Sensul geometric al progresiei. Progresia geometrică și formula ei. Proprietatea unei progresii geometrice

>> Matematică: Progresie geometrică

Pentru comoditatea cititorului, această secțiune urmează exact același plan pe care l-am urmat în secțiunea anterioară.

1. Concepte de bază.

Definiție. Se numește progresie geometrică o succesiune numerică, a cărei toți membrii sunt diferiți de 0 și fiecare membru al căruia, începând cu al doilea, se obține de la membrul anterior prin înmulțirea lui cu același număr. În acest caz, numărul 5 este numit numitorul unei progresii geometrice.

Astfel, o progresie geometrică este o succesiune numerică (b n) dată recursiv de relații

Este posibil, analizând o succesiune de numere, să se determine dacă este o progresie geometrică? Poate sa. Dacă sunteți convins că raportul oricărui membru al șirului față de membrul anterior este constant, atunci aveți o progresie geometrică.
Exemplul 1

1, 3, 9, 27, 81,... .
b 1 = 1, q = 3.

Exemplul 2

Aceasta este o progresie geometrică care
Exemplul 3

Aceasta este o progresie geometrică care
Exemplul 4

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

Aceasta este o progresie geometrică în care b 1 - 8, q = 1.

Rețineți că această secvență este și o progresie aritmetică (vezi Exemplul 3 din § 15).

Exemplul 5

2,-2,2,-2,2,-2.....

Aceasta este o progresie geometrică, în care b 1 \u003d 2, q \u003d -1.

Evident, o progresie geometrică este o succesiune crescătoare dacă b 1 > 0, q > 1 (vezi Exemplul 1) și o succesiune descrescătoare dacă b 1 > 0, 0< q < 1 (см. пример 2).

Pentru a indica că șirul (b n) este o progresie geometrică, următoarea notație este uneori convenabilă:

Pictograma înlocuiește expresia „progresie geometrică”.
Observăm o proprietate curioasă și în același timp destul de evidentă a unei progresii geometrice:
Dacă succesiunea este o progresie geometrică, apoi succesiunea de pătrate, adică este o progresie geometrică.
În a doua progresie geometrică, primul termen este egal cu a egal cu q 2.
Dacă aruncăm toți termenii care urmează exponențial pe b n, atunci obținem o progresie geometrică finită
În paragrafele următoare ale acestei secțiuni, vom lua în considerare cele mai importante proprietăți ale unei progresii geometrice.

2. Formula celui de-al n-lea termen al unei progresii geometrice.

Luați în considerare o progresie geometrică numitor q. Noi avem:

Nu este greu de ghicit că pentru orice număr n egalitatea

Aceasta este formula pentru al n-lea termen al unei progresii geometrice.

Cometariu.

Dacă ați citit observația importantă din paragraful anterior și ați înțeles-o, atunci încercați să demonstrați formula (1) prin inducție matematică, așa cum s-a făcut pentru formula celui de-al n-lea termen al unei progresii aritmetice.

Să rescriem formula celui de-al n-lea termen al progresiei geometrice

și introduceți notația: obținem y \u003d mq 2 sau, mai detaliat,
Argumentul x este conținut în exponent, deci o astfel de funcție se numește funcție exponențială. Aceasta înseamnă că o progresie geometrică poate fi considerată ca o funcție exponențială dată pe mulțimea N de numere naturale. Pe fig. 96a prezintă un grafic al funcției din Fig. 966 - graficul funcției În ambele cazuri, avem puncte izolate (cu abscise x = 1, x = 2, x = 3 etc.) situate pe o curbă (ambele figuri arată aceeași curbă, doar diferit situate și reprezentate la scări diferite). Această curbă se numește exponent. Mai multe despre funcția exponențială și graficul acesteia vor fi discutate în cursul de algebră de clasa a XI-a.

Să revenim la exemplele 1-5 din paragraful anterior.

1) 1, 3, 9, 27, 81,... . Aceasta este o progresie geometrică, în care b 1 \u003d 1, q \u003d 3. Să facem o formulă pentru al n-lea termen
2) Aceasta este o progresie geometrică, în care Să formulăm al n-lea termen

Aceasta este o progresie geometrică care Compuneți formula pentru al n-lea termen
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . Aceasta este o progresie geometrică, în care b 1 \u003d 8, q \u003d 1. Să facem o formulă pentru al n-lea termen
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... Aceasta este o progresie geometrică, în care b 1 = 2, q = -1. Compuneți formula pentru al n-lea termen

Exemplul 6

Având în vedere o progresie geometrică

În toate cazurile, soluția se bazează pe formula celui de-al n-lea membru al unei progresii geometrice

a) Punând n = 6 în formula celui de-al n-lea termen al progresiei geometrice, obținem

b) Avem

Deoarece 512 \u003d 2 9, obținem n - 1 \u003d 9, n \u003d 10.

d) Avem

Exemplul 7

Diferența dintre al șaptelea și al cincilea membru al progresiei geometrice este 48, suma celui de-al cincilea și al șaselea membru al progresiei este de asemenea 48. Aflați al doisprezecelea membru al acestei progresii.

Primul stagiu.Întocmirea unui model matematic.

Condițiile sarcinii pot fi scrise pe scurt după cum urmează:

Folosind formula celui de-al n-lea membru al unei progresii geometrice, obținem:
Atunci a doua condiție a problemei (b 7 - b 5 = 48) poate fi scrisă ca

A treia condiție a problemei (b 5 +b 6 = 48) poate fi scrisă ca

Ca rezultat, obținem un sistem de două ecuații cu două variabile b 1 și q:

care, în combinație cu condiția 1) scrisă mai sus, este model matematic sarcini.

Faza a doua.

Lucrul cu modelul compilat. Echivalând părțile din stânga ambelor ecuații ale sistemului, obținem:

(am împărțit ambele părți ale ecuației în expresia b 1 q 4 , care este diferită de zero).

Din ecuația q 2 - q - 2 = 0 găsim q 1 = 2, q 2 = -1. Înlocuind valoarea q = 2 în a doua ecuație a sistemului, obținem
Înlocuind valoarea q = -1 în a doua ecuație a sistemului, obținem b 1 1 0 = 48; această ecuație nu are soluții.

Deci, b 1 \u003d 1, q \u003d 2 - această pereche este soluția sistemului de ecuații compilat.

Acum putem nota progresia geometrică în cauză: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .

A treia etapă.

Răspunsul la întrebarea problemă. Este necesar să se calculeze b 12 . Noi avem

Răspuns: b 12 = 2048.

3. Formula pentru suma membrilor unei progresii geometrice finite.

Să existe o progresie geometrică finită

Notăm cu S n suma termenilor săi, adică.

Să derivăm o formulă pentru găsirea acestei sume.

Să începem de la foarte caz simplu, când q = 1. Atunci progresia geometrică b 1 ,b 2 , b 3 ,..., bn este formată din n numere egale cu b 1 , adică. progresia este b 1 , b 2 , b 3 , ..., b 4 . Suma acestor numere este nb 1 .

Fie acum q = 1 Pentru a găsi S n folosim o metodă artificială: să facem câteva transformări ale expresiei S n q. Noi avem:

Efectuând transformări, am folosit, în primul rând, definiția unei progresii geometrice, conform căreia (vezi a treia linie de raționament); în al doilea rând, au adăugat și au scăzut de ce sensul expresiei, desigur, nu s-a schimbat (vezi a patra linie de raționament); în al treilea rând, am folosit formula celui de-al n-lea membru al unei progresii geometrice:

Din formula (1) găsim:

Aceasta este formula pentru suma a n membri ai unei progresii geometrice (pentru cazul în care q = 1).

