Mecanica de bază pentru manechine. Introducere. Mecanica teoretică pentru ingineri și cercetători

Conţinut

Cinematică

Cinematica unui punct material

Determinarea vitezei și accelerației unui punct în funcție de ecuațiile date ale mișcării sale

Dat: Ecuațiile mișcării unui punct: x = 12 sin(πt/6), cm; y= 6 cos 2 (πt/6), cm.

Setați tipul traiectoriei sale și pentru momentul de timp t = 1 s găsiți poziția unui punct pe traiectorie, viteza acestuia, accelerațiile complete, tangențiale și normale, precum și raza de curbură a traiectoriei.

Mișcarea de translație și rotație a unui corp rigid

Dat:
t = 2 s; r1 = 2 cm, R1 = 4 cm; r2 = 6 cm, R2 = 8 cm; r 3 \u003d 12 cm, R 3 \u003d 16 cm; s 5 \u003d t 3 - 6t (cm).

Să se determine la momentul t = 2 vitezele punctelor A, C; accelerația unghiulară a roții 3; accelerația punctului B și accelerația rack 4.

Analiza cinematică a unui mecanism plat

Dat:
R1, R2, L, AB, w1.
Găsiți: ω 2 .

Mecanismul plat este format din tijele 1, 2, 3, 4 si cursorul E. Tijele sunt conectate prin intermediul unor balamale cilindrice. Punctul D este situat în mijlocul barei AB.
Dat: ω 1 , ε 1 .
Aflați: viteze V A , V B , V D și V E ; viteze unghiulare ω 2 , ω 3 şi ω 4 ; accelerația a B ; accelerația unghiulară ε AB a verigii AB; poziţiile centrelor instantanee ale vitezelor P 2 şi P 3 ale legăturilor 2 şi 3 ale mecanismului.

Determinarea vitezei absolute și a accelerației absolute a unui punct

O placă dreptunghiulară se rotește în jurul unei axe fixe conform legii φ = 6 t 2 - 3 t 3. Direcția pozitivă de citire a unghiului φ este prezentată în figuri printr-o săgeată arc. Axa de rotație OO 1 se află în planul plăcii (placa se rotește în spațiu).

Punctul M se deplasează de-a lungul liniei drepte BD de-a lungul plăcii. Este dată legea mișcării sale relative, adică dependența s = AM = 40(t - 2 t 3) - 40(s - în centimetri, t - în secunde). Distanța b = 20 cm. În figură, punctul M este prezentat în poziția în care s = AM > 0 (pentru s< 0 punctul M este de cealaltă parte a punctului A).

Aflați viteza absolută și accelerația absolută a punctului M la momentul t 1 = 1 s.

Dinamica

Integrarea ecuațiilor diferențiale ale mișcării unui punct material sub acțiunea forțelor variabile

O sarcină D de masă m, care a primit o viteză inițială V 0 în punctul A, se deplasează într-o țeavă curbă ABC situată într-un plan vertical. Pe secțiunea AB, a cărei lungime este l, sarcina este afectată de o forță constantă T (direcția acesteia este prezentată în figură) și de forța R a rezistenței mediului (modulul acestei forțe este R = μV). 2, vectorul R este îndreptat opus vitezei V a sarcinii).

Sarcina, după ce și-a încheiat mișcarea în secțiunea AB, în punctul B al țevii, fără a modifica valoarea modulului său de viteză, trece în secțiunea BC. Pe secțiunea BC, asupra sarcinii acționează o forță variabilă F, a cărei proiecție F x pe axa x este dată.

Considerând sarcina ca punct material, găsiți legea mișcării sale pe secțiunea BC, adică. x = f(t), unde x = BD. Ignorați frecarea sarcinii pe țeavă.

Descărcați soluția

Teorema privind modificarea energiei cinetice a unui sistem mecanic

Sistemul mecanic este format din greutăți 1 și 2, o rolă cilindrică 3, scripete în două trepte 4 și 5. Corpurile sistemului sunt legate prin fire înfășurate pe scripete; secțiunile de fire sunt paralele cu planurile corespunzătoare. Rola (cilindrul solid omogen) se rostogolește de-a lungul planului de referință fără alunecare. Razele treptelor scripetelor 4 și 5 sunt respectiv R 4 = 0,3 m, r 4 = 0,1 m, R 5 = 0,2 m, r 5 = 0,1 m. Masa fiecărui scripete este considerată uniform distribuită de-a lungul marginii sale exterioare. . Planurile de sprijin ale greutăților 1 și 2 sunt brute, coeficientul de frecare de alunecare pentru fiecare greutate este f = 0,1.

Sub acțiunea forței F, al cărei modul se modifică conform legii F = F(s), unde s este deplasarea punctului de aplicare a acesteia, sistemul începe să se miște din starea de repaus. Când sistemul se mișcă, asupra scripetelui 5 acționează forțe de rezistență, al cărui moment față de axa de rotație este constant și egal cu M5.

Să se determine valoarea vitezei unghiulare a scripetelui 4 în momentul în care deplasarea s a punctului de aplicare a forței F devine egală cu s 1 = 1,2 m.

Descărcați soluția

Aplicarea ecuației generale a dinamicii la studiul mișcării unui sistem mecanic

Pentru un sistem mecanic, determinați accelerația liniară a 1 . Luați în considerare că pentru blocuri și role masele sunt distribuite de-a lungul razei exterioare. Cablurile și curelele sunt considerate lipsite de greutate și inextensibile; nu există alunecare. Ignorați frecarea de rulare și alunecare.

Descărcați soluția

Aplicarea principiului d'Alembert la determinarea reacţiilor suporturilor unui corp rotativ

Arborele vertical AK, care se rotește uniform cu o viteză unghiulară ω = 10 s -1, este fixat cu un lagăr axial în punctul A și un lagăr cilindric în punctul D.

