за сравнение на две крайни десетични дроби.

Пример.

Сравнете крайните десетични числа 0,87 и 0,8521.

Решение.

Целите части на тези десетични дроби са равни (0=0), така че нека да преминем към сравнението на дробните части. Стойностите на мястото на десетите са равни (8=8), а стойността на мястото на стотните на дроб 0.87 е по-голяма от стойността на мястото на стотните на дроба 0.8521 (7>5). Следователно 0,87>0,8521 .

Отговор:

0,87>0,8521 .

Понякога, за да се сравни последните десетични знаци с различна сумазнака след десетичната запетая, дроб с по-малко десетични знака трябва да бъде добавен с определен брой нули вдясно. Доста удобно е да изравните броя на десетичните знаци, преди да започнете да сравнявате крайните десетични дроби, като добавите определен брой нули вдясно от една от тях.

Пример.

Сравнете следващите десетични запетая 18,00405 и 18,0040532.

Решение.

Очевидно тези дроби са неравни, тъй като записите им са различни, но в същото време имат равни части (18=18).

Преди побитово сравнение на дробните части на тези дроби, изравняваме броя на десетичните знаци. За да направите това, присвояваме две цифри 0 в края на дроба 18,00405, докато получаваме десетичната дроб, равна на нея 18,0040500.

Знаците след десетичната запетая на 18.0040500 и 18.0040532 са равни на сто хилядни, а стойността на милионното място от 18.0040500 е по-малка от стойността на съответната дроб от 18.0040532 (0<3 ), поэтому, 18,0040500<18,0040532 , следовательно, 18,00405<18,0040532 .

Отговор:

18,00405<18,0040532 .

При сравняване на крайна десетична дроб с безкрайна, крайната дроб се заменя с безкрайна периодична дроб, равна на нея с период от 0, след което се прави сравнение с цифри.

Пример.

Сравнете крайния десетичен знак 5.27 с безкрайния неповтарящ се десетичен знак 5.270013….

Решение.

Целите части на тези десетични знаци са равни. Стойностите на цифрите на десетите и стотните от тези дроби са равни и за да извършим по-нататъшно сравнение, заменяме крайната десетична дроб с безкрайна периодична дроб, равна на нея с период от 0 от формата 5.270000. ... Преди петия знак след десетичната запетая стойностите на десетичните знаци 5,270000... и 5,270013... са равни, а на петия знак след десетичната запетая имаме 0<1 . Таким образом, 5,270000…<5,270013… , откуда следует, что 5,27<5,270013… .

Отговор:

5,27<5,270013… .

Сравнението на безкрайни десетични дроби също се извършва бит по бит, и завършва веднага щом стойностите на някой бит са различни.

Пример.

Сравнете безкрайните десетични числа 6.23(18) и 6.25181815….

Решение.

Целите части на тези дроби са равни, стойностите на десетото място също са равни. И стойността на стотните на периодичната дроб 6.23(18) е по-малка от мястото на стотните на безкрайната непериодична десетична дроб 6.25181815..., следователно, 6.23(18)<6,25181815… .

Отговор:

6,23(18)<6,25181815… .

Пример.

Кой от безкрайните периодични десетични знаци 3, (73) и 3, (737) е по-голям?

Решение.

Ясно е, че 3,(73)=3.73737373… и 3,(737)=3.737737737… . На четвъртия знак след десетичната запетая побитовото сравнение завършва, тъй като имаме 3<7 . Таким образом, 3,73737373…<3,737737737… , то есть, десятичная дробь 3,(737) больше, чем дробь 3,(73) .

Отговор:

3,(737) .

Сравнете десетичните числа с естествени числа, обикновени дроби и смесени числа.

За да получите резултата от сравняването на десетична дроб с естествено число, можете да сравните цялата част от тази дроб с дадено естествено число. В този случай периодичните дроби с периоди от 0 или 9 трябва първо да бъдат заменени с равни крайни десетични дроби.