Exemplul 8

Având în vedere o progresie geometrică finită

a) suma membrilor progresiei; b) suma pătratelor membrilor săi.

b) Mai sus (vezi p. 132) am observat deja că dacă toți membrii unei progresii geometrice sunt la pătrat, atunci se va obține o progresie geometrică cu primul membru b 2 și numitorul q 2. Apoi suma celor șase termeni ai noii progresii va fi calculată de

Exemplul 9

Găsiți al optulea termen al unei progresii geometrice pentru care

De fapt, am demonstrat următoarea teoremă.

O secvență numerică este o progresie geometrică dacă și numai dacă pătratul fiecăruia dintre termenii săi, cu excepția primului (și ultimului, în cazul unei secvențe finite), este egal cu produsul dintre termenii anteriori și următorii. (o proprietate caracteristică a unei progresii geometrice).

de exemplu, secvența \(3\); \(6\); \(12\); \(24\); \(48\)... este o progresie geometrică, deoarece fiecare element următor diferă de cel anterior cu un factor de doi (cu alte cuvinte, se poate obține de cel anterior înmulțind cu doi):

Ca orice succesiune, o progresie geometrică este indicată printr-o literă latină mică. Numerele care formează o progresie se numesc aceasta membrii(sau elemente). Ele sunt notate cu aceeași literă ca și progresia geometrică, dar cu un indice numeric egal cu numărul elementului în ordine.

de exemplu, progresia geometrică \(b_n = \(3; 6; 12; 24; 48…\)\) este formată din elementele \(b_1=3\); \(b_2=6\); \(b_3=12\) și așa mai departe. Cu alte cuvinte:

Dacă înțelegeți informațiile de mai sus, veți putea deja să rezolvați majoritatea problemelor legate de acest subiect.

Exemplu (OGE):
Soluţie:

Răspuns : \(-686\).

Exemplu (OGE): Dați primii trei termeni ai progresiei \(324\); \(-108\); \(36\)…. Găsiți \(b_5\).
Soluţie:

	Pentru a continua secvența, trebuie să cunoaștem numitorul. Să o găsim din două elemente învecinate: cu ce ar trebui \(324\) să fie înmulțit pentru a obține \(-108\)?
\(324 q=-108\)	De aici putem calcula cu ușurință numitorul.
\(q=-\) \(\frac(108)(324)\) \(=-\) \(\frac(1)(3)\)	Acum putem găsi cu ușurință elementul de care avem nevoie.
	Răspuns gata.

Răspuns : \(4\).

Exemplu: Progresia este dată de condiția \(b_n=0,8 5^n\). Care număr este membru al acestei progresii:

a) \(-5\) b) \(100\) c) \(25\) d) \(0,8\) ?

Soluţie: Din formularea sarcinii, este evident că unul dintre aceste numere este cu siguranță în progresia noastră. Prin urmare, putem calcula pur și simplu membrii săi unul câte unul până când găsim valoarea de care avem nevoie. Deoarece progresia noastră este dată de formula, calculăm valorile elementelor prin înlocuirea diferitelor \(n\):
\(n=1\); \(b_1=0.8 5^1=0.8 5=4\) – nu există un astfel de număr în listă. Noi continuăm.
\(n=2\); \(b_2=0.8 5^2=0.8 25=20\) - și nici asta nu există.
\(n=3\); \(b_3=0.8 5^3=0.8 125=100\) – și aici este campionul nostru!

Răspuns: \(100\).

Exemplu (OGE): Sunt date mai multe membri succesivi ai progresiei geometrice …\(8\); \(X\); \(50\); \(-125\)…. Găsiți valoarea elementului notat cu litera \(x\).

Soluţie:

Răspuns: \(-20\).

Exemplu (OGE): Progresia este dată de condițiile \(b_1=7\), \(b_(n+1)=2b_n\). Aflați suma primilor \(4\) termeni ai acestei progresii.

Soluţie:

Răspuns: \(105\).

Exemplu (OGE): Se știe că exponențial \(b_6=-11\),\(b_9=704\). Găsiți numitorul \(q\).

Soluţie:

	Din diagrama din stânga se poate observa că pentru a „a ajunge” de la \ (b_6 \) la \ (b_9 \) - facem trei „pași”, adică înmulțim \ (b_6 \) de trei ori cu numitorul progresiei. Cu alte cuvinte, \(b_9=b_6 q q q=b_6 q^3\).
\(b_9=b_6 q^3\)	Înlocuiește valorile pe care le cunoaștem.
\(704=(-11)q^3\)	„Inversați” ecuația și împărțiți-o la \((-11)\).
\(q^3=\) \(\frac(704)(-11)\) \(\:\:\: ⇔ \:\:\: \)\(q^3=-\) \(64 \)	Ce număr cub dă \(-64\)? Desigur, \(-4\)!
	Răspuns găsit. Poate fi verificat prin restaurarea lanțului de numere de la \(-11\) la \(704\).
	Toate sunt de acord - răspunsul este corect.

Răspuns: \(-4\).

Cele mai importante formule

După cum puteți vedea, majoritatea problemelor de progresie geometrică pot fi rezolvate cu logică pură, pur și simplu prin înțelegerea esenței (aceasta este în general caracteristică matematicii). Dar uneori cunoașterea anumitor formule și modele accelerează și facilitează foarte mult decizia. Vom studia două astfel de formule.

Formula pentru \(n\)-lea membru este: \(b_n=b_1 q^(n-1)\), unde \(b_1\) este primul membru al progresiei; \(n\) – numărul elementului solicitat; \(q\) este numitorul progresiei; \(b_n\) este un membru al progresiei cu numărul \(n\).

Folosind această formulă, puteți, de exemplu, să rezolvați problema de la primul exemplu într-un singur pas.

Exemplu (OGE): Progresia geometrica este data de conditiile \(b_1=-2\); \(q=7\). Găsiți \(b_4\).
Soluţie:

Răspuns: \(-686\).

Acest exemplu a fost simplu, așa că formula nu ne-a ușurat prea mult calculele. Să ne uităm la problema puțin mai complicată.

Exemplu: Progresia geometrica este data de conditiile \(b_1=20480\); \(q=\frac(1)(2)\). Găsiți \(b_(12)\).
Soluţie:

Răspuns: \(10\).

Desigur, ridicarea \(\frac(1)(2)\) la puterea \(11\)-a nu este foarte vesel, dar totuși mai ușor decât \(11\) împărțirea \(20480\) în două.

Suma \(n\) a primilor termeni: \(S_n=\)\(\frac(b_1 (q^n-1))(q-1)\) , unde \(b_1\) este primul termen a progresiei; \(n\) – numărul elementelor însumate; \(q\) este numitorul progresiei; \(S_n\) este suma \(n\) a primilor membri ai progresiei.

Exemplu (OGE): Având în vedere o progresie geometrică \(b_n\), al cărei numitor este \(5\), și primul termen \(b_1=\frac(2)(5)\). Aflați suma primilor șase termeni ai acestei progresii.
Soluţie:

Răspuns: \(1562,4\).

Și din nou, am putea rezolva problema „pe frunte” - găsiți pe rând toate cele șase elemente și apoi adăugați rezultatele. Cu toate acestea, numărul de calcule și, prin urmare, șansa unei erori aleatorii, ar crește dramatic.

Pentru o progresie geometrică, mai există câteva formule pe care nu le-am luat în considerare aici din cauza utilizării lor practice reduse. Puteți găsi aceste formule.

Progresii geometrice crescătoare și descrescătoare

Pentru progresia \(b_n = \(3; 6; 12; 24; 48…\)\) considerată chiar la începutul articolului, numitorul \(q\) este mai mare decât unu și, prin urmare, fiecare termen următor este mai mare decât precedentul. Se numesc astfel de progresii crescând.

