Osnovna mehanika za lutke. Uvod. Teoretična mehanika za inženirje in raziskovalce

Vsebina

Kinematika

Kinematika materialne točke

Določanje hitrosti in pospeška točke glede na podane enačbe njenega gibanja

Podano: Enačbe gibanja točke: x = 12 greh (πt/6), cm; y= 6 cos 2 (πt/6), cm.

Nastavite vrsto njegove poti in za trenutek časa t = 1 s najti položaj točke na trajektoriji, njeno hitrost, polni, tangencialni in normalni pospeški ter polmer ukrivljenosti poti.

Translacijsko in rotacijsko gibanje togega telesa

dano:
t = 2 s; r 1 = 2 cm, R 1 = 4 cm; r 2 = 6 cm, R 2 = 8 cm; r 3 = 12 cm, R 3 = 16 cm; s 5 \u003d t 3 - 6t (cm).

Določite v času t = 2 hitrosti točk A, C; kotni pospešek kolesa 3; pospešek točke B in pospešek regala 4.

Kinematična analiza ploščatega mehanizma

dano:
R 1 , R 2 , L, AB, ω 1 .
Poiščite: ω 2 .

Ravni mehanizem je sestavljen iz palic 1, 2, 3, 4 in drsnika E. Palice so povezane s pomočjo cilindričnih tečajev. Točka D se nahaja na sredini palice AB.
Dano: ω 1 , ε 1 .
Poiščite: hitrosti V A , V B , V D in V E ; kotne hitrosti ω 2 , ω 3 in ω 4 ; pospešek a B ; kotni pospešek ε AB povezave AB; položaji trenutnih centrov hitrosti P 2 in P 3 členov 2 in 3 mehanizma.

Določanje absolutne hitrosti in absolutnega pospeška točke

Pravokotna plošča se vrti okoli fiksne osi po zakonu φ = 6 t 2 - 3 t 3. Pozitivna smer odčitavanja kota φ je na slikah prikazana z ločno puščico. Os vrtenja OO 1 leži v ravnini plošče (plošča se vrti v prostoru).

Točka M se premika vzdolž premice BD vzdolž plošče. Podan je zakon njegovega relativnega gibanja, to je odvisnost s = AM = 40 (t - 2 t 3) - 40(s - v centimetrih, t - v sekundah). Razdalja b = 20 cm. Na sliki je točka M prikazana v položaju, kjer je s = AM > 0 (za s< 0 točka M je na drugi strani točke A).

Poiščite absolutno hitrost in absolutni pospešek točke M v času t 1 = 1 s.

Dinamika

Integracija diferencialnih enačb gibanja materialne točke pod delovanjem spremenljivih sil

Tovor D mase m, ki je prejel začetno hitrost V 0 v točki A, se premika v ukrivljeni cevi ABC, ki se nahaja v navpični ravnini. Na odseku AB, katerega dolžina je l, na obremenitev vpliva konstantna sila T (njena smer je prikazana na sliki) in sila R upora medija (modul te sile je R = μV 2 je vektor R usmerjen nasproti hitrosti V bremena).

Obremenitev, ki zaključi svoje gibanje v odseku AB, v točki B cevi, ne da bi spremenila vrednost svojega modula hitrosti, preide na odsek BC. Na odseku BC na obremenitev deluje spremenljiva sila F, katere projekcija F x je podana na os x.

Če upoštevamo obremenitev kot materialno točko, poiščite zakon njenega gibanja na odseku BC, t.j. x = f(t), kjer je x = BD. Ignorirajte trenje obremenitve na cevi.

Prenesite rešitev

Izrek o spremembi kinetične energije mehanskega sistema

Mehanski sistem je sestavljen iz uteži 1 in 2, cilindričnega valja 3, dvostopenjskih škripcev 4 in 5. Tela sistema so povezana z navoji, navitimi na škripce; odseki niti so vzporedni z ustreznimi ravninami. Valj (trden homogen cilinder) se kotali po referenčni ravnini brez zdrsa. Polmeri stopnic škripcev 4 in 5 so R 4 = 0,3 m, r 4 = 0,1 m, R 5 = 0,2 m, r 5 = 0,1 m. Šteje se, da je masa vsakega škripca enakomerno porazdeljena vzdolž njegovega zunanjega roba. . Nosilni ravnini uteži 1 in 2 sta grobi, koeficient drsnega trenja za vsako utež je f = 0,1.

Pod delovanjem sile F, katere modul se spreminja po zakonu F = F(s), kjer je s premik točke njene uporabe, se sistem začne premikati iz stanja mirovanja. Ko se sistem premika, na škripec 5 delujejo uporne sile, katerih moment glede na os vrtenja je konstanten in enak M 5 .

Določite vrednost kotne hitrosti škripca 4 v trenutku, ko postane premik s točke delovanja sile F enak s 1 = 1,2 m.

Prenesite rešitev

Uporaba splošne enačbe dinamike za preučevanje gibanja mehanskega sistema

Za mehanski sistem določite linearni pospešek a 1 . Upoštevajte, da so pri blokih in valjih mase porazdeljene vzdolž zunanjega polmera. Kabli in pasovi veljajo za breztežne in neraztegljive; ni zdrsa. Ignorirajte kotalno in drsno trenje.