O tijă fără greutate 1 cu lungimea de l 1 = 0,3 m este atașată rigid de arbore, la capătul liber al căruia există o sarcină cu masa m 1 = 4 kg și o tijă omogenă 2 cu lungimea de l 2 = 0,6 m, având masa de m 2 = 8 kg. Ambele tije se află în același plan vertical. Punctele de atașare a tijelor la arbore, precum și unghiurile α și β sunt indicate în tabel. Dimensiuni AB=BD=DE=EK=b, unde b = 0,4 m. Luați sarcina ca punct material.

Neglijând masa arborelui, determinați reacțiile lagărului axial și ale rulmentului.

a 20-a ed. - M.: 2010.- 416 p.

Cartea conturează bazele mecanicii unui punct material, a sistemului de puncte materiale și a unui corp solid într-un volum corespunzător programelor universităților tehnice. Sunt date multe exemple și sarcini, ale căror soluții sunt însoțite de linii directoare adecvate. Pentru studenții universităților tehnice cu normă întreagă și prin corespondență.

Format: pdf

Marimea: 14 MB

Urmăriți, descărcați: drive.google

CUPRINS
Prefață la cea de-a treisprezecea ediție 3
Introducere 5
SECȚIUNEA I STATICA UNEI STĂRI SOLIDE
Capitolul I. Concepte de bază prevederile inițiale ale articolelor 9
41. Corp absolut rigid; putere. Sarcini de statică 9
12. Dispoziții inițiale ale staticii » 11
$ 3. Conexiuni și reacțiile lor 15
Capitolul II. Compoziția forțelor. Sistemul forțelor convergente 18
§4. Geometric! Metoda de combinare a forțelor. Rezultatul forțelor convergente, descompunerea forțelor 18
f 5. Proiecții de forțe pe axă și pe plan, Metodă analitică de stabilire și adunare a forțelor 20
16. Echilibrul sistemului de forţe convergente_. . . 23
17. Rezolvarea problemelor de statică. 25
Capitolul III. Moment de forță în jurul centrului. Cuplu de putere 31
i 8. Moment de forță în jurul centrului (sau punctului) 31
| 9. Câteva forțe. moment de cuplu 33
f 10*. Teoreme de echivalență și adunare perechi 35
Capitolul IV. Aducerea sistemului de forțe în centru. Condiții de echilibru... 37
f 11. Teorema transferului de forțe paralele 37
112. Aducerea sistemului de forţe la un centru dat - . .38
§ 13. Condiţii pentru echilibrul unui sistem de forţe. Teorema asupra momentului rezultantei 40
Capitolul V. Sistemul de forțe plat 41
§ 14. Momente algebrice de forță și cupluri 41
115. Reducerea unui sistem plat de forțe la forma cea mai simplă .... 44
§ 16. Echilibrul unui sistem plat de forţe. Cazul forțelor paralele. 46
§ 17. Rezolvarea problemelor 48
118. Echilibrul sistemelor corpurilor 63
§ nouasprezece*. Sisteme de corpuri (structuri) determinate static și nedeterminate static 56"
f 20*. Definiţia internal forces. 57
§ 21*. Forțe distribuite 58
E22*. Calculul fermelor plate 61
Capitolul VI. Frecare 64
! 23. Legile frecării de alunecare 64
: 24. Reacții de legătură aspră. Unghi de frecare 66
: 25. Echilibrul în prezența frecării 66
(26*. Frecarea filetului pe o suprafață cilindrică 69
1 27*. Frecare de rulare 71
Capitolul VII. Sistemul spațial de forțe 72
§28. Moment de forță în jurul axei. Calculul vectorului principal
iar momentul principal al sistemului de forțe 72
§ 29*. Reducerea sistemului spațial de forțe la forma cea mai simplă 77
§treizeci. Echilibrul unui sistem spațial arbitrar de forțe. Cazul forțelor paralele
Capitolul VIII. Centrul de greutate 86
§31. Centrul forțelor paralele 86
§ 32. Câmp de forță. Centrul de greutate al unui corp rigid 88
§ 33. Coordonatele centrelor de greutate ale corpurilor omogene 89
§ 34. Metode de determinare a coordonatelor centrelor de greutate ale corpurilor. 90
§ 35. Centrele de greutate ale unor corpuri omogene 93
SECȚIUNEA A DOUA CINEMATICA UNUI PUNCT ȘI A UNUI CORPS RIGID
Capitolul IX. Cinematica punctuală 95
§ 36. Introducere în cinematică 95
§ 37. Metode de precizare a deplasării unui punct. . 96
§38. Vector viteza punctului,. 99
§ 39
§40. Determinarea vitezei și accelerației unui punct cu metoda coordonatelor de specificare a mișcării 102
§41. Rezolvarea problemelor de cinematică punctuală 103
§ 42. Axele unui triedru natural. Valoarea numerică a vitezei 107
§ 43. Accelerația tangentă și normală a unui punct 108
§44. Câteva cazuri speciale de mișcare a unui punct în software
§45. Grafice ale mișcării, vitezei și accelerației punctului 112
§ 46. Rezolvarea problemelor< 114
§47*. Viteza și accelerația unui punct în coordonatele polare 116
Capitolul X. Mișcările de translație și rotație ale unui corp rigid. . 117
§48. Mișcarea de translație 117
§ 49. Mișcarea de rotație a unui corp rigid în jurul unei axe. Viteza unghiulară și accelerația unghiulară 119
§50. Rotire uniformă și uniformă 121
§51. Vitezele și accelerațiile punctelor unui corp în rotație 122
Capitolul XI. Mișcarea plan-paralelă a unui corp rigid 127
§52. Ecuațiile mișcării plan-paralel (mișcarea unei figuri plane). Descompunerea mișcării în translație și rotație 127
§53*. Determinarea traiectoriilor punctelor unui plan figura 129
§54. Determinarea vitezelor punctelor de pe un plan figura 130
§ 55. Teorema privind proiecţiile vitezelor a două puncte ale corpului 131
§ 56. Determinarea vitezelor punctelor unei figuri plane folosind centrul de viteze instantaneu. Conceptul de centroizi 132
§57. Rezolvarea problemelor 136
§58*. Determinarea accelerațiilor punctelor unui plan figura 140
§59*. Centru de accelerație instantaneu „*”*
Capitolul XII*. Mișcarea unui corp rigid în jurul unui punct fix și mișcarea unui corp rigid liber 147
§ 60. Mișcarea unui corp rigid având un punct fix. 147
§61. Ecuații Euler cinematice 149
§62. Vitezele și accelerațiile punctelor corpului 150
§ 63. Cazul general de mișcare a unui corp rigid liber 153
Capitolul XIII. Mișcare complexă a punctului 155
§ 64. Moțiuni relative, figurative și absolute 155
§ 65, Teorema adiției vitezei » 156
§66. Teorema adunării accelerațiilor (teorema lui Coriols) 160
§67. Rezolvarea problemelor 16*
Capitolul XIV*. Mișcarea complexă a unui corp rigid 169
§68. Adăugarea mișcărilor de translație 169
§69. Adăugarea rotațiilor în jurul a două axe paralele 169
§70. Roți dințate cilindrice 172
§ 71. Adăugarea rotațiilor în jurul axelor care se intersectează 174
§72. Adăugarea mișcărilor de translație și rotație. Mișcarea șurubului 176
SECȚIUNEA A TREIA DINAMICA UNUI PUNCT
Capitolul XV: Introducere în dinamică. Legile dinamicii 180
§ 73. Concepte de bază și definiții 180
§ 74. Legile dinamicii. Probleme ale dinamicii unui punct material 181
§ 75. Sisteme de unitati 183