Dacă \(q\) este mai mic decât unu, dar este pozitiv (adică se află între zero și unu), atunci fiecare element următor va fi mai mic decât cel anterior. De exemplu, în progresia \(4\); \(2\); \(unu\); \(0,5\); \(0,25\)... numitorul lui \(q\) este \(\frac(1)(2)\).

Aceste progresii se numesc in scadere. Rețineți că niciunul dintre elementele acestei progresii nu va fi negativ, ci doar devin din ce în ce mai mici cu fiecare pas. Adică ne vom apropia treptat de zero, dar nu îl vom ajunge niciodată și nici nu vom depăși. Matematicienii spun în astfel de cazuri „a tinde spre zero”.

Rețineți că, cu un numitor negativ, elementele unei progresii geometrice își vor schimba în mod necesar semnul. de exemplu, progresia \(5\); \(-15\); \(45\); \(-135\); \(675\)... numitorul lui \(q\) este \(-3\), iar din această cauză semnele elementelor „clipesc”.

Formula pentru al n-lea membru al unei progresii geometrice este un lucru foarte simplu. Atât în ​​sens, cât și în general. Dar există tot felul de probleme pentru formula celui de-al n-lea membru - de la foarte primitive la cele destul de grave. Și în procesul cunoașterii noastre, cu siguranță îi vom lua în considerare pe amândoi. Ei bine, să ne întâlnim?)

Deci, pentru început, de fapt formulăn

Acolo e:

b n = b 1 · q n -1

Formula ca formulă, nimic supranatural. Pare chiar mai simplu și mai compact decât formula similară pentru . Sensul formulei este, de asemenea, simplu, ca o cizmă din pâslă.

Această formulă vă permite să găsiți ORICE membru al unei progresii geometrice PRIN NUMĂRUL SĂU " n".

După cum puteți vedea, semnificația este o analogie completă cu o progresie aritmetică. Cunoaștem numărul n - putem calcula și termenul sub acest număr. Ceea ce vrem. Nu se înmulțește secvențial cu „q” de multe, de multe ori. Asta e toată ideea.)

Înțeleg că la acest nivel de lucru cu progresii ar trebui să vă fie deja clare toate cantitățile incluse în formulă, dar consider că este de datoria mea să le descifrez pe fiecare. Doar în cazul în care.

Deci să mergem:

b 1 – primul membru al unei progresii geometrice;

q – ;

n- numarul membrului;

b n – al n-lea (nal) membru al unei progresii geometrice.

Această formulă leagă cei patru parametri principali ai oricărei progresii geometrice - bn, b 1 , qși n. Și în jurul acestor patru cifre cheie, toate sarcinile în progres se învârt.

„Și cum este afișat?”- Aud o întrebare curioasă... Elementar! Uite!

Ce este egal cu al doilea membru de progres? Nici o problema! Scriem direct:

b 2 = b 1 q

Și al treilea membru? Nici o problemă! Înmulțim al doilea termen din nou peq.

Ca aceasta:

B 3 \u003d b 2 q

Amintiți-vă acum că al doilea termen, la rândul său, este egal cu b 1 q și înlocuiți această expresie în egalitatea noastră:

B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2

Primim:

B 3 = b 1 q 2

Acum să citim articolul nostru în rusă: al treilea termenul este egal cu primul termen înmulțit cu q în al doilea grad. Ai inteles? Nu încă? Bine, încă un pas.

Care este al patrulea termen? Tot la fel! Multiplica anterior(adică al treilea termen) pe q:

B 4 \u003d b 3 q \u003d (b 1 q 2) q \u003d b 1 q 2 q \u003d b 1 q 3

Total:

B 4 = b 1 q 3

Și din nou traducem în rusă: Al patrulea termenul este egal cu primul termen înmulțit cu q în al treilea grad.

etc. Deci cum este? Ai prins modelul? Da! Pentru orice termen cu orice număr, numărul de factori egali q (adică puterea numitorului) va fi întotdeauna cu unul mai puțin decât numărul membrului doritn.

Prin urmare, formula noastră va fi, fără opțiuni:

b n =b 1 · q n -1

Asta e tot.)

Ei bine, hai să rezolvăm problemele, da?)

Rezolvarea problemelor pe o formulănal treilea termen al unei progresii geometrice.

Să începem, ca de obicei, cu o aplicare directă a formulei. Iată o problemă tipică:

Se știe exponențial că b 1 = 512 și q = -1/2. Găsiți al zecelea termen al progresiei.

Desigur, această problemă poate fi rezolvată fără nicio formulă. Exact ca o progresie geometrică. Dar trebuie să ne încălzim cu formula celui de-al n-lea termen, nu? Aici ne despărțim.

Datele noastre pentru aplicarea formulei sunt următoarele.

Primul termen este cunoscut. Acesta este 512.

b 1 = 512.

Numitorul progresiei este de asemenea cunoscut: q = -1/2.

Rămâne doar să ne dăm seama cu ce este egal numărul termenului n. Nici o problema! Ne interesează al zecelea termen? Deci înlocuim zece în loc de n în formula generală.

Și calculați cu atenție aritmetica:

Raspunsul 1

După cum puteți vedea, al zecelea termen al progresiei s-a dovedit a fi cu minus. Nu e de mirare: numitorul progresiei este -1/2, i.e. negativ număr. Și asta ne spune că semnele progresiei noastre alternează, da.)

Totul este simplu aici. Și aici este o problemă similară, dar puțin mai complicată din punct de vedere al calculelor.

În progresia geometrică, știm că:

b 1 = 3

Găsiți al treisprezecelea termen al progresiei.

Totul este la fel, doar că de data aceasta numitorul progresiei - iraţional. Rădăcina din doi. Ei bine, nu e mare lucru. Formula este un lucru universal, face față oricăror numere.

Lucrăm direct după formula:

Formula, desigur, a funcționat așa cum ar trebui, dar... aici se vor agăța unii. Ce să faci în continuare cu rădăcina? Cum să ridici o rădăcină la puterea a douăsprezecea?

Cum-cum... Trebuie să înțelegeți că orice formulă, desigur, este un lucru bun, dar cunoștințele tuturor matematicii anterioare nu sunt anulate! Cum să crești? Da, amintiți-vă proprietățile gradelor! Să schimbăm rădăcina în grad fracționarşi - prin formula ridicării unei puteri la o putere.

Ca aceasta:

Răspuns: 192

Și toate lucrurile.)

Care este principala dificultate în aplicarea directă a formulei a n-a termen? Da! Principala dificultate este lucreaza cu diplome!Și anume, exponențiarea numerelor negative, fracțiilor, rădăcinilor și construcțiilor similare. Deci cei care au probleme cu asta, o cerere urgentă de a repeta gradele și proprietățile lor! În caz contrar, vei încetini în acest subiect, da...)

Acum să rezolvăm problemele tipice de căutare unul dintre elementele formulei dacă toate celelalte sunt date. Pentru rezolvarea cu succes a unor astfel de probleme, rețeta este unică și simplă de groază - scrie formulanal-lea membru în vedere generala! Chiar în caiet de lângă stare. Și apoi, din condiție, ne dăm seama ce ne este dat și ce nu este suficient. Și exprimăm valoarea dorită din formulă. Tot!

De exemplu, o astfel de problemă inofensivă.

Al cincilea termen al unei progresii geometrice cu numitorul 3 este 567. Aflați primul termen al acestei progresii.

Nimic complicat. Lucrăm direct după vrajă.

Scriem formula celui de-al n-lea termen!

b n = b 1 · q n -1

Ce ne este dat? În primul rând, numitorul progresiei este dat: q = 3.

În plus, ni se dă al cincilea termen: b 5 = 567 .