Следното е вярно правило за сравняване на десетична дроб и естествено число: ако цялата част на десетичната дроб е по-малка от дадено естествено число, тогава цялата дроб е по-малка от това естествено число; ако цялата част на дроб е по-голяма или равна на дадено естествено число, тогава дробта е по-голяма от даденото естествено число.

Помислете за примери за прилагането на това правило за сравнение.

Пример.

Сравнете естественото число 7 с десетичната дроб 8,8329….

Решение.

Тъй като даденото естествено число е по-малко от цялата част на дадената десетична дроб, то това число е по-малко от дадената десетична дроб.

Отговор:

7<8,8329… .

Пример.

Сравнете естественото число 7 и десетичното 7.1.

Тази тема ще разгледа както обща схема за сравняване на десетични дроби, така и подробен анализ на принципа на сравняване на крайни и безкрайни дроби. Нека поправим теоретичната част, като решим типични задачи. Ще анализираме с примери и сравнението на десетични дроби с естествени или смесени числа и обикновени дроби.

Нека направим уточнение: в теорията по-долу ще се сравняват само положителни десетични дроби.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Общ принцип за сравняване на десетични дроби

За всяка крайна десетична и безкрайна повтаряща се десетична дроб има определени общи дроби, съответстващи на тях. Следователно сравнението на крайни и безкрайни периодични дроби може да се направи като сравнение на съответните им обикновени дроби. Всъщност това твърдение е общият принцип за сравняване на десетични периодични дроби.

Въз основа на общия принцип се формулират правилата за сравняване на десетични дроби, придържайки се към които е възможно да не се преобразуват сравнените десетични дроби в обикновени.

Същото може да се каже и за случаите, когато периодична десетична дроб се сравнява с естествени числа или смесени числа, обикновени дроби - дадените числа трябва да се заменят със съответните им обикновени дроби.

Ако говорим за сравняване на безкрайни непериодични дроби, то обикновено се свежда до сравняване на крайни десетични дроби. За разглеждане се взема такъв брой знаци на сравняваните безкрайни непериодични десетични дроби, които ще позволят да се получи резултатът от сравнението.

Равни и неравни десетични знаци

Определение 1

Равни десетични знаци- това са две крайни десетични дроби, които имат същите съответни обикновени дроби. В противен случай десетичните знаци са неравностойно.

Въз основа на това определение е лесно да се обоснове такова твърдение: ако в края на дадена десетична дроб подпишем или, обратно, изхвърлим няколко цифри 0, тогава получаваме десетична дроб, равна на нея. Например: 0 , 5 = 0 , 50 = 0 , 500 = ... . Или: 130 , 000 = 130 , 00 = 130 , 0 = 130 . Всъщност добавянето или изхвърлянето на нула в края на дроба вдясно означава умножаване или разделяне на 10 на числителя и знаменателя на съответната обикновена дроб. Нека добавим към казаното основното свойство на дробите (като умножим или разделим числителя и знаменателя на една дроб на едно и също естествено число, получаваме дроб, равна на оригиналната) и имаме доказателство за горното твърдение .

Например, десетичната дроб 0, 7 съответства на обикновена дроб 7 10. Добавяйки нула вдясно, получаваме десетичната дроб 0, 70, която съответства на обикновената дроб 70 100, 7 70 100: 10 . Т.е.: 0 , 7 = 0 , 70 . И обратно: изхвърляйки нула в десетичната дроб 0, 70 вдясно, получаваме дроб 0, 7 - по този начин от десетичната дроб 70 100 отиваме към дроб 7 10, но 7 10 \u003d 70: 10 100 : 10 След това: 0, 70 = 0 , 7 .

Сега разгледайте съдържанието на концепцията за равни и неравни безкрайни периодични десетични дроби.

Определение 2

Равни безкрайни периодични дробиса безкрайни периодични дроби, които имат равни обикновени дроби, съответстващи на тях. Ако съответните им обикновени дроби не са равни, то и периодичните дроби, дадени за сравнение, са неравностойно.