Prenesite rešitev

Uporaba d'Alembertovega principa za določanje reakcij nosilcev vrtljivega telesa

Navpična gred AK, ki se enakomerno vrti s kotno hitrostjo ω = 10 s -1, je pritrjena s potisnim ležajem v točki A in cilindričnim ležajem v točki D.

Breztežna palica 1 z dolžino l 1 = 0,3 m je togo pritrjena na gred, na prostem koncu katere je obremenitev mase m 1 = 4 kg, in homogena palica 2 z dolžino l 2 = 0,6 m, z maso m 2 = 8 kg. Obe palici ležita v isti navpični ravnini. Točke pritrditve palic na gred, pa tudi koti α in β so navedeni v tabeli. Mere AB=BD=DE=EK=b, kjer je b = 0,4 m. Vzemite obremenitev kot materialno točko.

Če zanemarimo maso gredi, določimo reakcije potisnega ležaja in ležaja.

20. izd. - M.: 2010.- 416 str.

Knjiga opisuje osnove mehanike materialne točke, sistema materialnih točk in trdnega telesa v obsegu, ki ustreza programom tehničnih univerz. Podanih je veliko primerov in nalog, katerih rešitve spremljajo ustrezne smernice. Za študente rednih in dopisnih tehničnih univerz.

Format: pdf

Velikost: 14 MB

Oglejte si, prenesite: drive.google

KAZALO
Predgovor k trinajsti izdaji 3
Uvod 5
PRVI ODDELEK STATIKA TRDNEGA STANJA
Poglavje I. Osnovni pojmi Začetne določbe 9. člena
41. Popolnoma togo telo; moč. Statične naloge 9
12. Začetne določbe statike » 11
$ 3. Povezave in njihove reakcije 15
Poglavje II. Sestava sil. Sistem konvergentnih sil 18
§4. Geometrijsko! Metoda združevanja sil. Rezultat konvergentnih sil, razgradnja sil 18
f 5. Projekcije sile na os in na ravnino, Analitična metoda za določanje in seštevanje sil 20
16. Ravnovesje sistema konvergentnih sil_. . . 23
17. Reševanje problemov statike. 25
Poglavje III. Trenutek sile okoli središča. Močni par 31
i 8. Moment sile okoli središča (ali točke) 31
| 9. Par sil. trenutek par 33
f 10*. Izrek o enakovrednosti in seštevanju parov 35
Poglavje IV. Pripeljemo sistem sil v središče. Ravnotežni pogoji... 37
f 11. Izrek o vzporednem prenosu sile 37
112. Pripeljevanje sistema sil v dano središče - . .38
§ 13. Pogoji za ravnotežje sistema sil. Izrek o trenutku rezultanta 40
Poglavje V. Ploščati sistem sil 41
§ 14. Algebraični momenti sile in pari 41
115. Redukcija ploskega sistema sil na najpreprostejšo obliko .... 44
§ 16. Ravnotežje ravnega sistema sil. Primer vzporednih sil. 46
§ 17. Reševanje problemov 48
118. Ravnovesje sistemov teles 63
§ devetnajst*. Statično določeni in statično nedoločeni sistemi teles (strukture) 56"
f 20*. Opredelitev notranjih sil. 57
§ 21*. Razporejene sile 58
E22*. Izračun ravnih nosilcev 61
Poglavje VI. Trenje 64
! 23. Zakoni drsnega trenja 64
: 24. Grobe reakcije vezi. Kot trenja 66
: 25. Ravnovesje ob prisotnosti trenja 66
(26*. Trenje navoja na cilindrični površini 69
1 27*. Kotalno trenje 71
Poglavje VII. Prostorski sistem sil 72
§28. Moment sile okoli osi. Izračun glavnega vektorja
in glavni moment sistema sil 72
§ 29*. Redukcija prostorskega sistema sil na najpreprostejšo obliko 77
§trideset. Ravnotežje poljubnega prostorskega sistema sil. Primer vzporednih sil
Poglavje VIII. Težišče 86
§31. Center vzporednih sil 86
§ 32. Polje sile. Težišče togega telesa 88
§ 33. Koordinate težišč homogenih teles 89
§ 34. Metode za določanje koordinat težišč teles. 90
§ 35. Težišča nekaterih homogenih teles 93
DRUGI ODDELEK KINEMATIKA TOČKE IN TOGO TELO
Poglavje IX. Kinematika točke 95
§ 36. Uvod v kinematiko 95
§ 37. Metode za določanje gibanja točke. . 96
§38. Vektor točkovne hitrosti,. 99
§ 39
§40. Določanje hitrosti in pospeška točke s koordinatno metodo določanja gibanja 102
§41. Reševanje problemov kinematike točk 103
§ 42. Osi naravnega triedra. Številčna vrednost hitrosti 107
§ 43. Tangenta in normalni pospešek točke 108
§44. Nekateri posebni primeri gibanja točke v programski opremi
§45. Grafi gibanja, hitrosti in pospeška točke 112
§ 46. Reševanje problemov< 114
§47*. Hitrost in pospešek točke v polarnih koordinatah 116
Poglavje X. Translacijsko in rotacijsko gibanje togega telesa. . 117
§48. Prevodno gibanje 117
§ 49. Rotacijsko gibanje togega telesa okoli osi. Kotna hitrost in kotni pospešek 119
§50. Enakomerno in enakomerno vrtenje 121
§51. Hitrosti in pospeški točk vrtečega se telesa 122
Poglavje XI. Ravnovzporedno gibanje togega telesa 127
§52. Enačbe ravninsko vzporednega gibanja (gibanje ravninske figure). Razgradnja gibanja na translacijsko in rotacijsko 127
§53*. Določanje poti točk ravninske slike 129
§54. Določanje hitrosti točk na ravninski sliki 130
§ 55. Izrek o projekcijah hitrosti dveh točk telesa 131
§ 56. Določanje hitrosti točk ravne figure s pomočjo trenutnega središča hitrosti. Koncept centroidov 132
§57. Reševanje problemov 136
§58*. Določanje pospeškov točk ravninske slike 140
§59*. Takojšnje središče pospeška "*"*
Poglavje XII*. Gibanje togega telesa okoli fiksne točke in gibanje prostega togega telesa 147
§ 60. Gibanje togega telesa z eno fiksno točko. 147
§61. Kinematične Eulerjeve enačbe 149
§62. Hitrosti in pospeški telesnih točk 150
§ 63. Splošni primer gibanja prostega togega telesa 153
Poglavje XIII. Kompleksno gibanje točke 155
§ 64. Relativni, figurativni in absolutni premiki 155
§ 65, izrek o seštevanju hitrosti » 156
§66. Izrek o seštevanju pospeškov (Coriolov izrek) 160
§67. Reševanje problemov 16*
Poglavje XIV*. Kompleksno gibanje togega telesa 169
§68. Dodatek translacijskih gibov 169
§69. Seštevanje vrtenja okoli dveh vzporednih osi 169
§70. Cilindrični zobniki 172
§ 71. Seštevanje vrtenja okoli sekajočih se osi 174
§72. Dodajanje translacijskih in rotacijskih gibov. Premikanje vijaka 176
TRETJI ODDELEK DINAMIKA TOČKE