Tot? Nu! Ni se dă și numărul n! Acesta este un cinci: n = 5.

Sper că ați înțeles deja ce este în înregistrare b 5 = 567 doi parametri sunt ascunși simultan - acesta este al cincilea membru în sine (567) și numărul său (5). Într-o lecție similară despre asta am vorbit deja despre asta, dar cred că nu este de prisos să reamintesc aici.)

Acum înlocuim datele noastre în formula:

567 = b 1 3 5-1

Considerăm aritmetica, simplificăm și obținem o ecuație liniară simplă:

81 b 1 = 567

Rezolvăm și obținem:

b 1 = 7

După cum puteți vedea, nu există probleme cu găsirea primului membru. Dar când se caută numitorul q si numere n pot exista surprize. Și, de asemenea, trebuie să fii pregătit pentru ele (surprize), da.)

De exemplu, o astfel de problemă:

Al cincilea termen al unei progresii geometrice cu numitor pozitiv este 162, iar primul termen al acestei progresii este 2. Aflați numitorul progresiei.

De data aceasta ni se oferă primul și al cincilea membru și ni se cere să găsim numitorul progresiei. Aici începem.

Scriem formulanal-lea membru!

b n = b 1 · q n -1

Datele noastre inițiale vor fi următoarele:

b 5 = 162

b 1 = 2

n = 5

Nu este suficientă valoare q. Nici o problema! Să-l găsim acum.) Înlocuim tot ceea ce știm în formulă.

Primim:

162 = 2q 5-1

2 q 4 = 162

q 4 = 81

O ecuație simplă de gradul al patrulea. Dar acum - cu grija!În această etapă a soluției, mulți studenți extrag imediat cu bucurie rădăcina (de gradul al patrulea) și obțin răspunsul q=3 .

Ca aceasta:

q4 = 81

q = 3

Dar, în general, acesta este un răspuns neterminat. Sau mai bine zis, incomplet. De ce? Ideea este că răspunsul q = -3 se potrivește și: (-3) 4 ar fi și 81!

Acest lucru se datorează faptului că ecuația puterii x n = Aîntotdeauna are două rădăcini opuse la chiarn . Plus și minus:

Ambele se potrivesc.

De exemplu, rezolvarea (de ex. al doilea grade)

x2 = 9

Din anumite motive nu ești surprins să vezi Două rădăcini x=±3? Este la fel și aici. Și cu oricare altul chiar gradul (al patrulea, al șaselea, al zecelea etc.) va fi același. Detalii - în subiectul despre

Deci soluția corectă ar fi:

q 4 = 81

q= ±3

Bine, avem semnele descoperite. Care dintre ele este corectă - plus sau minus? Ei bine, citim din nou starea problemei în căutarea Informații suplimentare. Desigur, poate să nu existe, dar în această problemă o astfel de informație disponibil.În starea noastră, se afirmă direct că se dă o progresie cu numitor pozitiv.

Deci raspunsul este evident:

q = 3

Totul este simplu aici. Ce credeți că s-ar întâmpla dacă afirmația problemei ar fi așa:

Al cincilea termen al unei progresii geometrice este 162, iar primul termen al acestei progresii este 2. Aflați numitorul progresiei.

Care este diferența? Da! In stare nimic nicio mențiune a numitorului. Nici direct, nici indirect. Și aici problema ar avea deja doua solutii!

q = 3 și q = -3

Da Da! Și cu plus și minus.) Matematic, acest fapt ar însemna că există două progresii care se potrivesc sarcinii. Și pentru fiecare - propriul său numitor. Pentru distracție, exersați și notați primii cinci termeni ai fiecăruia.)

Acum să exersăm să găsim numărul de membru. Acesta este cel mai greu, da. Dar și mai creativ.

Având în vedere o progresie geometrică:

3; 6; 12; 24; …

Ce număr este 768 în această progresie?

Primul pas este același: scrie formulanal-lea membru!

b n = b 1 · q n -1

Și acum, ca de obicei, substituim datele pe care le cunoaștem în el. Hm... nu se potrivește! Unde este primul membru, unde este numitorul, unde este totul?!

Unde, unde... De ce avem nevoie de ochi? Plecarea genelor? De data aceasta progresia ne este dată direct în formular secvente. Putem vedea primul termen? V-om vedea! Acesta este un triplu (b 1 = 3). Dar numitorul? Nu-l vedem încă, dar este foarte ușor de numărat. Dacă, desigur, înțelegi.

Aici luăm în considerare. Direct după semnificația unei progresii geometrice: luăm oricare dintre membrii acesteia (cu excepția primului) și împărțim la cel precedent.

Cel putin asa:

q = 24/12 = 2

Ce mai știm? Cunoaștem și un membru al acestei progresii, egal cu 768. Sub un număr n:

b n = 768

Nu-i știm numărul, dar sarcina noastră este tocmai să-l găsim.) Așa că căutăm. Am descărcat deja toate datele necesare pentru înlocuire în formulă. Pe nesimţite.)

Aici înlocuim:

768 = 3 2n -1

Facem cele elementare - împărțim ambele părți la trei și rescriem ecuația în forma obișnuită: necunoscutul în stânga, cunoscutul în dreapta.

Primim:

2 n -1 = 256

Iată o ecuație interesantă. Trebuie să găsim „n”. Ce este neobișnuit? Da, nu mă cert. De fapt, este cel mai simplu. Se numește așa pentru că necunoscutul (în acest caz, este numărul n) stă înăuntru indicator grad.

În stadiul de cunoaștere a unei progresii geometrice (aceasta este clasa a IX-a) ecuații exponențiale ei nu te învață să te decizi, da... Acesta este subiectul claselor superioare. Dar nu este nimic groaznic. Chiar dacă nu știți cum se rezolvă astfel de ecuații, să încercăm să ne găsim n ghidat de simplă logică și bun simț.

Începem să discutăm. În stânga avem un deuce într-o oarecare măsură. Nu știm încă ce este exact acest grad, dar nu este înfricoșător. Dar, pe de altă parte, știm cu siguranță că acest grad este egal cu 256! Așa că ne amintim în ce măsură zeul ne dă 256. Îți amintești? Da! V Al optulea grade!

256 = 2 8

Dacă nu ți-ai amintit sau cu recunoașterea gradelor problemei, atunci este, de asemenea, în regulă: le ridicăm succesiv pe cele două la pătrat, la cub, la a patra putere, a cincea și așa mai departe. Selecția, de fapt, dar la acest nivel, este destul de o plimbare.

Într-un fel sau altul, vom obține:

2 n -1 = 2 8

n-1 = 8

n = 9

Deci 768 este nouălea membru al progresiei noastre. Asta e, problema rezolvată.)

Raspuns: 9

Ce? Plictisitor? Te-ai săturat de elementar? Sunt de acord. Și eu. Să trecem la următorul nivel.)

Sarcini mai complexe.

Și acum rezolvăm puzzle-urile mai brusc. Nu tocmai super-cool, dar la care trebuie să lucrezi puțin pentru a ajunge la răspuns.

De exemplu, așa.

Găsiți al doilea termen al unei progresii geometrice dacă al patrulea termen este -24 și al șaptelea termen este 192.

Acesta este un clasic al genului. Sunt cunoscuți doi membri diferiți ai progresiei, dar trebuie găsit încă un membru. Mai mult, toți membrii NU sunt vecini. Ce derutează la început, da...

Ca și în , luăm în considerare două metode pentru rezolvarea unor astfel de probleme. Prima cale este universală. Algebric. Funcționează perfect cu orice sursă de date. Deci de aici vom începe.)

Pictăm fiecare termen după formula nal-lea membru!

