Ano ang lugar ng lateral surface ng truncated pyramid. Pinutol na pyramid

- Ito ay isang polyhedron, na nabuo sa pamamagitan ng base ng pyramid at isang seksyon na kahanay nito. Masasabi nating ang pinutol na pyramid ay isang pyramid na may cut off na tuktok. Ang figure na ito ay may maraming natatanging katangian:

• Ang mga gilid na mukha ng pyramid ay mga trapezoid;
• Ang mga lateral ribs ng isang regular na pinutol na pyramid ay may parehong haba at nakahilig sa base sa parehong anggulo;
• Ang mga base ay magkatulad na polygons;
• Sa isang regular na pinutol na pyramid, ang mga mukha ay magkaparehong isosceles trapezoids, ang lugar kung saan ay pantay. Ang mga ito ay hilig din sa base sa isang anggulo.

Ang formula para sa lugar ng lateral surface ng truncated pyramid ay ang kabuuan ng mga lugar ng mga gilid nito:

Dahil ang mga gilid ng pinutol na pyramid ay mga trapezoid, kakailanganin mong gamitin ang formula upang kalkulahin ang mga parameter trapezoid na lugar. Para sa isang regular na pinutol na pyramid, maaaring ilapat ang isa pang formula para sa pagkalkula ng lugar. Dahil ang lahat ng panig, mukha, at anggulo nito sa base ay pantay, posibleng ilapat ang mga perimeter ng base at apothem, at makuha din ang lugar sa pamamagitan ng anggulo sa base.

Kung, ayon sa mga kondisyon sa isang regular na pinutol na pyramid, ang apothem (taas ng gilid) at ang mga haba ng mga gilid ng base ay ibinigay, kung gayon ang lugar ay maaaring kalkulahin sa pamamagitan ng kalahating produkto ng kabuuan ng mga perimeter ng ang mga base at ang apothem:

Tingnan natin ang isang halimbawa ng pagkalkula ng lateral surface area ng isang pinutol na pyramid.
Nabigyan ng regular na pentagonal pyramid. Apothem l\u003d 5 cm, ang haba ng mukha sa malaking base ay a\u003d 6 cm, at ang mukha ay nasa mas maliit na base b\u003d 4 cm. Kalkulahin ang lugar ng pinutol na pyramid.

Una, hanapin natin ang mga perimeter ng mga base. Dahil binigyan kami ng pentagonal pyramid, naiintindihan namin na ang mga base ay mga pentagon. Nangangahulugan ito na ang mga base ay isang pigura na may limang magkaparehong panig. Hanapin ang perimeter ng mas malaking base:

Sa parehong paraan, nakita namin ang perimeter ng mas maliit na base:

Ngayon ay maaari nating kalkulahin ang lugar ng isang regular na pinutol na pyramid. Pinapalitan namin ang data sa formula:

Kaya, kinakalkula namin ang lugar ng isang regular na pinutol na pyramid sa pamamagitan ng mga perimeter at apothem.

Ang isa pang paraan upang makalkula ang lateral surface area tamang pyramid, ito ang formula sa pamamagitan ng mga sulok sa base at sa lugar ng mismong mga baseng ito.

Tingnan natin ang isang halimbawa ng pagkalkula. Tandaan na ang formula na ito ay nalalapat lamang sa isang regular na pinutol na pyramid.

Hayaang magbigay ng regular na quadrangular pyramid. Ang mukha ng ibabang base ay a = 6 cm, at ang mukha ng itaas na b = 4 cm. Ang dihedral na anggulo sa base ay β = 60°. Hanapin ang lateral surface area ng isang regular na pinutol na pyramid.

Una, kalkulahin natin ang lugar ng mga base. Dahil ang pyramid ay regular, ang lahat ng mga mukha ng mga base ay pantay sa bawat isa. Given na ang base ay isang quadrilateral, naiintindihan namin na ito ay kinakailangan upang kalkulahin parisukat na lugar. Ito ay produkto ng lapad at haba, ngunit parisukat, ang mga halagang ito ay pareho. Hanapin ang lugar ng mas malaking base:


Ngayon ginagamit namin ang mga nahanap na halaga upang kalkulahin ang lateral surface area.

Alam ang ilang simpleng mga formula, madali naming kinakalkula ang lugar ng lateral trapezoid ng isang pinutol na pyramid sa pamamagitan ng iba't ibang mga halaga.