Това определение ни позволява да направим следните изводи:

Ако записите на дадените периодични десетични дроби са еднакви, тогава тези дроби са равни. Например, периодичните десетични знаци 0, 21 (5423) и 0, 21 (5423) са равни;

Ако в дадените десетични периодични дроби периодите започват от една и съща позиция, първата дроб има период 0, а втората - 9; стойността на цифрата, предхождаща период 0, е една по-голяма от стойността на цифрата, предхождаща период 9, тогава такива безкрайни периодични десетични дроби са равни. Например, периодичните дроби 91 , 3 (0) и 91 , 2 (9) са равни, както и дробите: 135 , (0) и 134 , (9) ;

Всякакви две други периодични дроби не са равни. Например: 8 , 0 (3) и 6 , (32) ; 0 , (42) и 0 , (131) и т.н.

Остава да разгледаме равни и неравни безкрайни непериодични десетични дроби. Такива дроби са ирационални числа и не могат да бъдат превърнати в обикновени дроби. Следователно сравнението на безкрайни непериодични десетични дроби не се свежда до сравнението на обикновените.

Определение 3

Равни безкрайни неповтарящи се десетични знациса непериодични десетични дроби, чиито записи са абсолютно еднакви.

Въпросът би бил логичен: как да се сравняват записи, ако е невъзможно да се види „завършеният“ запис на такива дроби? Когато се сравняват безкрайни непериодични десетични дроби, е необходимо да се вземе предвид само определен краен брой знаци на дробите, посочени за сравнение, така че това да ни позволи да направим заключение. Тези. по същество сравняването на безкрайни неповтарящи се десетични знаци е сравняване на крайни десетични знаци.

Този подход позволява да се твърди равенството на безкрайни непериодични дроби само до разглежданата цифра. Например, дробите 6, 73451 ... и 6, 73451 ... са равни в рамките на сто хилядни, тъй като крайните десетични числа 6, 73451 и 6, 7345 са равни. Дроби 20, 47 ... и 20, 47 ... са равни в рамките на стотни, т.к. дробите 20, 47 и 20, 47 са равни и т.н.

Неравенството на безкрайните непериодични дроби е установено съвсем конкретно с очевидни разлики в записите. Например, дроби 6, 4135 ... и 6, 4176 ... или 4, 9824 ... и 7, 1132 ... и така нататък са неравни.

Правила за сравняване на десетични дроби. Решение на примери

Ако се установи, че две десетични дроби не са равни, обикновено е необходимо също да се определи коя от тях е по-голяма и коя по-малка. Помислете за правилата за сравняване на десетични дроби, които правят възможно решаването на горния проблем.

Много често е достатъчно просто да се сравнят целите части на десетичните дроби, дадени за сравнение.

Определение 4

Тази десетична дроб, която има по-голяма цяла част, е по-голяма. По-малката дроб е тази, чиято цяла част е по-малка.

Това правило важи както за крайни десетични дроби, така и за безкрайни.

Пример 1

Необходимо е да се сравни десетични дроби: 7, 54 и 3, 97823 ....

Решение

Съвсем очевидно е, че дадените десетични дроби не са равни. Целите им части са равни съответно: 7 и 3 . Защото 7 > 3, след това 7, 54 > 3, 97823 … .

Отговор: 7 , 54 > 3 , 97823 … .

В случай, когато дадените за сравнение цели части на дробите са равни, решението на задачата се свежда до сравняване на дробните части. Дробните части се сравняват малко по малко - от десетото място до по-ниските.

Помислете първо за случая, когато трябва да сравните крайните десетични дроби.

Пример 2

Искате да сравните крайните десетични знаци 0,65 и 0,6411.