XV. poglavje: Uvod v dinamiko. Zakoni dinamike 180
73. § Osnovni pojmi in definicije 180
§ 74. Zakoni dinamike. Problemi dinamike materialne točke 181
§ 75. Sistemi enot 183
§76. Osnovne vrste sil 184
Poglavje XVI. Diferencialne enačbe gibanja točke. Reševanje problemov dinamike točk 186
§ 77. Diferencialne enačbe, gibanja materialne točke št. 6
§ 78. Rešitev prvega problema dinamike (določanje sil iz danega gibanja) 187
§ 79. Rešitev glavnega problema dinamike pri premočrtnem gibanju točke 189
80. § Primeri reševanja problemov 191
§81*. Padec telesa v uporni medij (v zraku) 196
§82. Rešitev glavnega problema dinamike z krivolinijskim gibanjem točke 197
Poglavje XVII. Splošni izreki dinamike točk 201
§83. Količina premikanja točke. Impuls sile 201
§ S4. Izrek o spremembi gibalne količine točke 202
§ 85. Izrek o spremembi gibalne količine točke (izrek o momentih) "204
§86*. Gibanje pod delovanjem osrednje sile. Zakon območij.. 266
§ 8-7. Delo na silo. Moč 208
§88. Primeri izračuna dela 210
§89. Izrek o spremembi kinetične energije točke. "... 213J
poglavje XVIII. Neprosto in relativno gibanje točke 219
§90. Neprosto gibanje točke. 219
§91. Relativno gibanje točke 223
§ 92. Vpliv vrtenja Zemlje na ravnovesje in gibanje teles... 227
93. člen*. Odmik vpadne točke od navpičnice zaradi vrtenja Zemlje "230
poglavje XIX. Premočrtna nihanja točke. . . 232
§ 94. Prosti tresljaji brez upoštevanja upornih sil 232
§ 95. Prosta nihanja z viskoznim uporom (dušena nihanja) 238
§96. Prisilne vibracije. Resonanca 241
Poglavje XX*. Gibanje telesa v gravitacijskem polju 250
§ 97. Gibanje vrženega telesa v Zemljinem gravitacijskem polju »250
§98. Umetni sateliti Zemlje. Eliptične poti. 254
§ 99. Koncept breztežnosti. "Lokalni referenčni sistemi 257
ČETRTI ODDELEK DINAMIKA SISTEMA IN TOGO TELO
G i a v a XXI. Uvod v sistemsko dinamiko. vztrajnostni trenutki. 263
§ 100. Mehanski sistem. Zunanje in notranje sile 263
§ 101. Masa sistema. Težišče 264
§ 102. Vztrajnostni moment telesa okoli osi. Vztrajnostni polmer. . 265
103 $. Vztrajnostni momenti telesa okoli vzporednih osi. Huygensov izrek 268
§ 104*. centrifugalni vztrajnostni momenti. Koncepti o glavnih osi vztrajnosti telesa 269
105 $*. Vztrajnostni moment telesa okoli poljubne osi. 271
Poglavje XXII. Izrek o gibanju masnega središča sistema 273
106 $. Diferencialne enačbe gibanja sistema 273
§ 107. Izrek o gibanju središča mase 274
108 $. Zakon o ohranitvi gibanja središča mase 276
§ 109. Reševanje problemov 277
Poglavje XXIII. Izrek o spremembi količine premičnega sistema. . 280
$ AMPAK. Število gibalnega sistema 280
§111. Izrek o spremembi gibalne količine 281
§ 112. Zakon o ohranitvi gibalne količine 282
113 $*. Uporaba izreka pri gibanju tekočine (plina) 284
§ 114*. Telo spremenljive mase. gibanje raket 287
Gdawa XXIV. Izrek o spremembi momenta gibanja sistema 290
§ 115. Glavni moment veličin gibanja sistema 290
116 $. Izrek o spremembi glavnega momenta gibalne količine sistema (izrek o momentih) 292
117 $. Zakon o ohranitvi glavnega momenta gibalne količine. . 294
118 $. Reševanje problemov 295
119 $*. Uporaba izreka o momentu pri gibanju tekočine (plina) 298
§ 120. Ravnotežni pogoji za mehanski sistem 300
Poglavje XXV. Izrek o spremembi kinetične energije sistema. . 301.
§ 121. Kinetična energija sistema 301
122 $. Nekateri primeri računanja dela 305
123 $. Izrek o spremembi kinetične energije sistema 307
124 $. Reševanje problemov 310
125 $*. Mešane naloge "314
126 $. Potencialno polje sile in funkcija sile 317
127 $, Potencialna energija. Zakon ohranjanja mehanske energije 320
Poglavje XXVI. "Uporaba splošnih izrekov za dinamiko togega telesa 323
12 $&. Rotacijsko gibanje togega telesa okoli fiksne osi ". 323"
129 $. Fizično nihalo. Eksperimentalno določanje vztrajnostnih momentov. 326
130 $. Ravnovzporedno gibanje togega telesa 328
131 $*. Osnovna teorija žiroskopa 334
132 $*. Gibanje togega telesa okoli fiksne točke in gibanje prostega togega telesa 340
Poglavje XXVII. d'Alembertovo načelo 344
133 $. d'Alembertov princip za točko in mehanski sistem. . 344
134 $. Glavni vektor in glavni moment vztrajnosti 346
135 $. Reševanje problemov 348
136 $*, Didemične reakcije, ki delujejo na os vrtečega se telesa. Uravnoteženje vrtečih se teles 352
Poglavje XXVIII. Načelo možnih premikov in splošna enačba dinamike 357
§ 137. Razvrstitev povezav 357
§ 138. Možni premiki sistema. Število stopenj svobode. . 358
§ 139. Načelo možnih premikov 360
§ 140. Reševanje nalog 362
§ 141. Splošna enačba dinamike 367
Poglavje XXIX. Ravnotežni pogoji in enačbe gibanja sistema v posplošenih koordinatah 369
§ 142. Posplošene koordinate in posplošene hitrosti. . . 369
§ 143. Posplošene sile 371
§ 144. Ravnotežni pogoji za sistem v posplošenih koordinatah 375
§ 145. Lagrangeove enačbe 376
§ 146. Reševanje nalog 379
Poglavje XXX*. Majhna nihanja sistema okoli položaja stabilnega ravnotežja 387
§ 147. Pojem stabilnosti ravnotežja 387
§ 148. Majhne proste tresljaje sistema z eno stopnjo svobode 389
§ 149. Mala dušena in prisilna nihanja sistema z eno stopnjo svobode 392
§ 150. Majhna zbirna nihanja sistema z dvema svobodnima stopnjama 394
Poglavje XXXI. Osnovna teorija udarca 396
§ 151. Osnovna enačba teorije udarca 396
§ 152. Splošni izreki teorije udarca 397
§ 153. Faktor obnovitve udarca 399
§ 154. Udar telesa na fiksno pregrado 400
§ 155. Neposredni osrednji udar dveh teles (udarec kroglic) 401
§ 156. Izguba kinetične energije med neelastičnim udarcem dveh teles. Carnotov izrek 403
§ 157*. Udarec v vrteče se telo. Impact Center 405
Indeks 409