§76. Tipuri de bază de forțe 184
Capitolul XVI. Ecuații diferențiale ale mișcării unui punct. Rezolvarea problemelor de dinamică a punctelor 186
§ 77. Ecuații diferențiale, mișcări ale unui punct material Nr. 6
§ 78. Rezolvarea primei probleme de dinamică (determinarea forțelor dintr-o mișcare dată) 187
§ 79. Rezolvarea problemei principale de dinamică în mișcarea rectilinie a unui punct 189
§ 80. Exemple de rezolvare a problemelor 191
§81*. Căderea unui corp într-un mediu rezistent (în aer) 196
§82. Rezolvarea problemei principale de dinamică, cu mișcarea curbilinie a unui punct 197
Capitolul XVII. Teoreme generale ale dinamicii punctelor 201
§83. Cantitatea de mișcare a punctului. Force Impulse 201
§ S4. Teorema privind modificarea impulsului unui punct 202
§ 85. Teorema privind modificarea momentului unghiular al unui punct (teorema momentelor) „204
§86*. Mișcarea sub acțiunea unei forțe centrale. Legea zonelor.. 266
§ 8-7. Munca de forță. Puterea 208
§88. Exemple de calcul al lucrării 210
§89. Teorema privind modificarea energiei cinetice a unui punct. „... 213J
Capitolul XVIII. Mișcarea neliberă și relativă a unui punct 219
§90. Mișcarea neliberă a unui punct. 219
§91. Mișcarea relativă a unui punct 223
§ 92. Influența rotației Pământului asupra echilibrului și mișcării corpurilor... 227
Secțiunea 93*. Abaterea punctului incident de la verticală din cauza rotației Pământului „230
Capitolul XIX. Fluctuațiile rectilinie ale unui punct. . . 232
§ 94. Vibrații libere fără a ține cont de forțele de rezistență 232
§ 95. Oscilații libere cu rezistență vâscoasă (oscilații amortizate) 238
§96. Vibrații forțate. Rezonanta 241
Capitolul XX*. Mișcarea unui corp în câmpul gravitațional 250
§ 97. Mișcarea unui corp aruncat în câmpul gravitațional al Pământului „250
§98. Sateliții artificiali ai Pământului. Traiectorii eliptice. 254
§ 99. Conceptul de imponderabilitate. „Sisteme de referinţă locale 257
SECȚIUNEA A PATRA DINAMICA UNUI SISTEM ȘI A UNUI CORPS RIGID
G i a v a XXI. Introducere în dinamica sistemului. momente de inerție. 263
§ 100. Sistem mecanic. Forțele externe și interne 263
§ 101. Masa sistemului. Centrul de greutate 264
§ 102. Momentul de inerție al unui corp în jurul unei axe. Raza de inerție. . 265
$ 103. Momentele de inerție ale unui corp față de axe paralele. Teorema lui Huygens 268
§ 104*. momente de inerție centrifuge. Concepte despre principalele axe de inerție ale corpului 269
105 USD*. Momentul de inerție al unui corp față de o axă arbitrară. 271
Capitolul XXII. Teorema privind mișcarea centrului de masă al sistemului 273
$ 106. Ecuații diferențiale ale mișcării sistemului 273
§ 107. Teorema asupra mișcării centrului de masă 274
$ 108. Legea conservării mișcării centrului de masă 276
§ 109. Rezolvarea problemelor 277
Capitolul XXIII. Teorema privind modificarea cantității unui sistem mobil. . 280
$ DAR. Număr sistem de mișcare 280
§111. Teorema privind schimbarea impulsului 281
§ 112. Legea conservării impulsului 282
113 USD*. Aplicarea teoremei la mișcarea unui lichid (gaz) 284
§ 114*. Corp de masă variabilă. Mișcarea rachetei 287
Gdawa XXIV. Teorema privind modificarea momentului de impuls al sistemului 290
§ 115. Momentul principal al mărimilor de mișcare ale sistemului 290
$ 116. Teorema privind modificarea momentului principal al impulsului sistemului (teorema momentelor) 292
117 USD. Legea conservării momentului principal al impulsului. . 294
118 USD. Rezolvarea problemelor 295
119 USD*. Aplicarea teoremei momentului la mișcarea unui lichid (gaz) 298
§ 120. Condiții de echilibru pentru un sistem mecanic 300
Capitolul XXV. Teorema privind modificarea energiei cinetice a sistemului. . 301.
§ 121. Energia cinetică a sistemului 301
122 USD. Unele cazuri de calcul al muncii 305
$ 123. Teorema privind modificarea energiei cinetice a sistemului 307
124 USD. Rezolvarea problemelor 310
125 USD*. Sarcini mixte „314
126 USD. Câmp de forță potențial și funcție de forță 317
127 USD, energie potențială. Legea conservării energiei mecanice 320
Capitolul XXVI. „Aplicarea teoremelor generale la dinamica unui corp rigid 323
12 USD&. Mișcarea de rotație a unui corp rigid în jurul unei axe fixe ". 323"
129 dolari. Pendul fizic. Determinarea experimentală a momentelor de inerție. 326
130 USD. Mișcarea plan-paralelă a unui corp rigid 328
131 USD*. Teoria elementară a giroscopului 334
132 USD*. Mișcarea unui corp rigid în jurul unui punct fix și mișcarea unui corp rigid liber 340
Capitolul XXVII. principiul d'Alembert 344
133 dolari. Principiul lui d'Alembert pentru un punct și un sistem mecanic. . 344
$ 134. Vectorul principal și momentul principal al forțelor de inerție 346
135 USD. Rezolvarea problemelor 348
$136*, Reacții didemice care acționează pe axa unui corp în rotație. Echilibrarea corpurilor rotative 352
Capitolul XXVIII. Principiul deplasărilor posibile și ecuația generală a dinamicii 357
§ 137. Clasificarea legăturilor 357
§ 138. Posibilele deplasări ale sistemului. Numărul de grade de libertate. . 358
§ 139. Principiul mişcărilor posibile 360
§ 140. Rezolvarea problemelor 362
§ 141. Ecuația generală a dinamicii 367
Capitolul XXIX. Condiții de echilibru și ecuații de mișcare ale sistemului în coordonate generalizate 369
§ 142. Coordonate generalizate şi viteze generalizate. . . 369
§ 143. Forţe generalizate 371
§ 144. Condiții de echilibru pentru un sistem în coordonate generalizate 375
§ 145. Ecuațiile lui Lagrange 376
§ 146. Rezolvarea problemelor 379
Capitolul XXX*. Mici oscilații ale sistemului în jurul poziției de echilibru stabil 387
§ 147. Conceptul de stabilitate de echilibru 387
§ 148. Mici vibrații libere ale unui sistem cu un grad de libertate 389
§ 149. Mici oscilații amortizate și forțate ale unui sistem cu un grad de libertate 392
§ 150. Mici oscilații sumare ale unui sistem cu două grade de libertate 394
Capitolul XXXI. Teoria elementară a impactului 396
§ 151. Ecuația de bază a teoriei impactului 396
§ 152. Teoreme generale ale teoriei impactului 397
§ 153. Factorul de recuperare a impactului 399
§ 154. Impactul corpului asupra unei bariere fixe 400
§ 155. Impactul central direct al a două corpuri (impactul bilelor) 401
§ 156. Pierderea energiei cinetice în timpul unui impact neelastic a două corpuri. Teorema lui Carnot 403
§ 157*. O lovitură pentru un corp în rotație. Centrul de impact 405
Index 409