Решение

Очевидно целите части на дадените дроби са (0 = 0) . Нека сравним дробните части: на десето място стойностите са (6 = 6) , но на стотното място стойността на дроб 0, 65 е по-голяма от стойността на стотното място в фракция 0, 6411 (5 > 4) . Така че 0,65 > 0,6411.

Отговор: 0 , 65 > 0 , 6411 .

В някои задачи за сравняване на крайни десетични дроби с различен брой десетични знаци е необходимо да се припише необходимия брой нули вдясно на дроб с по-малко десетични знаци. Удобно е да се изравни по този начин броят на десетичните знаци в дадени дроби още преди началото на сравнението.

Пример 3

Необходимо е да се сравнят крайните десетични числа 67, 0205 и 67, 020542.

Решение

Тези дроби очевидно не са равни, т.к записите им са различни. Освен това целите им части са равни: 67 \u003d 67. Преди да пристъпим към побитово сравнение на дробните части на дадените дроби, изравняваме броя на десетичните знаци, като добавяме нули вдясно във дроби с по-малко десетични знаци. След това получаваме дроби за сравнение: 67, 020500 и 67, 020542. Извършваме побитово сравнение и виждаме, че на стохилядната стойност стойността във фракцията 67 , 020542 е по-голяма от съответната стойност във фракцията 67 , 020500 (4 > 0) . Така че 67.020500< 67 , 020542 , а значит 67 , 0205 < 67 , 020542 .

Отговор: 67 , 0205 < 67 , 020542 .

Ако е необходимо да се сравни крайна десетична дроб с безкрайна, тогава крайната дроб се заменя с безкрайна равна на нея с период от 0. След това се прави побитово сравнение.

Пример 4

Необходимо е да се сравни крайната десетична дроб 6, 24 с безкрайна непериодична десетична дроб 6, 240012 ...

Решение

Виждаме, че целите части на дадените дроби са (6 = 6) . На десетото и стотното място стойностите на двете фракции също са равни. За да можем да направим заключение, продължаваме сравнението, като заменяме крайната десетична дроб, равна на нея, с безкрайна с период 0 и получаваме: 6, 240000 ... . Стигайки до петия знак след десетичната запетая, намираме разликата: 0< 1 , а значит: 6 , 240000 … < 6 , 240012 … . Тогда: 6 , 24 < 6 , 240012 … .

Отговор: 6, 24< 6 , 240012 … .

При сравняване на безкрайни десетични дроби се използва и побитово сравнение, което ще приключи, когато стойностите в някоя цифра от дадените дроби се окажат различни.

Пример 5

Необходимо е да се сравнят безкрайните десетични дроби 7, 41 (15) и 7, 42172 ... .

Решение

В дадените дроби има равни цели части, стойностите на десетите също са равни, но на стотното място виждаме разликата: 1< 2 . Тогда: 7 , 41 (15) < 7 , 42172 … .

Отговор: 7 , 41 (15) < 7 , 42172 … .

Пример 6

Необходимо е да се сравнят безкрайните периодични дроби 4 , (13) и 4 , (131) .

Решение:

Равенствата са ясни и правилни: 4 , (13) = 4 , 131313 … и 4 , (133) = 4 , 131131 … . Сравняваме целочислени части и побитови дробни части и коригираме несъответствието на четвъртия знак след десетичната запетая: 3 > 1 . Тогава: 4 , 131313 … > 4 , 131131 … и 4 , (13) > 4 , (131) .

Отговор: 4 , (13) > 4 , (131) .

За да получите резултата от сравняването на десетична дроб с естествено число, трябва да сравните цялата част от дадена дроб с дадено естествено число. В този случай трябва да се има предвид, че периодичните дроби с периоди от 0 или 9 трябва първо да бъдат представени като крайни десетични дроби, равни на тях.

Определение 5

Ако цялата част на дадена десетична дроб е по-малка от дадено естествено число, тогава цялата дроб е по-малка по отношение на дадено естествено число. Ако цялата част от дадена дроб е по-голяма или равна на дадено естествено число, тогава дробта е по-голяма от даденото естествено число.