Totul este exact la fel ca în cazul unei progresii aritmetice. Doar că de data aceasta lucrăm un alt formula generala. Asta-i tot.) Dar esența este aceeași: luăm și la rândul său substituim datele noastre inițiale în formula celui de-al n-lea termen. Pentru fiecare membru - al lor.

Pentru al patrulea termen scriem:

b 4 = b 1 · q 3

-24 = b 1 · q 3

Există. O ecuație este completă.

Pentru al șaptelea termen scriem:

b 7 = b 1 · q 6

192 = b 1 · q 6

În total, s-au obținut două ecuații pentru aceeasi progresie .

Asamblam un sistem din ele:

În ciuda aspectului său formidabil, sistemul este destul de simplu. Cea mai evidentă modalitate de a rezolva este înlocuirea obișnuită. Ne exprimăm b 1 din ecuația superioară și înlocuiți în ecuația inferioară:

Un pic de joc cu ecuația inferioară (reducerea exponenților și împărțirea la -24) rezultă:

q 3 = -8

Apropo, la aceeași ecuație se poate ajunge într-un mod mai simplu! Ce? Acum vă voi arăta un alt secret, dar foarte frumos, puternic și mod util solutii pentru astfel de sisteme. Astfel de sisteme, în ecuațiile cărora se află doar functioneaza. Cel puțin într-una. numit metoda diviziunii pe termeni o ecuație la alta.

Deci avem un sistem:

În ambele ecuații din stânga - muncă, iar în dreapta este doar un număr. Aceasta este foarte semn bun.) Să luăm și... să împărțim, să zicem, ecuația inferioară la cea superioară! Ce înseamnă, împărți o ecuație la alta? Foarte simplu. Luăm partea stanga o ecuație (inferioară) și ne împărțim ea pe partea stanga o altă ecuație (superioară). Partea dreaptă este asemănătoare: partea dreapta o singură ecuație ne împărțim pe partea dreapta un alt.

Întregul proces de divizare arată astfel:

Acum, reducând tot ceea ce este redus, obținem:

q 3 = -8

Ce este bun la această metodă? Da, pentru că în procesul unei astfel de împărțiri, totul rău și incomod poate fi redus în siguranță și rămâne o ecuație complet inofensivă! De aceea este atât de important să ai numai înmulțiriîn cel puţin una dintre ecuaţiile sistemului. Nu există înmulțire - nu există nimic de redus, da...

În general, această metodă (ca multe alte moduri non-triviale de rezolvare a sistemelor) chiar merită o lecție separată. Cu siguranță o să mă uit mai atent la el. Într-o zi…

Cu toate acestea, indiferent cum rezolvați sistemul, în orice caz, acum trebuie să rezolvăm ecuația rezultată:

q 3 = -8

Nicio problemă: extragem rădăcina (cubică) și - gata!

Vă rugăm să rețineți că nu este necesar să puneți plus/minus aici atunci când extrageți. Avem o rădăcină de grad impar (al treilea). Și răspunsul este același, da.

Deci, se găsește numitorul progresiei. Minus doi. Amenda! Procesul este în curs.)

Pentru primul termen (să zicem din ecuația de sus) obținem:

Amenda! Cunoaștem primul termen, cunoaștem numitorul. Și acum avem ocazia să găsim orice membru al progresiei. Inclusiv al doilea.)

Pentru al doilea membru, totul este destul de simplu:

b 2 = b 1 · q= 3 (-2) = -6

Răspuns: -6

Deci, am rezolvat modul algebric de rezolvare a problemei. Greu? Nu mult, sunt de acord. Lung și plictisitor? Da cu siguranta. Dar uneori puteți reduce semnificativ cantitatea de muncă. Pentru asta există mod grafic. Bine vechi și familiar pentru noi de .)

Să desenăm problema!

Da! Exact. Din nou, ne descriem progresia pe axa numerelor. Nu neapărat de către o riglă, nu este necesar să se mențină intervale egale între membri (care, de altfel, nu vor fi aceleași, pentru că progresia este geometrică!), Ci pur și simplu schematic desenează succesiunea noastră.

am prins asa:

Acum uită-te la imagine și gândește-te. Câți factori egali „q” împărtășesc Al patruleași al șaptelea membrii? Așa este, trei!

Prin urmare, avem tot dreptul să scriem:

-24q 3 = 192

De aici este acum ușor să găsiți q:

q 3 = -8

q = -2

Asta e grozav, numitorul este deja în buzunarul nostru. Și acum ne uităm din nou la imagine: câți astfel de numitori stau între al doileași Al patrulea membrii? Două! Prin urmare, pentru a înregistra relația dintre acești membri, vom ridica numitorul pătrat.

Aici scriem:

b 2 · q 2 = -24 , Unde b 2 = -24/ q 2

Înlocuim numitorul nostru găsit în expresia pentru b 2 , numărăm și obținem:

Răspuns: -6

După cum puteți vedea, totul este mult mai simplu și mai rapid decât prin intermediul sistemului. Mai mult, aici nu a fost deloc nevoie să numărăm primul termen! Deloc.)

Iată o lumină atât de simplă și vizuală. Dar are și un dezavantaj serios. Ghicit? Da! Este bun doar pentru piese foarte scurte de progres. Cele la care distanțele dintre membrii care ne interesează nu sunt foarte mari. Dar în toate celelalte cazuri este deja dificil să desenezi o imagine, da... Atunci rezolvăm problema analitic, printr-un sistem.) Și sistemele sunt un lucru universal. Faceți față cu orice număr.

Inca una epica:

Al doilea termen al progresiei geometrice este cu 10 mai mult decât primul, iar al treilea termen este cu 30 mai mult decât al doilea. Găsiți numitorul progresiei.

Ce e tare? Deloc! Tot la fel. Traducem din nou condiția problemei în algebră pură.

1) Pictăm fiecare termen după formula nal-lea membru!

Al doilea termen: b 2 = b 1 q

Al treilea termen: b 3 \u003d b 1 q 2

2) Notăm relația dintre membri din starea problemei.

Citirea condiției: „Al doilea termen al unei progresii geometrice este cu 10 mai mult decât primul.” Opreste-te, asta e valoros!

Deci scriem:

b 2 = b 1 +10

Și traducem această frază în matematică pură:

b 3 = b 2 +30

Avem două ecuații. Le combinăm într-un sistem:

Sistemul pare simplu. Dar există o mulțime de indici diferiți pentru litere. Să înlocuim în loc de al doilea și al treilea membru al expresiei lor prin primul membru și numitor! Degeaba, sau ce, le-am pictat?

Primim:

Dar un astfel de sistem nu mai este un cadou, da... Cum să rezolvi asta? Din păcate, vraja secretă universală pentru a rezolva complex neliniară Nu există sisteme în matematică și nu pot exista. E fantastic! Dar primul lucru care ar trebui să-ți vină în minte atunci când încerci să spargi o nucă atât de dură este să-ți dai seama și nici una dintre ecuațiile sistemului nu se reduce la vedere frumoasă, permițând, de exemplu, să exprime cu ușurință una dintre variabile în termenii celeilalte?

Să ghicim. Prima ecuație a sistemului este în mod clar mai simplă decât a doua. Îl vom tortura.) De ce să nu încerci din prima ecuație ceva exprima prin ceva? Din moment ce vrem să găsim numitorul q, atunci cel mai avantajos ar fi pentru noi să ne exprimăm b 1 peste q.

Deci, să încercăm să facem această procedură cu prima ecuație, folosind cele vechi bune:

b 1 q = b 1 +10

b 1 q - b 1 \u003d 10

b 1 (q-1) = 10

Tot! Aici ne-am exprimat inutil us variabila (b 1) prin necesar(q). Da, nu cea mai simplă expresie primită. Un fel de fracțiune... Dar sistemul nostru este la un nivel decent, da.)