Sa araling ito, isasaalang-alang natin ang isang pinutol na pyramid, kilalanin ang tamang pinutol na pyramid, at pag-aaralan ang kanilang mga ari-arian.

Alalahanin natin ang konsepto ng n-gonal pyramid gamit ang halimbawa ng triangular pyramid. Triangle ABC ay ibinigay. Sa labas ng eroplano ng tatsulok, kinuha ang isang puntong P, na konektado sa mga vertice ng tatsulok. Ang resultang polyhedral surface ay tinatawag na pyramid (Fig. 1).

kanin. 1. Triangular na pyramid

Putulin natin ang pyramid na may isang eroplanong parallel sa eroplano ng base ng pyramid. Ang pigura na nakuha sa pagitan ng mga eroplanong ito ay tinatawag na pinutol na pyramid (Larawan 2).

kanin. 2. Pinutol na pyramid

Esensyal na elemento:

Nangungunang base;

Lower base ABC;

Gilid na mukha;

Kung ang PH ay ang taas ng orihinal na pyramid, kung gayon ay ang taas ng pinutol na pyramid.

Ang mga katangian ng isang pinutol na pyramid ay sumusunod mula sa paraan ng pagtatayo nito, lalo na mula sa parallelism ng mga eroplano ng mga base:

Ang lahat ng panig na mukha ng isang pinutol na pyramid ay mga trapezoid. Isaalang-alang, halimbawa, ang isang mukha. Ito ay may pag-aari ng mga parallel na eroplano (dahil ang mga eroplano ay parallel, pinutol nila ang gilid na mukha ng orihinal na ABP pyramid kasama ang mga parallel na linya), sa parehong oras ay hindi sila parallel. Malinaw, ang quadrilateral ay isang trapezoid, tulad ng lahat ng mga gilid na mukha ng isang pinutol na pyramid.

Ang ratio ng mga base ay pareho para sa lahat ng trapezoids:

Mayroon kaming ilang pares ng magkatulad na tatsulok na may parehong koepisyent ng pagkakapareho. Halimbawa, ang mga tatsulok at RAB ay magkatulad dahil sa parallelism ng mga eroplano at , ang koepisyent ng pagkakatulad:

Kasabay nito, ang mga tatsulok at RCS ay magkapareho sa koepisyent ng pagkakatulad:

Malinaw, ang mga koepisyent ng pagkakatulad para sa lahat ng tatlong pares ng magkatulad na tatsulok ay pantay, kaya ang ratio ng mga base ay pareho para sa lahat ng mga trapezoid.

Ang regular na pinutol na pyramid ay isang pinutol na pyramid na nakuha sa pamamagitan ng pagputol ng isang regular na pyramid na may isang eroplanong parallel sa base (Larawan 3).

kanin. 3. Tamang pinutol na pyramid

Kahulugan.

Ang isang regular na pyramid ay tinatawag na isang pyramid, sa base nito ay namamalagi ng isang regular na n-gon, at ang vertex ay inaasahang papunta sa gitna ng n-gon na ito (ang gitna ng naka-inscribe at naka-circumscribed na bilog).

Sa kasong ito, ang isang parisukat ay namamalagi sa base ng pyramid, at ang vertex ay inaasahang sa punto ng intersection ng mga diagonal nito. Ang resultang regular na quadrangular truncated pyramid ay mayroong ABCD - ang lower base, - ang upper base. Ang taas ng orihinal na pyramid - RO, pinutol na pyramid - (Larawan 4).

kanin. 4. Regular na quadrangular truncated pyramid

Kahulugan.

Ang taas ng isang pinutol na pyramid ay isang patayo na iginuhit mula sa anumang punto ng isang base hanggang sa eroplano ng pangalawang base.

Ang apothem ng orihinal na pyramid ay RM (M ang gitna ng AB), ang apothem ng pinutol na pyramid ay (Fig. 4).

Kahulugan.

Ang apothem ng isang pinutol na pyramid ay ang taas ng anumang gilid na mukha.

Ito ay malinaw na ang lahat ng mga gilid na gilid ng pinutol na pyramid ay pantay-pantay sa bawat isa, iyon ay, ang mga gilid na mukha ay pantay na isosceles trapezoids.

Ang lugar ng lateral surface ng isang regular na pinutol na pyramid ay katumbas ng produkto ng kalahati ng kabuuan ng mga perimeter ng mga base at apothem.