Splošni izreki dinamike sistema teles. Izreki o gibanju središča mase, o spremembi gibalne količine, o spremembi glavnega momenta gibalne količine, o spremembi kinetične energije. Načela d'Alemberta in možni premiki. Splošna enačba dinamike. Lagrangeove enačbe.

Vsebina

Delo, ki ga opravi sila, je enak skalarnemu produktu vektorjev sil in neskončno majhnega premika točke njegove uporabe:
,
to je produkt modulov vektorjev F in ds ter kosinusa kota med njima.

Delo, opravljeno v trenutku sile, je enak skalarnemu produktu vektorjev trenutka in neskončno majhnega kota vrtenja :
.

d'Alembertovo načelo

Bistvo d'Alembertovega načela je reducirati probleme dinamike na probleme statike. Za to se predpostavlja (ali je vnaprej znano), da imajo telesa sistema določene (kotne) pospeške. Nato se uvedejo vztrajnostne sile in (ali) momenti vztrajnostnih sil, ki so po velikosti enake in vzajemne v smeri silam in momentom sil, ki bi po zakonih mehanike ustvarile dane pospeške ali kotne pospeške.

Razmislite o primeru. Telo izvaja translacijsko gibanje in nanj delujejo zunanje sile. Nadalje predpostavljamo, da te sile ustvarjajo pospešek središča mase sistema. Po izreku o gibanju središča mase bi imelo središče mase enak pospešek, če bi na telo delovala sila. Nato uvedemo vztrajnostno silo:
.
Po tem je naloga dinamike:
.
;
.