Tipic. Ce să facem - știm.

Scriem ODZ (neapărat!) :

q ≠ 1

Înmulțim totul cu numitorul (q-1) și reducem toate fracțiile:

10 q 2 = 10 q + 30(q-1)

Împărțim totul la zece, deschidem parantezele, colectăm totul din stânga:

q 2 – 4 q + 3 = 0

Rezolvăm rezultatul și obținem două rădăcini:

q 1 = 1

q 2 = 3

Există un singur răspuns final: q = 3 .

Raspuns: 3

După cum puteți vedea, modalitatea de a rezolva majoritatea problemelor pentru formula celui de-al n-lea membru al unei progresii geometrice este întotdeauna aceeași: citim cu grija condiția problemei și folosind formula celui de-al n-lea termen traducem întregul Informatii utileîn algebră pură.

Și anume:

1) Scriem separat fiecare membru dat în problemă după formulanal-lea membru.

2) Din condiția problemei, traducem legătura dintre membri într-o formă matematică. Compunem o ecuație sau un sistem de ecuații.

3) Rezolvăm ecuația rezultată sau sistemul de ecuații, găsim parametrii necunoscuți ai progresiei.

4) În cazul unui răspuns ambiguu, citim cu atenție starea problemei în căutarea unor informații suplimentare (dacă există). Verificăm și răspunsul primit cu condițiile ODZ (dacă există).

Și acum enumeram principalele probleme care conduc cel mai adesea la erori în procesul de rezolvare a problemelor de progresie geometrică.

1. Aritmetică elementară. Operații cu fracții și numere negative.

2. Dacă cel puțin unul dintre aceste trei puncte este o problemă, atunci inevitabil te vei înșela în acest subiect. Din pacate... Așa că nu fi leneș și repetă cele menționate mai sus. Și urmați linkurile - mergeți. Uneori ajută.)

Formule modificate și recurente.

Și acum să ne uităm la câteva probleme tipice de examen cu o prezentare mai puțin familiară a afecțiunii. Da, da, ai ghicit! Acest modificatși recurent formule ale celui de-al n-lea membru. Am întâlnit deja astfel de formule și am lucrat în progresie aritmetică. Totul este similar aici. Esența este aceeași.

De exemplu, o astfel de problemă de la OGE:

Progresia geometrică este dată de formula b n = 3 2 n . Aflați suma primului și al patrulea termen.

De data aceasta, progresia ne este dată nu chiar ca de obicei. Un fel de formulă. Și ce dacă? Această formulă este de asemenea o formulănal-lea membru!Știm cu toții că formula celui de-al n-lea termen poate fi scrisă atât în ​​formă generală, prin litere, cât și pentru progresie specifică. CU specific primul termen și numitor.

În cazul nostru, ni se oferă, de fapt, o formulă generală a termenului pentru o progresie geometrică cu următorii parametri:

b 1 = 6

q = 2

Să verificăm?) Să scriem formula celui de-al n-lea termen în formă generală și să o substituim b 1 și q. Primim:

b n = b 1 · q n -1

b n= 6 2n -1

Simplificam, folosind factorizarea si proprietatile puterii si obtinem:

b n= 6 2n -1 = 3 2 2n -1 = 3 2n -1+1 = 3 2n

După cum puteți vedea, totul este corect. Dar scopul nostru cu tine nu este să demonstrăm derivarea unei formule specifice. Așa este, o digresiune lirică. Pur pentru înțelegere.) Scopul nostru este să rezolvăm problema după formula care ne este dată în stare. Îl prinzi?) Deci lucrăm direct cu formula modificată.

Numărăm primul termen. Substitui n=1 în formula generală:

b 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

Ca aceasta. Apropo, nu sunt prea leneș și vă voi atrage încă o dată atenția asupra unei gafe tipice cu calculul primului termen. NU te uita la formula b n= 3 2n, grabiti-va imediat sa scrieti ca primul membru este o troica! E o mare greșeală, da...)

Noi continuăm. Substitui n=4 și luați în considerare al patrulea termen:

b 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

Și în final, calculăm suma necesară:

b 1 + b 4 = 6+48 = 54

Raspuns: 54

Altă problema.

Progresia geometrica este data de conditiile:

b 1 = -7;

b n +1 = 3 b n

Găsiți al patrulea termen al progresiei.

Aici progresia este dată de formula recurentă. Ei bine, bine.) Cum se lucrează cu această formulă - știm și noi.

Aici acționăm. Pas cu pas.

1) numărând doi succesiv membru al progresiei.

Primul termen ne este deja dat. Minus șapte. Dar următorul, al doilea termen, poate fi calculat cu ușurință folosind formula recursivă. Dacă înțelegeți cum funcționează, desigur.)

Aici luăm în considerare al doilea termen conform celebrului primul:

b 2 = 3 b 1 = 3 (-7) = -21

2) Considerăm numitorul progresiei

De asemenea, nicio problemă. Drept, împărtășește al doilea dick on primul.

Primim:

q = -21/(-7) = 3

3) Scrieți formulanal-lea membru în forma obișnuită și luați în considerare membrul dorit.

Deci, cunoaștem primul termen, și numitorul. Aici scriem:

b n= -7 3n -1

b 4 = -7 3 3 = -7 27 = -189

Răspuns: -189

După cum puteți vedea, lucrul cu astfel de formule pentru o progresie geometrică nu este în esență diferit de cel pentru o progresie aritmetică. Este important doar să înțelegem esența generală și sensul acestor formule. Ei bine, trebuie înțeles și semnificația progresiei geometrice, da.) Și atunci nu vor fi greșeli stupide.

Ei bine, hai să decidem singuri?)

Sarcini destul de elementare, pentru încălzire:

1. Având în vedere o progresie geometrică în care b 1 = 243 și q = -2/3. Găsiți al șaselea termen al progresiei.

2. Termenul comun al unei progresii geometrice este dat de formula b n = 5∙2 n +1 . Găsiți numărul ultimului membru format din trei cifre din această progresie.

3. Progresia geometrică este dată de condițiile:

b 1 = -3;

b n +1 = 6 b n

Găsiți al cincilea termen al progresiei.

Puțin mai complicat:

4. Având în vedere o progresie geometrică:

b 1 =2048; q =-0,5

Care este al șaselea termen negativ al acestuia?

Ce pare super dificil? Deloc. Logica și înțelegerea semnificației progresiei geometrice vor economisi. Ei bine, formula celui de-al n-lea termen, desigur.

5. Al treilea termen al progresiei geometrice este -14 iar al optulea termen este 112. Aflați numitorul progresiei.

6. Suma primului și celui de-al doilea termen al unei progresii geometrice este 75, iar suma celui de-al doilea și al treilea termen este 150. Aflați al șaselea termen al progresiei.

Răspunsuri (în dezordine): 6; -3888; -unu; 800; -32; 448.

Asta e aproape tot. Rămâne doar să înveți cum să numere suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice da descoperi progresie geometrică infinit descrescătoare si cuantumul acesteia. Un lucru foarte interesant și neobișnuit, de altfel! Mai multe despre asta în lecțiile ulterioare.)

Acest număr se numește numitorul unei progresii geometrice, adică fiecare termen diferă de cel anterior de q ori. (Vom presupune că q ≠ 1, altfel totul este prea banal). Este ușor de observat că formula generală a celui de-al n-lea membru al progresiei geometrice este b n = b 1 q n – 1 ; termenii cu numere b n și b m diferă de q n – m ori.