Teoreme generale ale dinamicii unui sistem de corpuri. Teoreme asupra mișcării centrului de masă, asupra modificării impulsului, asupra schimbării momentului principal al impulsului, asupra schimbării energiei cinetice. Principiile lui d'Alembert și posibilele deplasări. Ecuația generală a dinamicii. Ecuațiile lui Lagrange.

Conţinut

Munca făcută de forță, este egal cu produsul scalar al vectorilor de forță și deplasarea infinitezimală a punctului de aplicare:
,
adică produsul modulelor vectorilor F și ds și cosinusul unghiului dintre ei.

Munca făcută de momentul forței, este egal cu produsul scalar al vectorilor momentului și unghiului infinitezimal de rotație:
.

principiul d'Alembert

Esența principiului lui d'Alembert este de a reduce problemele de dinamică la problemele de statică. Pentru a face acest lucru, se presupune (sau se știe dinainte) că corpurile sistemului au anumite accelerații (unghiulare). În continuare, se introduc forțele de inerție și (sau) momentele de inerție, care sunt egale ca mărime și reciproce ca direcție cu forțele și momentele forțelor, care, conform legilor mecanicii, ar crea accelerații sau accelerații unghiulare date.

Luați în considerare un exemplu. Corpul face o mișcare de translație și asupra lui acționează forțele externe. În plus, presupunem că aceste forțe creează o accelerare a centrului de masă al sistemului. Conform teoremei privind mișcarea centrului de masă, centrul de masă al unui corp ar avea aceeași accelerație dacă asupra corpului ar acționa o forță. În continuare, introducem forța de inerție:
.
După aceea, sarcina dinamicii este:
.
;
.