Za rotacijsko gibanje nadaljujte na podoben način. Naj se telo vrti okoli osi z in nanj delujejo zunanji momenti sil M e zk. Predpostavljamo, da ti momenti ustvarijo kotni pospešek ε z . Nato uvedemo moment vztrajnosti sil M И = - J z ε z . Po tem je naloga dinamike:
.
Spremeni se v statično nalogo:
;
.

Načelo možnih gibov

Za reševanje problemov statike se uporablja načelo možnih premikov. Pri nekaterih problemih daje krajšo rešitev kot pisanje ravnotežnih enačb. To še posebej velja za sisteme s povezavami (na primer sisteme teles, povezanih z nitmi in bloki), sestavljene iz številnih teles

Načelo možnih gibov.
Za ravnotežje mehanskega sistema z idealnimi omejitvami je potrebno in zadostno, da je vsota elementarnih del vseh aktivnih sil, ki delujejo nanj, za morebitni premik sistema enaka nič.

Možna selitev sistema- to je majhen premik, pri katerem povezave, ki so naložene sistemu, niso pretrgane.

Popolne povezave- to so obveznice, ki ne delujejo, ko se sistem premakne. Natančneje, vsota dela, ki ga opravijo same povezave pri premikanju sistema, je nič.

Splošna enačba dinamike (d'Alembert - Lagrangeov princip)

Načelo d'Alembert-Lagrangea je kombinacija d'Alembertovega principa z načelom možnih premikov. To pomeni, da pri reševanju problema dinamike uvedemo vztrajnostne sile in problem reduciramo na problem statičnosti, ki ga rešujemo po principu možnih premikov.

d'Alembert-Lagrangeovo načelo.
Ko se mehanski sistem v vsakem trenutku premika z idealnimi omejitvami, je vsota elementarnih del vseh uporabljenih aktivnih sil in vseh vztrajnostnih sil na morebitni premik sistema enaka nič:
.
Ta enačba se imenuje splošna enačba dinamike.

Lagrangeove enačbe

Posplošene koordinate q 1 , q 2 , ..., q n je niz n vrednosti, ki enolično določajo položaj sistema.

Število posplošenih koordinat n sovpada s številom stopenj svobode sistema.

Splošne hitrosti so izpeljanke posplošenih koordinat glede na čas t.

Generalizirane sile Q 1 , Q 2 , ..., Q n .
Razmislite o možnem premiku sistema, pri katerem bo koordinata q k prejela premik δq k . Preostale koordinate ostanejo nespremenjene. Naj bo δA k delo, ki ga opravijo zunanje sile med takšnim premikom. Potem
δA k = Q k δq k , oz
.

Če se ob morebitnem premiku sistema spremenijo vse koordinate, potem ima delo zunanjih sil med takšnim premikom obliko:
δA = Q 1 δq 1 + Q 2 δq 2 + ... + Q n δq n.
Potem so posplošene sile delne izpeljanke premičnega dela:
.

Za potencialne sile s potencialom Π,
.

Lagrangeove enačbe so enačbe gibanja mehanskega sistema v posplošenih koordinatah:

Tukaj je T kinetična energija. Je funkcija posplošenih koordinat, hitrosti in morda časa. Zato je njegov delni izvod tudi funkcija posplošenih koordinat, hitrosti in časa. Nato morate upoštevati, da so koordinate in hitrosti funkcije časa. Zato, da bi našli izpeljanko celotnega časa, morate uporabiti pravilo diferenciacije kompleksne funkcije:
.

Reference:
S. M. Targ, Kratki tečaj teoretične mehanike, Višja šola, 2010.

Statika je veja teoretične mehanike, ki preučuje ravnotežne pogoje za materialna telesa pod delovanjem sil, pa tudi metode za pretvorbo sil v enakovredne sisteme.

Pod stanjem ravnotežja v statiki razumemo stanje, v katerem vsi deli mehanskega sistema mirujejo glede na nek inercialni koordinatni sistem. Eden od osnovnih objektov statike so sile in točke njihove uporabe.

Sila, ki deluje na materialno točko z vektorjem polmera iz drugih točk, je merilo vpliva drugih točk na obravnavano točko, zaradi česar prejme pospešek glede na inercialni referenčni okvir. vrednost moč se določi s formulo:
,
kjer je m masa točke – vrednost, ki je odvisna od lastnosti same točke. Ta formula se imenuje Newtonov drugi zakon.

Uporaba statike v dinamiki

Pomembna značilnost enačb gibanja absolutno togega telesa je, da se sile lahko pretvorijo v enakovredne sisteme. S takšno transformacijo enačbe gibanja ohranijo svojo obliko, vendar je sistem sil, ki delujejo na telo, mogoče preoblikovati v enostavnejši sistem. Tako se lahko točka uporabe sile premakne vzdolž linije njenega delovanja; sile se lahko razširijo po pravilu paralelograma; sile, ki delujejo na eni točki, lahko nadomestimo z njihovo geometrijsko vsoto.

Primer takšnih transformacij je gravitacija. Deluje na vse točke togega telesa. Toda zakon gibanja telesa se ne bo spremenil, če bi silo težnosti, porazdeljeno po vseh točkah, nadomestil en sam vektor, uporabljen v središču mase telesa.

Izkaže se, da če glavnemu sistemu sil, ki delujejo na telo, dodamo enakovredni sistem, v katerem so smeri sil obrnjene, bo telo pod delovanjem teh sistemov v ravnotežju. Tako je naloga določanja enakovrednih sistemov sil reducirana na problem ravnotežja, torej na problem statičnosti.