Пример 7

Необходимо е да се сравни естественото число 8 и десетичната дроб 9, 3142 ... .

Решение:

Даденото естествено число е по-малко от цялата част на дадената десетична дроб (8< 9) , а значит это число меньше заданной десятичной дроби.

Отговор: 8 < 9 , 3142 … .

Пример 8

Необходимо е да се сравни естественото число 5 и десетичната дроб 5, 6.

Решение

Цялата част от дадена дроб е равна на дадено естествено число, тогава, съгласно горното правило, 5< 5 , 6 .

Отговор: 5 < 5 , 6 .

Пример 9

Необходимо е да се сравни естественото число 4 и периодичната десетична дроб 3 , (9) .

Решение

Периодът на дадената десетична дроб е 9, което означава, че преди да се сравни, е необходимо да се замени дадената десетична дроб с крайно или естествено число, равно на него. В този случай: 3 , (9) = 4 . По този начин оригиналните данни са равни.

Отговор: 4 = 3 , (9) .

За да сравните десетична дроб с обикновена дроб или смесено число, трябва:

Напишете обикновена дроб или смесено числокато десетичен знак и след това извършете десетично сравнение или
- напишете десетичната дроб като обикновена дроб (с изключение на безкрайна непериодична) и след това направете сравнение с дадена обикновена дроб или смесено число.

Пример 10

Необходимо е да се сравни десетичната дроб 0, 34 и обикновената дроб 1 3 .

Решение

Нека решим проблема по два начина.

1. Записваме дадената обикновена дроб 1 3 като периодична десетична дроб, равна на нея: 0 , 33333 ... . Тогава става необходимо да се сравнят десетичните дроби 0, 34 и 0, 33333…. Получаваме: 0 , 34 > 0 , 33333 ... , което означава 0 , 34 > 1 3 .
2. Нека запишем дадената десетична дроб 0, 34 под формата на обикновена, равна на нея. Т.е.: 0 , 34 = 34 100 = 17 50 . Нека сравним обикновени дроби с различни знаменатели и ще получим: 17 50 > 1 3 . По този начин, 0 , 34 > 1 3 .

Отговор: 0 , 34 > 1 3 .

Пример 11

Трябва да сравните безкрайно неповтарящо се десетично число 4 , 5693 ... и смесено число 4 3 8 .

Решение

Безкрайна непериодична десетична дроб не може да бъде представена като смесено число, но е възможно да се преобразува смесено число в неправилна дроб, а това от своя страна може да се запише като десетична дроб, равна на него. Тогава: 4 3 8 = 35 8 и

Тези.: 4 3 8 = 35 8 = 4, 375 . Нека сравним десетични дроби: 4, 5693 ... и 4, 375 (4, 5693 ... > 4, 375) и получаваме: 4, 5693 ... > 4 3 8 .

Отговор: 4 , 5693 … > 4 3 8 .

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Целта на урока:

• създаване на условия за извеждане на правилото за сравняване на десетични дроби и възможността за прилагането му;
• повторете изписването на обикновени дроби като десетични, закръгляване;
• развиват логично мислене, способност за обобщаване, изследователски умения, реч.

По време на занятията

Момчета, нека си спомним какво правихме с вас в предишните уроци?

Отговор:изучава десетичните дроби, записва обикновени дроби като десетични и обратно, закръглени десетични дроби.

Какво искаш да правиш днес?

(Учениците отговарят.)

Но все пак какво ще правим в урока, ще разберете след няколко минути. Отворете тетрадките си, запишете датата. Един ученик ще отиде до дъската и ще работи от задната страна на дъската. Ще ви предложа задачи, които изпълнявате устно. Запишете отговорите в тетрадка на ред, разделен с точка и запетая. Ученикът на дъската пише в колона.

Прочетох задачи, които са предварително написани на дъската:

Да проверим. Кой има други отговори? Запомнете правилата.