Pentru mișcarea de rotație procedați în mod similar. Lăsați corpul să se rotească în jurul axei z și momentele exterioare ale forțelor M e zk să acționeze asupra lui. Presupunem că aceste momente creează o accelerație unghiulară ε z . În continuare, introducem momentul forțelor de inerție M И = - J z ε z . După aceea, sarcina dinamicii este:
.
Se transformă într-o sarcină statică:
;
.

Principiul mișcărilor posibile

Principiul posibilelor deplasări este folosit pentru a rezolva probleme de statică. În unele probleme, oferă o soluție mai scurtă decât scrierea ecuațiilor de echilibru. Acest lucru este valabil mai ales pentru sistemele cu conexiuni (de exemplu, sisteme de corpuri conectate prin fire și blocuri), constând din mai multe corpuri

Principiul mișcărilor posibile.
Pentru echilibrul unui sistem mecanic cu constrângeri ideale, este necesar și suficient ca suma lucrărilor elementare ale tuturor forțelor active care acționează asupra acestuia pentru orice posibilă deplasare a sistemului să fie egală cu zero.

Posibilă mutare a sistemului- aceasta este o deplasare mică, la care conexiunile impuse sistemului nu sunt rupte.

Conexiuni perfecte- acestea sunt obligațiuni care nu funcționează atunci când sistemul este mutat. Mai precis, suma muncii efectuate de legăturile în sine la mutarea sistemului este zero.

Ecuația generală a dinamicii (principiul d'Alembert - Lagrange)

Principiul d'Alembert-Lagrange este o combinaţie a principiului d'Alembert cu principiul posibilelor deplasări. Adică, atunci când rezolvăm problema dinamicii, introducem forțele de inerție și reducem problema la problema staticii, pe care o rezolvăm folosind principiul deplasărilor posibile.

principiul d'Alembert-Lagrange.
Când un sistem mecanic se mișcă cu constrângeri ideale în fiecare moment de timp, suma lucrărilor elementare a tuturor forțelor active aplicate și a tuturor forțelor de inerție pe orice deplasare posibilă a sistemului este egală cu zero:
.
Această ecuație se numește ecuația generală a dinamicii.

Ecuații Lagrange

Coordonatele generalizate q 1 , q 2 , ..., q n este un set de n valori care determină în mod unic poziția sistemului.

Numărul de coordonate generalizate n coincide cu numărul de grade de libertate ale sistemului.

Viteze generalizate sunt derivatele coordonatelor generalizate în raport cu timpul t.

Forțele generalizate Q 1 , Q 2 , ..., Q n .
Considerăm o posibilă deplasare a sistemului, în care coordonata q k va primi o deplasare δq k . Restul coordonatelor rămân neschimbate. Fie δA k munca efectuată de forțele externe în timpul unei astfel de deplasări. Atunci
δA k = Q k δq k sau
.

Dacă, cu o posibilă deplasare a sistemului, toate coordonatele se modifică, atunci munca efectuată de forțele externe în timpul unei astfel de deplasări are forma:
δA = Q 1 δq 1 + Q 2 δq 2 + ... + Q n δq n.
Atunci forțele generalizate sunt derivate parțiale ale lucrării de deplasare:
.

Pentru forțele potențiale cu potențial Π,
.

Ecuații Lagrange sunt ecuațiile de mișcare ale unui sistem mecanic în coordonate generalizate:

Aici T este energia cinetică. Este o funcție de coordonate generalizate, viteze și, eventual, timp. Prin urmare, derivata sa parțială este, de asemenea, o funcție de coordonatele generalizate, viteze și timp. În continuare, trebuie să țineți cont de faptul că coordonatele și vitezele sunt funcții de timp. Prin urmare, pentru a găsi derivata timpului total, trebuie să aplicați regula de diferențiere a unei funcții complexe:
.

Referinte:
S. M. Targ, Curs scurt de mecanică teoretică, Școala Superioară, 2010.

Statica este o ramură a mecanicii teoretice care studiază condițiile de echilibru pentru corpurile materiale sub acțiunea forțelor, precum și metodele de transformare a forțelor în sisteme echivalente.

În starea de echilibru, în statică, se înțelege starea în care toate părțile sistemului mecanic sunt în repaus în raport cu un sistem de coordonate inerțial. Unul dintre obiectele de bază ale staticii sunt forțele și punctele de aplicare a acestora.

Forța care acționează asupra unui punct material cu un vector rază din alte puncte este o măsură a influenței altor puncte asupra punctului considerat, în urma căreia primește accelerație față de cadrul de referință inerțial. Valoare putere este determinată de formula:
,
unde m este masa punctului - o valoare care depinde de proprietățile punctului însuși. Această formulă se numește a doua lege a lui Newton.

Aplicarea staticii în dinamică

O caracteristică importantă a ecuațiilor de mișcare a unui corp absolut rigid este că forțele pot fi convertite în sisteme echivalente. Cu o astfel de transformare, ecuațiile mișcării își păstrează forma, dar sistemul de forțe care acționează asupra corpului poate fi transformat într-un sistem mai simplu. Astfel, punctul de aplicare a forței poate fi deplasat de-a lungul liniei de acțiune a acesteia; forțele pot fi extinse conform regulii paralelogramului; forțele aplicate într-un punct pot fi înlocuite cu suma lor geometrică.

Un exemplu de astfel de transformări este gravitația. Acționează în toate punctele unui corp rigid. Dar legea mișcării corpului nu se va schimba dacă forța gravitațională distribuită peste toate punctele este înlocuită cu un singur vector aplicat la centrul de masă al corpului.