Glavna naloga statike je vzpostavitev zakonov za preoblikovanje sistema sil v enakovredne sisteme. Tako se metode statike uporabljajo ne le pri preučevanju teles v ravnotežju, temveč tudi pri dinamiki togega telesa, pri preoblikovanju sil v enostavnejše ekvivalentne sisteme.

Statika materialne točke

Razmislite o materialni točki, ki je v ravnotežju. In naj nanj deluje n sil, k = 1, 2, ..., št.

Če je materialna točka v ravnotežju, je vektorska vsota sil, ki delujejo nanjo, enaka nič:
(1) .

V ravnovesju je geometrijska vsota sil, ki delujejo na točko, enaka nič.

Geometrijska interpretacija. Če se začetek drugega vektorja postavi na konec prvega vektorja, začetek tretjega pa na konec drugega vektorja, nato pa se ta proces nadaljuje, potem bo konec zadnjega, n-ega vektorja kombinirati z začetkom prvega vektorja. To pomeni, da dobimo zaprto geometrijsko figuro, katere dolžine strani so enake modulom vektorjev. Če vsi vektorji ležijo v isti ravnini, dobimo zaprt mnogokotnik.

Pogosto je priročno izbrati pravokotni koordinatni sistem Oxyz. Potem so vsote projekcij vseh vektorjev sil na koordinatne osi enake nič:

Če izberete katero koli smer, ki jo definira nek vektor , potem je vsota projekcij vektorjev sil na to smer enaka nič:
.
Enačbo (1) skalarno pomnožimo z vektorjem:
.
Tukaj je skalarni produkt vektorjev in .
Upoštevajte, da je projekcija vektorja na smer vektorja določena s formulo:
.

Statika togega telesa

Trenutek sile okoli točke

Določanje momenta sile

Trenutek sile, ki se nanaša na telo v točki A, glede na fiksno središče O, se imenuje vektor, enak vektorskemu produktu vektorjev in:
(2) .

Geometrijska interpretacija

Moment sile je enak zmnožku sile F in kraka OH.

Naj se vektorja in nahajata v ravnini slike. Glede na lastnost navzkrižnega produkta je vektor pravokoten na vektorje in , to je pravokoten na ravnino slike. Njegova smer je določena s pravim vijakom. Na sliki je vektor trenutka usmerjen proti nam. Absolutna vrednost trenutka:
.
Ker potem
(3) .

Z uporabo geometrije lahko podamo drugo razlago momenta sile. Če želite to narediti, narišite ravno črto AH skozi vektor sile. Iz središča O spustimo pravokotno OH na to premico. Dolžina te pravokotnice se imenuje ramo moči. Potem
(4) .
Ker sta formuli (3) in (4) enakovredni.

V to smer, absolutna vrednost momenta sile glede na središče O je produkt sile na rami ta sila glede na izbrano središče O.

Pri izračunu momenta je pogosto priročno silo razstaviti na dve komponenti:
,
kje . Sila teče skozi točko O. Zato je njegov zagon enak nič. Potem
.
Absolutna vrednost trenutka:
.

Komponente momenta v pravokotnih koordinatah

Če izberemo pravokoten koordinatni sistem Oxyz s središčem v točki O, bo imel moment sile naslednje komponente:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) .
Tu so koordinate točke A v izbranem koordinatnem sistemu:
.
Komponente so vrednosti momenta sile okoli osi.

Lastnosti momenta sile okoli središča

Trenutek okoli središča O od sile, ki poteka skozi to središče, je enak nič.

Če se točka uporabe sile premakne vzdolž črte, ki poteka skozi vektor sile, se trenutek med takšnim gibanjem ne bo spremenil.

Trenutek iz vektorske vsote sil, ki delujejo na eno točko telesa, je enak vektorski vsoti momentov vsake od sil, ki delujejo na isto točko:
.

Enako velja za sile, katerih podaljški se v eni točki sekajo.

Če je vektorska vsota sil nič:
,
potem vsota momentov teh sil ni odvisna od položaja središča, glede na katerega se izračunajo momenti:
.

Močni par

Močni par- to sta dve sili, enaki po absolutni vrednosti in imata nasprotni smeri, ki delujeta na različne točke telesa.

Za par sil je značilen trenutek, ko ustvarijo. Ker je vektorska vsota sil, vključenih v par, enaka nič, trenutek, ki ga ustvari par, ni odvisen od točke, glede na katero je trenutek izračunan. Z vidika statičnega ravnotežja je narava sil v paru nepomembna. Par sil se uporablja za označevanje, da na telo deluje moment sil, ki ima določeno vrednost.

Moment sile okoli dane osi

Pogosto obstajajo primeri, ko nam ni treba poznati vseh komponent momenta sile o izbrani točki, ampak moramo vedeti le moment sile okoli izbrane osi.

Moment sile okoli osi, ki poteka skozi točko O, je projekcija vektorja momenta sile, okoli točke O, na smer osi.

Lastnosti momenta sile okoli osi

Trenutek okoli osi od sile, ki poteka skozi to os, je enak nič.

Trenutek okoli osi od sile, ki je vzporedna s to osjo, je nič.

Izračun momenta sile okoli osi

Naj na telo v točki A deluje sila. Poiščimo moment te sile glede na os O′O′′.