получено: 1,075; 2,175; 3,275; 4,375; 5,475; 6,575; 7,675.

Задайте шаблона и продължете получената серия за още 2 числа. Да проверим.

Вземете преписа и под всяка цифра (отговарящият на дъската поставя буква до числото) поставете съответната буква. Прочетете думата.

декриптиране:

И така, какво ще правим в час?

Отговор:сравнение.

За сравнение! Е, например, сега ще започна да сравнявам ръцете си, 2 учебника, 3 линийки. Какво искате да сравните?

Отговор:десетични дроби.

Каква е темата на урока?

Пиша темата на урока на дъската, а учениците в тетрадката: „Сравнение на десетичните дроби“.

Упражнение:сравнете числата (написани на дъската)

18,625 и 5,784		15.200 и 15.200
3.0251 и 21.02		7.65 и 7.8
23,0521 и 0,0521		0,089 и 0,0081

Първо отворете лявата страна. Целите части са различни. Правим заключение за сравняване на десетични дроби с различни цели числа. Отворете дясната страна. Целите части са равни числа. Как да сравним?

изречение:запишете десетичните дроби като обикновени дроби и сравнете.

Напишете сравнение на обикновени дроби. Ако всеки десетичен знак се преобразува в обикновена дроб и двете дроби се сравнят, това ще отнеме много време. Можем ли да изведем правило за сравнение? (Учениците предлагат.) Изписах правилото за сравняване на десетични дроби, което авторът предлага. Да сравним.

Има 2 правила, отпечатани на лист хартия:

1. Ако целите части на десетичните дроби са различни, тогава тази дроб е по-голяма, която има по-голяма цяла част.
2. Ако целите части на десетичните дроби са еднакви, тогава по-голямата дроб е тази, която има по-голямата първа от несъответстващите цифри след десетичната запетая.

Направихме откритие. И това откритие е правилото за сравняване на десетични дроби. То съвпадна с правилото, предложено от автора на учебника.

Забелязах, че правилата казват коя от 2-те дроби е по-голяма. Можете ли да ми кажете кой от 2-те знака след десетичната запетая е по-малък.

Попълнете в тетрадка No 785 (1, 2) на стр. 172. Задачата е написана на дъската. Учениците коментират, а учителят поставя знаци.

Упражнение:сравни

3.4208 и 3.4028

И така, какво се научихме да правим днес? Нека се проверим. Работете върху листове хартия с въглеродна хартия.

Учениците сравняват десетичните знаци, като използват знаци >.<, =. Когда ученики выполнят задание, то листок сверху оставляют себе, а листок снизу сдают учителю.

Самостоятелна работа.

(Проверете отговорите на гърба на дъската.)

Сравнете

148.05 и 14.805

6.44806 и 6.44863

35.601 и 35.6010

Първият, който го направи, получава задача (изпълнява от задната страна на дъската) № 786 (1, 2):

Намерете модел и запишете следващото число в последователността. В какви последователности са подредени числата във възходящ ред, в кои в низходящ ред?

Отговор:

1. 0,1; 0,02; 0,003; 0,0004; 0,00005; (0,000006) - намаляващо
2. 0,1; 0,11; 0,111; 0,1111; 0,11111; (0,111111) - нараства.

След като последният ученик подаде работата - проверете.

Учениците сравняват своите отговори.

Тези, които са направили всичко правилно, ще се отбележат с „5“, тези, които са направили 1-2 грешки – „4“, 3 грешки – „3“. Разберете в кои сравнения са допуснати грешки, за кое правило.

Запишете си домашното: No 813, No 814 (т. 4, с. 171). Коментирайте. Ако има време, изпълнете № 786 (1, 3), № 793 (а).

Резюме на урока.

1. Какво се научихте да правите в клас?
2. Хареса ли ви или не ви харесва?
3. Какви бяха трудностите?