Rezultă că dacă la sistemul principal de forțe care acționează asupra corpului adăugăm un sistem echivalent, în care direcțiile forțelor sunt inversate, atunci corpul, sub acțiunea acestor sisteme, va fi în echilibru. Astfel, sarcina de a determina sisteme echivalente de forțe se reduce la problema echilibrului, adică la problema staticii.

Sarcina principală a staticii este stabilirea legilor pentru transformarea unui sistem de forţe în sisteme echivalente. Astfel, metodele staticii sunt folosite nu numai în studiul corpurilor aflate în echilibru, ci și în dinamica unui corp rigid, în transformarea forțelor în sisteme echivalente mai simple.

Statica punctului material

Luați în considerare un punct material care este în echilibru. Și să acționeze n forțe asupra ei, k = 1, 2, ..., n.

Dacă punctul material este în echilibru, atunci suma vectorială a forțelor care acționează asupra acestuia este egală cu zero:
(1) .

În echilibru, suma geometrică a forțelor care acționează asupra unui punct este zero.

Interpretare geometrică. Dacă începutul celui de-al doilea vector este plasat la sfârșitul primului vector, iar începutul celui de-al treilea este plasat la sfârșitul celui de-al doilea vector și apoi acest proces este continuat, atunci sfârșitul ultimului, al n-lea vector va fi combinat cu începutul primului vector. Adică, obținem o figură geometrică închisă, ale cărei lungimi ale laturilor sunt egale cu modulele vectorilor. Dacă toți vectorii se află în același plan, atunci obținem un poligon închis.

Este adesea convenabil să alegeți sistem de coordonate dreptunghiular Oxyz. Atunci sumele proiecțiilor tuturor vectorilor de forță de pe axele de coordonate sunt egale cu zero:

Dacă alegeți orice direcție definită de un vector, atunci suma proiecțiilor vectorilor de forță pe această direcție este egală cu zero:
.
Înmulțim scalar ecuația (1) cu vectorul:
.
Iată produsul scalar al vectorilor și .
Rețineți că proiecția unui vector pe direcția vectorului este determinată de formula:
.

Statica corpului rigid

Moment de forță în jurul unui punct

Determinarea momentului de forta

Moment de forță, aplicat corpului în punctul A, relativ la centrul fix O, se numește vector egal cu produsul vectorial al vectorilor și:
(2) .

Interpretare geometrică

Momentul forței este egal cu produsul dintre forța F și brațul OH.

Fie vectorii și să fie localizați în planul figurii. Conform proprietății produsului încrucișat, vectorul este perpendicular pe vectori și , adică perpendicular pe planul figurii. Direcția sa este determinată de regula corectă a șurubului. În figură, vectorul moment este îndreptat către noi. Valoarea absolută a momentului:
.
Pentru că atunci
(3) .

Folosind geometria, se poate da o altă interpretare a momentului de forță. Pentru a face acest lucru, trageți o linie dreaptă AH prin vectorul forță . Din centrul O coborâm perpendiculara OH pe această dreaptă. Lungimea acestei perpendiculare se numește umărul puterii. Atunci
(4) .
Deoarece , formulele (3) și (4) sunt echivalente.

În acest fel, valoarea absolută a momentului de forță relativ la centrul O este produs al forței asupra umărului această forţă relativă la centrul ales O .

Când se calculează momentul, este adesea convenabil să se descompună forța în două componente:
,
Unde . Forța trece prin punctul O. Prin urmare, impulsul său este zero. Atunci
.
Valoarea absolută a momentului:
.

Componentele momentului în coordonate dreptunghiulare

Dacă alegem un sistem de coordonate dreptunghiular Oxyz centrat în punctul O, atunci momentul forței va avea următoarele componente:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) .
Iată coordonatele punctului A din sistemul de coordonate selectat:
.
Componentele sunt valorile momentului de forță în jurul axelor, respectiv.

Proprietățile momentului de forță despre centru

Momentul în jurul centrului O, din forța care trece prin acest centru, este egal cu zero.

Dacă punctul de aplicare al forței este deplasat de-a lungul unei linii care trece prin vectorul forță, atunci momentul, în timpul unei astfel de mișcări, nu se va schimba.

Momentul din suma vectorială a forțelor aplicate unui punct al corpului este egal cu suma vectorială a momentelor din fiecare dintre forțele aplicate în același punct:
.

Același lucru se aplică forțelor ale căror linii de prelungire se intersectează într-un punct.

Dacă suma vectorială a forțelor este zero:
,
atunci suma momentelor din aceste forțe nu depinde de poziția centrului, raportat la care se calculează momentele:
.

Cuplu de putere

Cuplu de putere- sunt două forțe egale în valoare absolută și având direcții opuse, aplicate în puncte diferite ale corpului.

O pereche de forțe se caracterizează prin momentul în care se creează. Deoarece suma vectorială a forțelor incluse în pereche este zero, momentul creat de cuplu nu depinde de punctul relativ la care se calculează momentul. Din punctul de vedere al echilibrului static, natura forțelor din pereche este irelevantă. O pereche de forțe este folosită pentru a indica faptul că un moment de forțe acționează asupra corpului, având o anumită valoare.

Moment de forță în jurul unei axe date

Adesea există cazuri când nu trebuie să cunoaștem toate componentele momentului de forță despre un punct selectat, ci trebuie doar să cunoaștem momentul de forță despre o axă selectată.

Momentul de forță în jurul axei care trece prin punctul O este proiecția vectorului momentului de forță, în jurul punctului O, pe direcția axei.

Proprietățile momentului de forță în jurul axei

Momentul în jurul axei de la forța care trece prin această axă este egal cu zero.

Momentul în jurul unei axe dintr-o forță paralelă cu această axă este zero.

Calculul momentului de forță în jurul unei axe

Fie ca o forță să acționeze asupra corpului în punctul A. Să găsim momentul acestei forțe în raport cu axa O′O′′.