Patunay (para sa isang regular na quadrangular truncated pyramid - Fig. 4):

Kaya, kailangan nating patunayan:

Ang lateral surface area dito ay bubuuin ng kabuuan ng mga lugar ng lateral faces - trapezoids. Dahil ang mga trapezoid ay pareho, mayroon kaming:

Ang lugar ng isang isosceles trapezoid ay ang produkto ng kalahati ng kabuuan ng mga base at ang taas, ang apothem ay ang taas ng trapezoid. Meron kami:

Q.E.D.

Para sa isang n-gonal pyramid:

Kung saan ang n ay ang bilang ng mga gilid na mukha ng pyramid, ang a at b ay ang mga base ng trapezoid, ay ang apothem.

Mga gilid ng base ng isang regular na pinutol na quadrangular pyramid ay katumbas ng 3 cm at 9 cm, taas - 4 cm. Hanapin ang lugar ng lateral surface.

kanin. 5. Ilustrasyon para sa problema 1

Solusyon. Ilarawan natin ang kondisyon:

Ibinigay: , ,

Gumuhit ng isang tuwid na linya MN sa pamamagitan ng punto O parallel sa dalawang gilid ng ibabang base, katulad na gumuhit ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng punto (Larawan 6). Dahil ang mga parisukat at mga konstruksyon ay parallel sa mga base ng pinutol na pyramid, nakakakuha tayo ng isang trapezoid na katumbas ng mga mukha sa gilid. Bukod dito, dadaan ang lateral side nito sa gitna ng upper at lower ribs ng side faces at magiging epitome ng truncated pyramid.

kanin. 6. Mga karagdagang konstruksyon

Isaalang-alang ang nagresultang trapezoid (Larawan 6). Sa trapezoid na ito, ang itaas na base, ibabang base at taas ay kilala. Kinakailangang hanapin ang lateral side, na siyang apothem ng ibinigay na truncated pyramid. Gumuhit patayo sa MN. Ihulog natin ang patayo na NQ mula sa punto. Nakukuha namin na ang mas malaking base ay nahahati sa mga segment ng tatlong sentimetro (). Isaalang-alang ang isang tamang tatsulok, ang mga binti sa loob nito ay kilala, ito ay isang Egyptian triangle, sa pamamagitan ng Pythagorean theorem natutukoy natin ang haba ng hypotenuse: 5 cm.

Ngayon ay mayroong lahat ng mga elemento para sa pagtukoy ng lugar ng lateral surface ng pyramid:

Ang pyramid ay tinatawid ng isang eroplanong parallel sa base. Gamit ang halimbawa ng isang tatsulok na pyramid, patunayan na ang mga gilid ng gilid at ang taas ng pyramid ay hinati ng eroplanong ito sa mga proporsyonal na bahagi.

Patunay. Ilarawan natin:

kanin. 7. Ilustrasyon para sa problema 2

Ang pyramid RABC ay ibinigay. Ang RO ay ang taas ng pyramid. Ang pyramid ay dissected ng isang eroplano, ang isang pinutol na pyramid ay nakuha, bukod dito. Point - ang punto ng intersection ng taas ng RO kasama ang eroplano ng base ng pinutol na pyramid. Ito ay kinakailangan upang patunayan:

Ang susi sa solusyon ay ang pag-aari ng mga parallel na eroplano. Dalawang magkatulad na eroplano ang pumutol sa alinmang ikatlong eroplano upang ang mga linya ng intersection ay parallel. Mula rito: . Ang parallelism ng kaukulang mga linya ay nagpapahiwatig ng pagkakaroon ng apat na pares ng magkatulad na tatsulok:

Mula sa pagkakatulad ng mga tatsulok ay sumusunod sa proporsyonalidad ng mga kaukulang panig. Ang isang mahalagang tampok ay ang mga coefficient ng pagkakapareho para sa mga tatsulok na ito ay pareho:

Q.E.D.

Ang isang regular na triangular na pyramid na RABC na may taas at gilid ng base ay hinihiwa ng isang eroplanong dumadaan sa gitna ng taas na PH na kahanay sa base ng ABC. Hanapin ang lugar ng lateral surface ng nagresultang pinutol na pyramid.