Deja în Egiptul antic, ei cunoșteau nu numai aritmetica, ci și progresia geometrică. Iată, de exemplu, o sarcină din papirusul Rhind: „Șapte fețe au șapte pisici; fiecare pisică mănâncă șapte șoareci, fiecare șoarece mănâncă șapte spice de porumb, fiecare spic poate crește șapte măsuri de orz. Cât de mari sunt numerele din această serie și suma lor?

Orez. 1. Problema de progresie geometrică a Egiptului antic

Această sarcină a fost repetată de multe ori cu diferite variații între alte popoare și în alte momente. De exemplu, în scris în secolul al XIII-lea. „Cartea abacului” de Leonardo din Pisa (Fibonacci) are o problemă în care 7 bătrâne apar în drum spre Roma (evident pelerini), fiecare având câte 7 catâri, fiecare având câte 7 pungi, fiecare dintre ele. conține 7 pâini, fiecare având 7 cuțite, fiecare fiind în 7 teci. Problema întreabă câte articole sunt.

Suma primilor n membri ai progresiei geometrice S n = b 1 (q n - 1) / (q - 1) . Această formulă poate fi demonstrată, de exemplu, după cum urmează: S n \u003d b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n - 1.

Să adunăm numărul b 1 q n la S n și să obținem:

S n + b 1 qn = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 qn – 1 + b 1 qn = b 1 + (b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 qn –1) q = b 1 + S nq .

Prin urmare, S n (q - 1) = b 1 (q n - 1), și obținem formula necesară.

Deja pe una dintre tăblițele de lut ale Babilonului antic, datând din secolul VI. î.Hr e., conține suma 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1. Adevărat, ca și într-o serie de alte cazuri, nu știm unde acest fapt era cunoscut babilonienilor. .

Creșterea rapidă a unei progresii geometrice într-un număr de culturi, în special în India, este folosită în mod repetat ca simbol vizual al imensității universului. În legenda binecunoscută despre apariția șahului, conducătorul îi oferă inventatorului lor posibilitatea de a alege el însuși o recompensă și el cere un asemenea număr de boabe de grâu cât se va obține dacă unul este plasat pe prima celulă a tablei de șah. , doi pe al doilea, patru pe al treilea, opt pe al patrulea și etc., de fiecare dată când numărul este dublat. Vladyka a crezut că sunt, cel mult, câțiva saci, dar a greșit. Este ușor de observat că pentru toate cele 64 de pătrate ale tablei de șah inventatorul ar fi trebuit să primească (2 64 - 1) granule, care este exprimată ca un număr de 20 de cifre; chiar dacă s-ar semăna întreaga suprafață a Pământului, ar dura cel puțin 8 ani pentru a colecta numărul necesar de boabe. Această legendă este uneori interpretată ca o referire la posibilitățile aproape nelimitate ascunse în jocul de șah.

Faptul că acest număr are într-adevăr 20 de cifre este ușor de observat:

2 64 \u003d 2 4 ∙ (2 10) 6 \u003d 16 1024 6 ≈ 16 1000 6 \u003d 1,6 10 19 (un calcul mai precis dă 1,84 10 19). Dar mă întreb dacă poți afla cu ce cifră se termină acest număr?

O progresie geometrică crește dacă numitorul este mai mare decât 1 în valoare absolută sau descrește dacă este mai mic de unu. În acest din urmă caz, numărul q n poate deveni arbitrar mic pentru n suficient de mare. În timp ce un exponențial în creștere crește neașteptat de repede, un exponențial descrescător scade la fel de repede.

Cu cât n este mai mare, cu atât numărul qn diferă mai slab de zero și cu atât suma n membri ai progresiei geometrice S n \u003d b 1 (1 - qn) / (1 - q) este mai apropiată de numărul S \u003d b 1 / (1 - q) . (Așa argumentat, de exemplu, F. Viet). Numărul S se numește suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare. Cu toate acestea, timp de multe secole, întrebarea care este sensul însumării progresiei geometrice ALL, cu numărul său infinit de termeni, nu a fost suficient de clară pentru matematicieni.

O progresie geometrică descrescătoare poate fi observată, de exemplu, în aporia lui Zeno „Mușcătură” și „Achile și broasca țestoasă”. În primul caz, se arată clar că întreg drumul (presupunem lungimea 1) este suma unui număr infinit de segmente 1/2, 1/4, 1/8 etc. Acesta, desigur, este cazul de la din punctul de vedere al ideilor despre progresia geometrică infinită sumă finită. Și totuși - cum poate fi asta?

Orez. 2. Progresie cu un factor de 1/2

În aporia despre Ahile, situația este puțin mai complicată, pentru că aici numitorul progresiei nu este egal cu 1/2, ci cu un alt număr. Să fie, de exemplu, Ahile să alerge cu viteza v, broasca țestoasă se mișcă cu viteza u, iar distanța inițială dintre ele este l. Ahile va parcurge această distanță în timpul l/v, broasca țestoasă se va deplasa cu o distanță lu/v în acest timp. Când Ahile trece prin acest segment, distanța dintre el și țestoasă va deveni egală cu l (u / v) 2 etc. Se dovedește că a ajunge din urmă cu țestoasa înseamnă a găsi suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare cu prima. termenul l și numitorul u/v. Această sumă - segmentul pe care Ahile îl va alerga în cele din urmă până la punctul de întâlnire cu țestoasa - este egală cu l / (1 - u / v) = lv / (v - u) . Dar, din nou, cum ar trebui interpretat acest rezultat și de ce are vreun sens, nu a fost foarte clar de mult.

Orez. 3. Progresie geometrică cu coeficient 2/3

Suma unei progresii geometrice a fost folosită de Arhimede pentru a determina aria unui segment de parabolă. Fie segmentul dat al parabolei delimitat de coarda AB și fie tangenta din punctul D al parabolei paralelă cu AB . Fie C mijlocul lui AB , E mijlocul lui AC , F mijlocul lui CB . Desenați drepte paralele cu DC prin punctele A , E , F , B ; fie tangenta trasata in punctul D , aceste drepte se intersecteaza in punctele K , L , M , N . Să desenăm și segmentele AD și DB. Fie ca dreapta EL să intersecteze dreapta AD în punctul G și parabola în punctul H; linia FM intersectează linia DB în punctul Q și parabola în punctul R. Conform teoriei generale a secțiunilor conice, DC este diametrul unei parabole (adică un segment paralel cu axa acesteia); ea și tangenta din punctul D pot servi ca axe de coordonate x și y, în care ecuația parabolei este scrisă ca y 2 \u003d 2px (x este distanța de la D la orice punct cu un diametru dat, y este lungimea unui segment paralel cu o tangentă dată de la acest punct de diametru până la un punct de pe parabolă în sine).

În virtutea ecuației parabolei, DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH , DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA , iar din moment ce DK = 2DL , atunci KA = 4LH . Deoarece KA = 2LG , LH = HG . Aria segmentului ADB al parabolei este egală cu aria triunghiului ΔADB și ariile segmentelor AHD și DRB combinate. La rândul său, aria segmentului AHD este egală cu aria triunghiului AHD și a segmentelor rămase AH și HD, cu fiecare dintre acestea putând fi efectuată aceeași operațiune - împărțită într-un triunghi (Δ) și cele două segmente rămase (), etc.:

Aria triunghiului ΔAHD este egală cu jumătate din aria triunghiului ΔALD (au o bază comună AD, iar înălțimile diferă de 2 ori), care, la rândul său, este egală cu jumătate din aria lui triunghiul ΔAKD și, prin urmare, jumătate din aria triunghiului ΔACD. Astfel, aria triunghiului ΔAHD este egală cu un sfert din aria triunghiului ΔACD. De asemenea, aria triunghiului ΔDRB este egală cu un sfert din aria triunghiului ΔDFB. Deci, ariile triunghiurilor ∆AHD și ∆DRB, luate împreună, sunt egale cu un sfert din aria triunghiului ∆ADB. Repetând această operațiune aplicată segmentelor AH , HD , DR și RB, se va selecta și triunghiuri din ele, aria cărora, luate împreună, va fi de 4 ori mai mică decât aria triunghiurilor ΔAHD și ΔDRB , luate împreună și, prin urmare, de 16 ori mai puțin decât aria triunghiului ΔADB . etc:

Astfel, Arhimede a demonstrat că „fiecare segment cuprins între o linie dreaptă și o parabolă este patru treimi dintr-un triunghi având aceeași bază și înălțime egală cu el”.