Să construim un sistem de coordonate dreptunghiular. Lasă axa Oz să coincidă cu O′O′′ . Din punctul A aruncăm perpendiculara OH pe O′O′′ . Prin punctele O și A trasăm axa Ox. Desenăm axa Oy perpendiculară pe Ox și Oz. Descompunem forța în componente de-a lungul axelor sistemului de coordonate:
.
Forța traversează axa O′O′′. Prin urmare, impulsul său este zero. Forța este paralelă cu axa O′O′′. Prin urmare, momentul său este, de asemenea, zero. Prin formula (5.3) găsim:
.

Rețineți că componenta este direcționată tangențial la cercul al cărui centru este punctul O . Direcția vectorului este determinată de regula șurubului drept.

Condiții de echilibru pentru un corp rigid

În echilibru, suma vectorială a tuturor forțelor care acționează asupra corpului este egală cu zero, iar suma vectorială a momentelor acestor forțe relativ la un centru fix arbitrar este egală cu zero:
(6.1) ;
(6.2) .

Subliniem că centrul O , raportat la care se calculează momentele forțelor, poate fi ales arbitrar. Punctul O poate aparține corpului sau poate fi în afara acestuia. De obicei, centrul O este ales pentru a ușura calculele.

Condițiile de echilibru pot fi formulate în alt mod.

În echilibru, suma proiecțiilor forțelor pe orice direcție dată de un vector arbitrar este egală cu zero:
.
Suma momentelor forțelor în jurul unei axe arbitrare O′O′′ este, de asemenea, egală cu zero:
.

Uneori, aceste condiții sunt mai convenabile. Sunt momente când, prin alegerea axelor, calculele pot fi simplificate.

Centrul de greutate al corpului

Luați în considerare una dintre cele mai importante forțe - gravitația. Aici, forțele nu sunt aplicate în anumite puncte ale corpului, ci sunt distribuite continuu pe volumul acestuia. Pentru fiecare parte a corpului cu un volum infinitezimal ∆V, forța gravitațională acționează. Aici ρ este densitatea substanței corpului, este accelerația căderii libere.

Fie masa unei părți infinit de mică a corpului. Și să fie punctul A k definește poziția acestei secțiuni. Să găsim mărimile legate de forța gravitațională, care sunt incluse în ecuațiile de echilibru (6).

Să aflăm suma forțelor gravitaționale formate de toate părțile corpului:
,
unde este masa corpului. Astfel, suma forțelor gravitaționale ale părților infinitezimale individuale ale corpului poate fi înlocuită cu un vector gravitațional al întregului corp:
.

Să aflăm în mod arbitrar suma momentelor forțelor gravitaționale, raportate la centrul ales O:

.
Aici am introdus punctul C care se numește centrul de greutate corp. Poziția centrului de greutate, într-un sistem de coordonate centrat în punctul O, este determinată de formula:
(7) .

Deci, atunci când se determină echilibrul static, suma forțelor gravitaționale ale secțiunilor individuale ale corpului poate fi înlocuită cu rezultanta
,
aplicat pe centrul de masă al corpului C , a cărui poziţie este determinată de formula (7).

Poziția centrului de greutate pentru diferite forme geometrice poate fi găsită în cărțile de referință relevante. Dacă corpul are o axă sau un plan de simetrie, atunci centrul de greutate este situat pe această axă sau plan. Deci, centrele de greutate ale unei sfere, cerc sau cerc sunt situate în centrele cercurilor acestor figuri. Centrele de greutate ale unui paralelipiped dreptunghic, dreptunghi sau pătrat sunt, de asemenea, situate în centrele lor - în punctele de intersecție ale diagonalelor.

Sarcina distribuită uniform (A) și liniar (B).

Există și cazuri similare cu forța gravitațională, când forțele nu sunt aplicate în anumite puncte ale corpului, ci sunt distribuite continuu pe suprafața sau volumul acestuia. Astfel de forțe sunt numite forțe distribuite sau .

(Figura A). De asemenea, ca și în cazul gravitației, aceasta poate fi înlocuită cu forța rezultantă a mărimii , aplicată la centrul de greutate al diagramei. Deoarece diagrama din figura A este un dreptunghi, centrul de greutate al diagramei este în centrul său - punctul C: | AC| = | CB |.

(poza B). Poate fi înlocuit și cu rezultatul. Valoarea rezultantei este egală cu aria diagramei:
.
Punctul de aplicare este în centrul de greutate al parcelei. Centrul de greutate al unui triunghi, înălțimea h, se află la o distanță de bază. Asa de .

Forțele de frecare

Frecare de alunecare. Lăsați corpul să fie pe o suprafață plană. Și să fie o forță perpendiculară pe suprafața cu care suprafața acționează asupra corpului (forța de presiune). Apoi forța de frecare de alunecare este paralelă cu suprafața și direcționată în lateral, împiedicând mișcarea corpului. Valoarea sa cea mai mare este:
,
unde f este coeficientul de frecare. Coeficientul de frecare este o mărime adimensională.

frecare de rulare. Lăsați corpul rotunjit să se rostogolească sau se poate rostogoli pe suprafață. Și să fie forța de presiune perpendiculară pe suprafața cu care suprafața acționează asupra corpului. Apoi asupra corpului, in punctul de contact cu suprafata, actioneaza momentul fortelor de frecare, care impiedica miscarea corpului. Cea mai mare valoare a momentului de frecare este:
,
unde δ este coeficientul de frecare la rulare. Are dimensiunea lungimii.

Referinte:
S. M. Targ, Curs scurt de mecanică teoretică, Școala Superioară, 2010.