Вземете листовките и ги попълнете, като посочите степента на усвояване на материала:

• напълно овладян, мога да изпълнявам;
• научени напълно, но трудно се прилагат;
• придобити частично;
• не е придобит.

Благодаря за урока.

Ще наречем дроб една или повече равни части от едно цяло. Дробът се записва с две естествени числа, които са разделени с линия. Например 1/2, 14/4, ¾, 5/9 и т.н.

Числото, записано над правата, се нарича числител на дроба, а числото, изписано под линията, се нарича знаменател на дробта.

За дробни числа, чийто знаменател е 10, 100, 1000 и т.н. се съгласи да напише числото без знаменател. За да направите това, първо напишете цялата част от числото, поставете запетая и напишете дробната част от това число, тоест числителя на дробната част.

Например вместо 6 * (7/10) те пишат 6.7.

Такъв запис се нарича десетична дроб.

Как да сравним два знака след десетичната запетая

Нека да разберем как да сравним две десетични дроби. За да направим това, първо проверяваме един спомагателен факт.

Например дължината на определен сегмент е 7 сантиметра или 70 мм. Също така 7 cm = 7 / 10 dm или в десетичен знак 0,7 dm.

От друга страна, 1 mm = 1/100 dm, след това 70 mm = 70/100 dm, или в десетичен знак 0,70 dm.

Така получаваме, че 0,7 = 0,70.

От това заключаваме, че ако се добави или изхвърли нула в края на десетичната дроб, тогава ще се получи дроб, равна на дадената единица. С други думи, стойността на дроба няма да се промени.

Дроби с еднакви знаменатели

Да кажем, че трябва да сравним два знака след десетичната запетая 4,345 и 4,36.

Първо, трябва да изравните броя на десетичните знаци, като добавите или изхвърлите нули вдясно. Получавате 4,345 и 4,360.

Сега трябва да ги запишете като неправилни дроби:

• 4,345 = 4345 / 1000 ;
• 4,360 = 4360 / 1000 .

Получените дроби имат еднакви знаменатели. По правилото за сравняване на дроби знаем, че в този случай по-голяма е дробът с по-голям числител. Така че фракцията 4,36 е по-голяма от дроба 4,345.

По този начин, за да сравните две десетични дроби, първо трябва да изравните броя им след десетичната запетая, да присвоите нули на една от тях вдясно и след това да изхвърлите запетаята, за да сравните получените естествени числа.

Десетичните числа могат да бъдат представени като точки на числова права. И следователно, понякога в случай, че едно число е по-голямо от друго, казват, че това число се намира вдясно от другото, или ако е по-малко, тогава отляво.

Ако две десетични дроби са равни, тогава те са изобразени на числовата права с една и съща точка.

Отсечката AB е 6 cm, тоест 60 mm. Тъй като 1 cm = dm, тогава 6 cm = dm. Значи AB е 0,6 dm. Тъй като 1 mm = dm, тогава 60 mm = dm. Следователно AB = 0,60 dm.
По този начин, AB = 0,6 dm = 0,60 dm. Това означава, че десетичните дроби 0,6 и 0,60 изразяват дължината на същия сегмент в дециметри. Тези фракции са равни една на друга: 0,6 = 0,60.

Ако нула се добави в края на десетичната дроб или нулата се изхвърли, тогава получаваме фракция, равно на дадената.
Например,

0,87 = 0,870 = 0,8700; 141 = 141,0 = 141,00 = 141,000;
26,000 = 26,00 = 26,0 = 26; 60,00 = 60,0 = 60;
0,900 = 0,90 = 0,9.

Нека сравним два знака след десетичната запетая 5,345 и 5,36. Нека изравним броя на десетичните знаци, като добавим нула към числото 5,36 вдясно. Получаваме дроби 5.345 и 5.360.