Matematica este ceea ceoamenii controlează natura și pe ei înșiși.

Matematicianul sovietic, academicianul A.N. Kolmogorov

Progresie geometrică.

Alături de sarcinile pentru progresii aritmetice, sarcinile legate de conceptul de progresie geometrică sunt, de asemenea, frecvente la testele de admitere la matematică. Pentru a rezolva cu succes astfel de probleme, trebuie să cunoașteți proprietățile unei progresii geometrice și să aveți bune abilități în utilizarea lor.

Acest articol este dedicat prezentării principalelor proprietăți ale unei progresii geometrice. De asemenea, oferă exemple de rezolvare a unor probleme tipice, împrumutat din sarcinile probelor de admitere la matematică.

Să notăm în prealabil principalele proprietăți ale unei progresii geometrice și să amintim cele mai importante formule și enunțuri, asociat cu acest concept.

Definiție. O succesiune numerică se numește progresie geometrică dacă fiecare dintre numerele sale, începând de la al doilea, este egal cu precedentul, înmulțit cu același număr. Numărul se numește numitorul unei progresii geometrice.

Pentru o progresie geometricăformulele sunt valabile

, (1)

Unde . Formula (1) se numește formula termenului general al unei progresii geometrice, iar formula (2) este proprietatea principală a unei progresii geometrice: fiecare membru al progresiei coincide cu media geometrică a membrilor săi vecini și .

Notă, că tocmai din cauza acestei proprietăţi progresia în cauză se numeşte „geometrică”.

Formulele (1) și (2) de mai sus sunt rezumate după cum urmează:

, (3)

Pentru a calcula suma primul membrii unei progresii geometricese aplica formula

Dacă desemnăm

Unde . Deoarece , formula (6) este o generalizare a formulei (5).

În cazul când și progresie geometricăeste în scădere infinită. Pentru a calcula sumadintre toți membrii unei progresii geometrice infinit descrescătoare, se utilizează formula

. (7)

De exemplu , folosind formula (7), se poate arăta, ce

Unde . Aceste egalități se obțin din formula (7) cu condiția ca , (prima egalitate) și , (a doua egalitate).

Teorema. Daca atunci

Dovada. Daca atunci ,

Teorema a fost demonstrată.

Să trecem la luarea în considerare a exemplelor de rezolvare a problemelor pe tema „Progresiune geometrică”.

Exemplul 1 Având în vedere: , și . Găsi .

Soluţie. Dacă se aplică formula (5), atunci

Răspuns: .

Exemplul 2 Lasă și . Găsi .

Soluţie. Deoarece și , folosim formulele (5), (6) și obținem sistemul de ecuații

Dacă a doua ecuație a sistemului (9) este împărțită la prima, apoi sau . Din aceasta rezultă . Să luăm în considerare două cazuri.

1. Dacă , atunci din prima ecuație a sistemului (9) avem.

2. Dacă , atunci .

Exemplul 3 Să , și . Găsi .

Soluţie. Din formula (2) rezultă că sau . De când , atunci sau .

După condiție. Cu toate acestea , prin urmare . Pentru că și, atunci aici avem un sistem de ecuații

Dacă a doua ecuație a sistemului este împărțită la prima, atunci sau .

Deoarece , ecuația are o singură rădăcină adecvată . În acest caz, prima ecuație a sistemului implică .

Ținând cont de formula (7), obținem.

Răspuns: .

Exemplul 4 Având în vedere: și . Găsi .

Soluţie. De atunci .

Pentru că, atunci sau

Conform formulei (2), avem . În acest sens, din egalitatea (10) obținem sau .

Cu toate acestea, prin condiție, prin urmare.

Exemplul 5 Se știe că . Găsi .

Soluţie. Conform teoremei, avem două egalități

De când , atunci sau . Pentru că atunci .

Răspuns: .

Exemplul 6 Având în vedere: și . Găsi .

Soluţie.Ținând cont de formula (5), obținem

De atunci . De când , și , atunci .

Exemplul 7 Lasă și . Găsi .

Soluţie. Conform formulei (1), putem scrie

Prin urmare, avem sau . Se știe că și , prin urmare și .

Răspuns: .

Exemplul 8 Aflați numitorul unei progresii geometrice descrescătoare infinite dacă

și .

Soluţie. Din formula (7) rezultăși . De aici și din starea problemei, obținem sistemul de ecuații

Dacă prima ecuație a sistemului este la pătrat, și apoi împărțiți ecuația rezultată la a doua ecuație, apoi primim

Sau .

Răspuns: .

Exemplul 9 Găsiți toate valorile pentru care șirul , , este o progresie geometrică.

Soluţie. Să , și . Conform formulei (2), care definește proprietatea principală a unei progresii geometrice, putem scrie sau .

De aici obținem ecuația pătratică, ale căror rădăcini suntși .

Să verificăm: dacă, apoi , și ; dacă , atunci , și .

În primul caz avemși , iar în al doilea - și .

Răspuns: , .

Exemplul 10rezolva ecuația

, (11)

unde si .

Soluţie. Partea stângă a ecuației (11) este suma unei progresii geometrice descrescătoare infinite, în care și , cu condiția: și .

Din formula (7) rezultă, ce . În acest sens, ecuația (11) ia forma sau . rădăcină potrivită ecuația pătratică este

Răspuns: .

Exemplul 11. P succesiune de numere pozitiveformează o progresie aritmetică, A - progresie geometrică, ce legatura are cu . Găsi .

Soluţie. pentru că succesiune aritmetică, atunci (proprietatea principală a unei progresii aritmetice). În măsura în care, apoi sau . Asta implică , că progresia geometrică este. Conform formulei (2), apoi scriem asta .

De când și , atunci . În acest caz, expresia ia forma sau . După condiție, deci din ecuațieobţinem soluţia unică a problemei luate în considerare, adică .

Răspuns: .

Exemplul 12. Calculați suma

. (12)

Soluţie. Înmulțiți ambele părți ale egalității (12) cu 5 și obțineți

Dacă scădem (12) din expresia rezultată, atunci

sau .

Pentru a calcula, înlocuim valorile în formula (7) și obținem . De atunci .

Răspuns: .

Exemplele de rezolvare a problemelor prezentate aici vor fi utile candidaților în pregătirea examenelor de admitere. Pentru un studiu mai profund al metodelor de rezolvare a problemelor, asociat cu o progresie geometrică, poate fi utilizat ghiduri de studiu din lista literaturii recomandate.

1. Culegere de sarcini la matematică pentru solicitanții la universitățile tehnice / Ed. M.I. Scanavi. – M.: Mir i Obrazovanie, 2013. – 608 p.

2. Suprun V.P. Matematică pentru liceeni: secțiuni suplimentare din programa școlară. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 p.

3. Medynsky M.M. Un curs complet de matematică elementară în sarcini și exerciții. Cartea 2: Secvențe de numere și progresii. – M.: Editus, 2015. - 208 p.

Aveti vreo intrebare?

Pentru a obține ajutorul unui tutore - înregistrați-vă.

site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.