Ca parte a oricărui curriculum, studiul fizicii începe cu mecanica. Nu din teoretic, nu din aplicat și nu din calcul, ci din mecanică clasică veche. Această mecanică este numită și mecanică newtoniană. Potrivit legendei, omul de știință se plimba prin grădină, a văzut un măr căzând și tocmai acest fenomen l-a determinat să descopere legea gravitației universale. Desigur, legea a existat dintotdeauna, iar Newton i-a dat doar o formă pe înțelesul oamenilor, dar meritul lui este neprețuit. În acest articol, nu vom descrie legile mecanicii newtoniene cât mai detaliat posibil, dar vom schița elementele de bază, cunoștințele de bază, definițiile și formulele care vă pot juca întotdeauna.

Mecanica este o ramură a fizicii, o știință care studiază mișcarea corpurilor materiale și interacțiunile dintre ele.

Cuvântul în sine este de origine greacă și se traduce prin „arta de a construi mașini”. Dar înainte de a construi mașini, mai avem un drum lung de parcurs, așa că haideți să călcăm pe urmele strămoșilor noștri și vom studia mișcarea pietrelor aruncate în unghi față de orizont și a merelor care cad pe capete de la o înălțime h.

De ce începe studiul fizicii cu mecanica? Pentru că este complet firesc, să nu o pornim de la echilibrul termodinamic?!

Mecanica este una dintre cele mai vechi științe, iar din punct de vedere istoric, studiul fizicii a început tocmai cu bazele mecanicii. Plasați în cadrul timpului și al spațiului, oamenii, de fapt, nu puteau pleca de la altceva, oricât de mult și-ar fi dorit. Corpurile în mișcare sunt primul lucru la care acordăm atenție.

Ce este mișcarea?

Mișcarea mecanică este o modificare a poziției corpurilor în spațiu unul față de celălalt în timp.

După această definiție, ajungem în mod firesc la conceptul de cadru de referință. Schimbarea poziției corpurilor în spațiu unul față de celălalt. Cuvinte cheie aici: relativ unul față de celălalt . La urma urmei, un pasager într-o mașină se mișcă față de o persoană care stă pe marginea drumului cu o anumită viteză și se odihnește față de vecinul său pe un scaun din apropiere și se deplasează cu o altă viteză față de un pasager într-o mașină care ii depaseste.

De aceea, pentru a măsura în mod normal parametrii obiectelor în mișcare și a nu ne confunda, avem nevoie sistem de referință - corp de referință interconectat rigid, sistem de coordonate și ceas. De exemplu, pământul se mișcă în jurul soarelui într-un cadru de referință heliocentric. În viața de zi cu zi, efectuăm aproape toate măsurătorile noastre într-un sistem de referință geocentric asociat cu Pământul. Pământul este un corp de referință în raport cu care se deplasează mașini, avioane, oameni, animale.

Mecanica, ca știință, are propria ei sarcină. Sarcina mecanicii este de a cunoaște în orice moment poziția corpului în spațiu. Cu alte cuvinte, mecanica construiește o descriere matematică a mișcării și găsește conexiuni între mărimile fizice care o caracterizează.

Pentru a merge mai departe, avem nevoie de noțiunea de „ punct material ". Ei spun că fizica este o știință exactă, dar fizicienii știu câte aproximări și presupuneri trebuie făcute pentru a fi de acord cu această exactitate. Nimeni nu a văzut vreodată un punct material sau a adulmecat un gaz ideal, dar ele există! Doar că sunt mult mai ușor de trăit cu ele.

Un punct material este un corp a cărui dimensiune și formă pot fi neglijate în contextul acestei probleme.

Secţiuni de mecanică clasică

Mecanica este formată din mai multe secțiuni

• Cinematică
• Dinamica
• Statică

Cinematică din punct de vedere fizic, studiază exact modul în care se mișcă corpul. Cu alte cuvinte, această secțiune tratează caracteristicile cantitative ale mișcării. Găsiți viteza, calea - sarcini tipice ale cinematicii

Dinamica rezolvă întrebarea de ce se mișcă așa cum o face. Adică ia în considerare forțele care acționează asupra corpului.

Statică studiază echilibrul corpurilor sub acțiunea forțelor, adică răspunde la întrebarea: de ce nu cade deloc?

Limitele de aplicabilitate ale mecanicii clasice

Mecanica clasică nu mai pretinde a fi o știință care explică totul (la începutul secolului trecut, totul era complet diferit) și are un domeniu clar de aplicabilitate. În general, legile mecanicii clasice sunt valabile pentru lumea cunoscută nouă în ceea ce privește dimensiunea (macrolume). Ele încetează să funcționeze în cazul lumii particulelor, când mecanica clasică este înlocuită cu mecanica cuantică. De asemenea, mecanica clasică este inaplicabilă cazurilor în care mișcarea corpurilor are loc la o viteză apropiată de viteza luminii. În astfel de cazuri, efectele relativiste devin pronunțate. Aproximativ vorbind, în cadrul mecanicii cuantice și relativiste - mecanica clasică, acesta este un caz special când dimensiunile corpului sunt mari și viteza este mică.

În general, efectele cuantice și relativiste nu dispar niciodată; ele au loc și în timpul mișcării obișnuite a corpurilor macroscopice la o viteză mult mai mică decât viteza luminii. Un alt lucru este că acțiunea acestor efecte este atât de mică încât nu depășește cele mai precise măsurători. Mecanica clasică nu își va pierde niciodată importanța fundamentală.

Vom continua să studiem bazele fizice ale mecanicii în articolele viitoare. Pentru o mai bună înțelegere a mecanicii, vă puteți referi oricând la autorii noștri, care aruncă în mod individual lumină asupra punctului întunecat al celei mai dificile sarcini.