Записваме ги като неправилни дроби:

Тези дроби имат едни и същи знаменатели. Това означава, че този с по-голям числител е по-голям.
От 5345г< 5360, то което означава 5,345< 5,360, то есть 5,345 < 5,36.
За да сравните две десетични дроби, първо трябва да изравните броя им след десетичната запетая, като присвоите нули на една от тях вдясно и след това, като изхвърлите запетаята, сравните получения цели числа.

Десетичните дроби могат да бъдат представени на координатния лъч по същия начин като обикновените дроби.
Например, за да изобразим десетичната дроб 0,4 върху координатния лъч, първо я представяме като обикновена дроб: 0,4 = След това отделяме четири десети от единичния сегмент от началото на лъча. Получаваме точка A(0,4) (фиг. 141).

Еднакви десетични дроби са изобразени на координатния лъч от една и съща точка.

Например, фракции 0,6 и 0,60 са представени с една точка B (виж фиг. 141).

Най-малкият десетичен знак лежи на координатен лъчвляво от по-голямата, а по-голямата вдясно от по-малката.

Например 0,4< 0,6 < 0,8, поэтому точка A(0,4) лежит левее точки B(0,6), а точка С(0,8) лежит правее точки B(0,6) (см. рис. 141).

Ще се промени ли десетичната запетая, ако в края му се добави нула?
А6 нули?
Формулирайте правило за сравнение десетиченфракции.

1172. Напишете десетична дроб:

а) с четири знака след десетичната запетая, равни на 0,87;
б) с пет знака след десетичната запетая, равни на 0,541;
в) с три цифри след зает, равни на 35;
г) с два знака след десетичната запетая, равни на 8,40000.

1173. Като зададете нули вдясно, изравнете броя на десетичните знаци в десетичните дроби: 1,8; 13,54 и 0,789.

1174. Напишете по-къси дроби: 2,5000; 3,02000; 20.010.

85,09 и 67,99; 55.7 и 55.7000; 0,5 и 0,724; 0,908 и 0,918; 7,6431 и 7,6429; 0,0025 и 0,00247.

1176. Подредете във възходящ ред числата:

3,456; 3,465; 8,149; 8,079; 0,453.

0,0082; 0,037; 0,0044; 0,08; 0,0091

подредете в низходящ ред.

а) 1,41< х < 4,75; г) 2,99 < х < 3;
б) 0,1< х < 0,2; д) 7 < х < 7,01;
в) 2.7< х < 2,8; е) 0,12 < х < 0,13.

1184. Сравнете стойностите:

а) 98,52 m и 65,39 m; д) 0,605 t и 691,3 kg;
б) 149,63 кг и 150,08 кг; е) 4,572 km и 4671,3 m;
в) 3,55°С и 3,61°С; ж) 3,835 ха и 383,7 а;
г) 6,781 h и 6,718 h; з) 7,521 l и 7538 cm3.

Възможно ли е да се сравнят 3,5 кг и 8,12 м? Дайте примери за количества, които не могат да се сравняват.

1185. Изчислете устно:

1186. Възстановете веригата от изчисления

1187. Може ли да се каже колко цифри след десетичната запетая са в десетична дроб, ако името й завършва с думата:

а) стотни; б) десет хилядни; в) десети; г) милиони?

Съдържание на урока резюме на урокаподкрепа рамка презентация урок ускорителни методи интерактивни технологии Практика задачи и упражнения самоизпитване семинари, обучения, казуси, куестове домашна работа дискусия въпроси реторични въпроси от ученици Илюстрации аудио, видео клипове и мултимедияснимки, картинки, графики, таблици, схеми хумор, анекдоти, вицове, комикси, притчи, поговорки, кръстословици, цитати Добавки резюметастатии чипове за любознателни ясли учебници основни и допълнителен речник на термини други Подобряване на учебниците и уроцитекоригиране на грешки в учебникаактуализиране на фрагмент в учебника, елементи на иновация в урока, замяна на остарелите знания с нови Само за учители перфектни уроцикалендарен план за годината методически препоръки на дискусионната програма Интегрирани уроци