Solusyon. Ilarawan natin:

kanin. 8. Ilustrasyon para sa problema 3

Ang DIA ay isang regular na tatsulok, ang H ang sentro ng tatsulok na ito (ang gitna ng mga naka-inscribe at circumscribed na bilog). Ang RM ay ang apothem ng ibinigay na pyramid. - ang apothem ng pinutol na pyramid. Ayon sa pag-aari ng magkatulad na mga eroplano (dalawang parallel na eroplano ang pumutol sa anumang ikatlong eroplano upang ang mga linya ng intersection ay magkatulad), mayroon kaming ilang mga pares ng magkatulad na tatsulok na may pantay na pagkakatulad na koepisyent. Sa partikular, interesado kami sa kaugnayan:

Hanapin natin ang NM. Ito ang radius ng isang bilog na nakasulat sa base, alam natin ang kaukulang formula:

Ngayon, mula sa right-angled triangle РНМ, sa pamamagitan ng Pythagorean theorem, nakita namin ang РМ - ang apothem ng orihinal na pyramid:

Mula sa paunang ratio:

Ngayon alam namin ang lahat ng mga elemento para sa paghahanap ng lateral surface area ng isang pinutol na pyramid:

Kaya, nakilala namin ang mga konsepto ng isang pinutol na pyramid at isang regular na pinutol na pyramid, nagbigay ng mga pangunahing kahulugan, isinasaalang-alang ang mga katangian, at pinatunayan ang teorama sa lateral surface area. Ang susunod na aralin ay tututuon sa paglutas ng problema.

Bibliograpiya

1. I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. Geometry. Baitang 10-11: isang aklat-aralin para sa mga mag-aaral ng mga institusyong pang-edukasyon (basic at profile level) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5th ed., Rev. at karagdagang - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill.
2. Sharygin I. F. Geometry. Baitang 10-11: Isang aklat-aralin para sa mga pangkalahatang institusyong pang-edukasyon / Sharygin I. F. - M .: Bustard, 1999. - 208 p.: ill.
3. E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. Geometry. Baitang 10: Textbook para sa mga pangkalahatang institusyong pang-edukasyon na may malalim at profile na pag-aaral ng matematika / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - Ika-6 na ed., stereotype. - M.: Bustard, 2008. - 233 p.: may sakit.

1. Uztest.ru ().
2. Fmclass.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru().

Takdang aralin

• 29.05.2016

  Ang isang oscillatory circuit ay isang de-koryenteng circuit na naglalaman ng isang inductor, isang kapasitor at isang mapagkukunan ng elektrikal na enerhiya. Kapag ang mga elemento ng circuit ay konektado sa serye, ang oscillatory circuit ay tinatawag na serial, kapag parallel - parallel. Ang isang oscillatory circuit ay ang pinakasimpleng sistema kung saan maaaring mangyari ang mga libreng electromagnetic oscillations. Ang resonant frequency ng circuit ay tinutukoy ng tinatawag na Thomson formula: ƒ = 1/(2π√(LC)) Para sa …

• 20.09.2014

  Ang receiver ay idinisenyo upang makatanggap ng mga signal sa hanay ng LW (150 kHz ... 300 kHz). Ang pangunahing tampok ng receiver ay ang antenna, na may higit na inductance kaysa sa isang maginoo na magnetic antenna. Pinapayagan ka nitong gamitin ang kapasidad ng tuning capacitor sa hanay ng 4 ... 20pF, pati na rin ang naturang receiver ay may katanggap-tanggap na sensitivity at isang maliit na pakinabang sa RF path. Gumagana ang receiver para sa mga headphone (headphone), pinapagana ito ng ...

• 24.09.2014

  Idinisenyo ang device na ito upang kontrolin ang antas ng likido sa mga tangke sa sandaling tumaas ang likido itinatag na antas ang aparato ay magsisimulang magbigay ng tuluy-tuloy tunog signal kapag ang antas ng likido ay umabot sa isang kritikal na antas, ang aparato ay magsisimulang magbigay ng pasulput-sulpot na signal. Ang tagapagpahiwatig ay binubuo ng 2 generator, sila ay kinokontrol ng elemento ng sensor E. Ito ay inilalagay sa tangke sa isang antas hanggang sa ...

• 22.09.2014

  Ang KR1016VI1 ay isang digital multi-program timer na idinisenyo upang gumana sa indicator ng ILTs3-5\7. Nagbibigay ito ng pagbibilang at pagpapakita ng kasalukuyang oras sa mga oras at minuto, araw ng linggo at ang bilang ng control channel (9 alarm clock). Ang scheme ng alarm clock ay ipinapakita sa figure. Naka-clock ang microcircuit. resonator Q1 sa 32768 Hz. negatibo ang kapangyarihan, ang karaniwang plus ay napupunta sa ...