Zgradimo pravokoten koordinatni sistem. Naj os Oz sovpada z O′O′′. Iz točke A spustimo pravokotno OH na O′O′′. Skozi točki O in A potegnemo os Ox. Os Oy narišemo pravokotno na Ox in Oz. Silo razstavimo na komponente vzdolž osi koordinatnega sistema:
.
Sila prečka os O′O′′. Zato je njegov zagon enak nič. Sila je vzporedna z O′O′′ osjo. Zato je tudi njen moment enak nič. Po formuli (5.3) najdemo:
.

Upoštevajte, da je komponenta usmerjena tangencialno na krog, katerega središče je točka O. Smer vektorja je določena s pravilom desnega vijaka.

Ravnotežni pogoji za togo telo

V ravnotežju je vektorska vsota vseh sil, ki delujejo na telo, enaka nič in vektorska vsota momentov teh sil glede na poljubno fiksno središče je enaka nič:
(6.1) ;
(6.2) .

Poudarjamo, da je središče O , glede na katerega se izračunavajo momenti sil, mogoče poljubno izbrati. Točka O lahko pripada telesu ali pa je zunaj njega. Običajno je središče O izbrano za lažji izračun.

Pogoje ravnotežja je mogoče oblikovati na drug način.

V ravnotežju je vsota projekcij sil na katero koli smer, ki jo poda poljuben vektor, enaka nič:
.
Tudi vsota momentov sil okoli poljubne osi O′O′′ je enaka nič:
.

Včasih so ti pogoji bolj priročni. Včasih je mogoče z izbiro osi poenostaviti izračune.

Težišče telesa

Razmislite o eni najpomembnejših sil - gravitaciji. Pri tem sile ne delujejo na določenih točkah telesa, ampak so neprekinjeno razporejene po njegovi prostornini. Za vsak del telesa z neskončno majhnim volumnom ∆V, deluje gravitacijska sila. Tukaj je ρ gostota snovi telesa, pospešek prostega pada.

Naj je masa neskončno majhnega dela telesa. In naj točka A k definira položaj tega odseka. Poiščimo količine, povezane s silo teže, ki so vključene v ravnotežne enačbe (6).

Najdimo vsoto gravitacijskih sil, ki jih tvorijo vsi deli telesa:
,
kje je masa telesa. Tako lahko vsoto gravitacijskih sil posameznih neskončno majhnih delov telesa nadomestimo z enim gravitacijskim vektorjem celotnega telesa:
.

Poiščimo vsoto momentov gravitacijskih sil glede na izbrano središče O na poljuben način:

.
Tukaj smo uvedli točko C, ki se imenuje težišče telo. Položaj težišča v koordinatnem sistemu s središčem v točki O je določen s formulo:
(7) .

Torej, pri določanju statičnega ravnotežja lahko vsoto gravitacijskih sil posameznih delov telesa nadomestimo z rezultanto
,
nanesemo na središče mase telesa C , katerega položaj je določen s formulo (7).

Položaj težišča za različne geometrijske oblike najdete v ustreznih referenčnih knjigah. Če ima telo os ali ravnino simetrije, se težišče nahaja na tej osi ali ravnini. Torej se težišča krogle, kroga ali kroga nahajajo v središčih krogov teh figur. Težišča pravokotnega paralelepipeda, pravokotnika ali kvadrata se nahajajo tudi v njihovih središčih - na točkah presečišča diagonal.

Enakomerno (A) in linearno (B) porazdeljena obremenitev.

Obstajajo tudi primeri, podobni sili težnosti, ko sile ne delujejo na določenih točkah telesa, ampak so neprekinjeno razporejene po njegovi površini oziroma prostornini. Takšne sile se imenujejo porazdeljene sile ali .

(Slika A). Prav tako, kot v primeru gravitacije, jo je mogoče nadomestiti z rezultantno silo velikosti, ki se uporablja v težišče diagrama. Ker je diagram na sliki A pravokotnik, je težišče diagrama v njegovem središču - točki C: | AC| = | CB |.

(slika B). Lahko se nadomesti tudi z rezultatom. Vrednost rezultanta je enaka površini diagrama:
.
Točka uporabe je v težišče ploskve. Težišče trikotnika, višina h, je oddaljeno od osnove. Torej .

Sile trenja

Drsno trenje. Naj bo telo na ravni površini. In naj je sila, pravokotna na površino, s katero površina deluje na telo (tlačna sila). Nato je sila drsnega trenja vzporedna s površino in usmerjena v stran, kar preprečuje premikanje telesa. Njegova največja vrednost je:
,
kjer je f koeficient trenja. Koeficient trenja je brezdimenzionalna količina.

kotalno trenje. Pustite, da se zaobljeno telo kotali ali pa se kotali po površini. In naj je sila pritiska, pravokotna na površino, s katero površina deluje na telo. Nato na telo, na mestu stika s površino, deluje moment sil trenja, ki preprečuje premikanje telesa. Največja vrednost momenta trenja je:
,
kjer je δ koeficient kotalnega trenja. Ima dimenzijo dolžine.

Reference:
S. M. Targ, Kratki tečaj teoretične mehanike, Višja šola, 2010.

Kot del vsakega učnega načrta se študij fizike začne z mehaniko. Ne iz teoretične, ne iz uporabne in ne računske, ampak iz dobre stare klasične mehanike. Ta mehanika se imenuje tudi Newtonova mehanika. Po legendi se je znanstvenik sprehajal po vrtu, videl padec jabolka in prav ta pojav ga je spodbudil, da je odkril zakon univerzalne gravitacije. Seveda je zakon vedno obstajal in Newton mu je dal le obliko, razumljivo ljudem, vendar je njegova zasluga neprecenljiva. V tem članku ne bomo čim bolj podrobno opisovali zakonov Newtonove mehanike, ampak bomo orisali osnove, osnovna znanja, definicije in formule, ki vam lahko vedno igrajo na roko.

Mehanika je veja fizike, veda, ki preučuje gibanje materialnih teles in interakcije med njimi.

Sama beseda je grškega izvora in se prevaja kot "umetnost gradnje strojev". Toda pred gradnjo strojev nas čaka še dolga pot, zato pojdimo po stopinjah naših prednikov in preučevali bomo gibanje kamnov, vrženih pod kotom proti obzorju, in jabolk, ki padajo na glave z višine h.

Zakaj se študij fizike začne z mehaniko? Ker je povsem naravno, ne da bi ga začeli iz termodinamičnega ravnovesja?!

Mehanika je ena najstarejših ved, zgodovinsko pa se je študij fizike začel prav pri temeljih mehanike. Postavljeni v okvir časa in prostora, ljudje pravzaprav ne bi mogli začeti iz nečesa drugega, ne glede na to, kako so si želeli. Gibajoča se telesa so prva stvar, na katero smo pozorni.

Kaj je gibanje?

Mehansko gibanje je sprememba položaja teles v prostoru drug glede na drugega skozi čas.

Po tej definiciji povsem naravno pridemo do koncepta referenčnega okvira. Spreminjanje položaja teles v prostoru glede na drugo. Ključne besede tukaj: drug glede na drugega . Konec koncev se potnik v avtomobilu giblje glede na osebo, ki stoji ob cesti, z določeno hitrostjo in počiva glede na soseda na bližnjem sedežu in se premika z neko drugo hitrostjo glede na potnika v avtomobilu, ki jih prehiteva.

Zato potrebujemo, da bi normalno izmerili parametre premikajočih se predmetov in se ne zmedli referenčni sistem - togo medsebojno povezano referenčno telo, koordinatni sistem in ura. Zemlja se na primer giblje okoli sonca v heliocentričnem referenčnem okviru. V vsakdanjem življenju skoraj vse meritve izvajamo v geocentričnem referenčnem sistemu, ki je povezan z Zemljo. Zemlja je referenčno telo, glede na katerega se premikajo avtomobili, letala, ljudje, živali.

Mehanika ima kot znanost svojo nalogo. Naloga mehanike je, da v vsakem trenutku pozna položaj telesa v prostoru. Z drugimi besedami, mehanika konstruira matematični opis gibanja in najde povezave med fizikalnimi količinami, ki ga označujejo.

Za napredek potrebujemo pojem » materialna točka ". Pravijo, da je fizika eksaktna znanost, a fiziki vedo, koliko približkov in predpostavk je treba narediti, da bi se strinjali prav o tej natančnosti. Nihče še ni videl materialne točke ali vohal idealnega plina, vendar obstajajo! Le z njimi je veliko lažje živeti.

Materialna točka je telo, katerega velikost in obliko lahko v kontekstu tega problema zanemarimo.

Odseki klasične mehanike

Mehanika je sestavljena iz več delov

• Kinematika
• Dinamika
• Statika

Kinematika s fizičnega vidika natančno preučuje, kako se telo giblje. Z drugimi besedami, ta razdelek obravnava kvantitativne značilnosti gibanja. Najdi hitrost, pot - tipične naloge kinematike

Dinamika rešuje vprašanje, zakaj se premika tako, kot se. To pomeni, da upošteva sile, ki delujejo na telo.

Statika preučuje ravnotežje teles pod delovanjem sil, torej odgovarja na vprašanje: zakaj sploh ne pade?

Meje uporabnosti klasične mehanike

Klasična mehanika ne trdi več, da je znanost, ki vse razlaga (na začetku prejšnjega stoletja je bilo vse povsem drugače) in ima jasen obseg uporabnosti. Na splošno veljajo zakoni klasične mehanike za svet, ki ga poznamo po velikosti (makrosvet). Nehajo delovati v primeru sveta delcev, ko klasično mehaniko nadomesti kvantna mehanika. Tudi klasična mehanika ni uporabna za primere, ko se gibanje teles odvija s hitrostjo, ki je blizu svetlobni. V takih primerih postanejo izraziti relativistični učinki. Grobo rečeno, v okviru kvantne in relativistične mehanike - klasične mehanike je to poseben primer, ko so dimenzije telesa velike, hitrost pa majhna.

Na splošno kvantni in relativistični učinki nikoli ne izginejo; potekajo tudi med običajnim gibanjem makroskopskih teles s hitrostjo, ki je veliko nižja od svetlobne. Druga stvar je, da je delovanje teh učinkov tako majhno, da ne presega najbolj natančnih meritev. Klasična mehanika tako nikoli ne bo izgubila svojega temeljnega pomena.

V prihodnjih člankih bomo nadaljevali s preučevanjem fizikalnih osnov mehanike. Za boljše razumevanje mehanike se lahko vedno obrnete na naših avtorjev, ki so posamezno osvetlili temno točko najtežje naloge.